2根的判别式.docx
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2根的判别式
2-例1
(2012•德州)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是
a≥-1
a≥-1
.
考点:
根的判别式;一元一次方程的定义;一元二次方程的定义.
专题:
压轴题.
分析:
当a=0时,方程是一元一次方程,方程的根可以求出,即可作出判断;
当a≠0时,方程是一元二次方程,只要有实数根,则应满足:
△≥0,建立关于a的不等式,求得a的取值范围即可.
解答:
解:
当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,
当a≠0时,方程是一元二次方程,
若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,
则△=[2(a+2)]2-4a•a≥0,
解得:
a≥-1.
故答案为:
a≥-1.
点评:
此题考查了根的判别式,注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键.并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0.
2-例2
2-例3
已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)试说明无论k取何值时,这个方程一定有实数根;
(2)已知等腰△ABC的一边a=1,若另两边b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
考点:
根的判别式;根与系数的关系;等腰三角形的性质.
分析:
(1)整理根的判别式,得到它是非负数即可.
(2)分b=c,b=a两种情况做.
解答:
证明:
(1)∵△=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0,
∴方程总有实根;
(2)①当b=c时,则△=0,
即(k-2)2=0,
∴k=2,
方程可化为x2-4x+4=0,
∴x1=x2=2,
而b=c=2,
∴L△ABC=5;
②当b=a=1,
∵x2-(k+2)x+2k=0.
∴(x-2)(x-k)=0,
∴x=2或x=k,
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根,
∴k=1,
∴c=2,
∵a+b=c,
∴不满足三角形三边的关系,舍去;
综上所述,△ABC的周长为5.
点评:
本题考查了根与系数的关系,一元二次方程总有实数根应根据判别式来做,两根互为相反数应根据根与系数的关系做,等腰三角形的周长应注意两种情况,以及两种情况的取舍.
已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0
(1)求证:
无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)若等腰△ABC的一边a=3,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
考点:
根的判别式;根与系数的关系;等腰三角形的性质.
分析:
(1)根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明;
(2)注意:
分b=c,b=a两种情况做.
解答:
(1)证明:
△=[-(k+2)]2-4×1×2k=(k-2)2,
∵无论k取何值,(k-2)2≥0,即△≥0,
∴无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)解:
①当b=c时,则△=0,
即(k-2)2=0,
∴k=2,
方程可化为x2-4x+4=0,
∴x1=x2=2,
而b=c=2,
∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7;
②解:
当b=a=3时,
∵x2-(k+2)x+2k=0.
∴(x-2)(x-k)=0,
∴x=2或x=k,
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根,
∴k=b=3,
∴c=2,
∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8;
综上所述,△ABC的周长为7或8.
点评:
本题考查了根与系数的关系,一元二次方程总有实数根应根据判别式来做,两根互为相反数应根据根与系数的关系做,等腰三角形的周长应注意两种情况,以及两种情况的取舍.
2-例4
设方程|x2+ax|=4,只有3个不相等的实数根,求a的值和相应的3个根.
考点:
根的判别式;绝对值;解一元二次方程-公式法.
专题:
计算题;分类讨论;待定系数法.
分析:
首先去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元二次方程.原方程只有3个不相等的实数根,则其中一个判别式大于零,另一个判别式等于零.由此即可确定a的值,同时也可以确定相应的3个根.
解答:
解:
∵|x2+ax|=4,
∴x2+ax-4=0①或x2+ax+4=0②,
方程①②不可能有相同的根,
而原方程有3个不相等的实数根,
∴方程①②中有一个有等根,
而△1=a2+16>0,
∴△2=a2-16=0,
∴a=±4,
当a=4时,原方程为x2+4x-4=0或x2+4x+4=0,
2-例5
2-例6
(2012•临沂)已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;
(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当b<2a时,
(2)中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
考点:
相似三角形的判定与性质;根的判别式;矩形的性质.
专题:
代数几何综合题;压轴题.
分析:
(1)由b=2a,点M是AD的中点,可得AB=AM=MD=DC=a,又由四边形ABCD是矩形,即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;
(2)由∠BMC=90°,易证得△ABM∽△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例,即可得方程:
x2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定△>0,即可确定方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意;
(3)由
(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况,即可求得答案.
解答:
(1)证明:
∵b=2a,点M是AD的中点,
∴AB=AM=MD=DC=a,
又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴∠BMC=90°.
(2)解:
存在,
理由:
若∠BMC=90°,
则∠AMB+∠DMC=90°,
又∵∠AMB+∠ABM=90°,
∴∠ABM=∠DMC,
又∵∠A=∠D=90°,
∴△ABM∽△DMC,
(3)解:
不成立.
理由:
若∠BMC=90°,
由
(2)可知x2-bx+a2=0,
∵b<2a,a>0,b>0,
∴△=b2-4a2<0,
∴方程没有实数根,
∴当b<2a时,不存在∠BMC=90°,即
(2)中的结论不成立.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质.此题难度较大,解此题的关键是利用相似的性质构造方程,然后利用判别式求解.
2-1
(2012•上海)如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实根,那么c的取值范围是
c>9
c>9
.
考点:
根的判别式.
分析:
根据关于x的一元二次方程没有实数根时△<0,得出△=(-6)2-4c<0,再解不等式即可.
解答:
解:
∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0(c是常数)没有实根,
∴△=(-6)2-4c<0,
即36-4c<0,
c>9.
故答案为c>9.
点评:
本题考查了一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.
2-2
2-3
(2009•荆门)关于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解),则a的值为( )
A.a=0
B.a=2
C.a=1
D.a=0或a=2
考点:
根的判别式.
分析:
此题得需要讨论:
若此方程ax2-(a+2)x+2=0为一元二次方程时,即a≠0时,当△=0时,方程ax2-(a+2)x+2=0只有相等的两解,即[-(a+2)]2-4×a×2=0时方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解;
若此方程ax2-(a+2)x+2=0为一元一次方程时,即a=0时,方程一定只有一解.
解答:
解:
当a≠0时,方程ax2-(a+2)x+2=0为一元二次方程,若方程有相等的两解,
则△=[-(a+2)]2-4×a×2=0,
整理得a2-4a+4=0,
即△=(a-2)2=0,
解得a=2;
当a=0时,方程ax2-(a+2)x+2=0为一元一次方程,
原方程转化为:
-2x+2=0,
此时方程只有一个解x=1.
所以当a=0或a=2关于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解.
故选D.
点评:
解此题时很多学生容易顺理成章的按一元二次方程进行解答,只解出a=2一个值,而疏忽了a=0时,此方程也有一解这一情况.
2-4
2-5
关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k-1=0的根的情况( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等实数根
C.有两个实数根
D.没有实数根
答案(找作业答案--->>上魔方格)
∵a=1,b=2k+1,c=k-1,
∴△=b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
故选B.
2-6
2-7
(2012•绵阳)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证:
方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
考点:
根的判别式;一元二次方程的解;勾股定理.
分析:
(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:
①当该直角三角形的两直角边是2、3时,由
2-8
已知关于x的方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0
(1)求证:
无论k取何实数值,方程总有实数根.
(2)若等腰△ABC的一边长为a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的周长.
考点:
根的判别式;等腰三角形的性质.
分析:
(1)根据一元二次方程根的判别式,当△≥0时,方程有两个实数根,所以只需证明△≥0即可.
(2)利用求根公式计算出方程的两根x1=3k-1,x2=2,则可设b=2k-1,c=2,然后讨论:
当a、b为腰;当b、c为腰,分别求出边长,但要满足三角形三边的关系,最后计算周长即可.
解答:
(1)证明:
△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k),
=k2-2k+1,
=(k-1)2,
∵无论k取什么实数值,(k-1)2≥0,
∴△≥0,
所以无论k取什么实数值,方程总有实数根;
(2)x2-(3k+1)x+2k2+2k=0,
因式分解得:
(x-2k)(x-k-1)=0,
解得:
x1=2k,x2=k+1,
∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k,c=k+1,
当a、b为腰,则a=b=6,而a+b>c,a-b<c,所以三角形的周长为:
6+6+4=16;
当b、c为腰,则k+1=2k,解得k=1,
∴b=c=2,因为6,2,2不构成三角形,∴所以这种情况不成立;
当a、c为腰k+1=6则k=5,
∴b=10,
∴三角形的周长为:
6+6+10=22.
综上,三角形的周长为16或22.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用.
2-9
如果多项式x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值为( )
A.-3
B.-6
C.±3
D.±6
考点:
完全平方式.
专题:
计算题.
分析:
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值.
解答:
解:
∵x2-mx+9是一个完全平方式,
∴m=±6.
故选D.
点评:
此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
2-10
2-11
点E和点F分别是正方形abcd中bc边和cd边上的点,且∠EAF=45°,则EF/AB的最小值是
书上有详解。
2-12若方程2x(kx-4)+x2+6=0,则K的最小值为多少?
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因为2x(kx-4)-x?
?
+6=0无实数根
2kx^2-8x-x^2+6=0
x^2(2k-1)-8x+6=0
△=(-8)^2-4(2k-1)*6<0
64-48k+24<0
48k>88
k>88/48
k的最小整数值是2
2-13
(2013•西青区二模)若x0是一元二次方程,ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的大小关系是( )
A.△>M
B.△=M
C.△<M
D.不能确定
考点:
根的判别式.
分析:
首先把(2ax0+b)2展开,然后把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c,再代入前面的展开式中即可得到△与M的关系.
解答:
解:
把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c,
∵(2ax0+b)2=4a2x02+4abx0+b2,
∴(2ax0+b)2=4a(ax02+bx0)+b2=-4ac+b2=△,
∴M=△.
故选B.
点评:
本题是一元二次方程的根与根的判别式的结合试题,既利用了方程的根的定义,也利用了完全平方公式,有一定的难度.
2-14
2-15
如图,已知正方形mnqr内接于锐角三角形abc中,设三角形abc的面积为S正方形面积为S1,求证:
S1小于等于二分之一S
教师来自众成中学
设与内接正方形共边的三角形边长为a,且高为h,则三角形面积是ah/2
设内接正方形边长为x,则由三角形相似易得(h-x)/h=x/a
解得x=ah/(a+b)
因而,2s1-s=2x^2-ah/2=2a^2h^2/(a+h)^2-ah/2=-ah(a-h)^2/2(a+h)^2≤0
即s≥2s1
2-16
若a>0,b>a+c,则判定关于x的方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)的根的情况
2011-02-1419:
06提问者采纳
f(x)=ax^2+bx+c
△=b^2-4ac
若c>0,则b>a+c>0
b^2>(a+c)^2=a^2+2ac+c^2>=4ac
△>0,f(x)=0有两个不同实根
若c<0,则f(0)=c<0,f(x)=0有两个不同实数解
若c=0,b>a>0,则△=b^2>0
综上,f(x)=0一定有两个不同实数解
提问者采纳
△=b^2-4ac
>(a+c)^2-4ac=a^2+2ac+c^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2
≥0
即:
△>0
方程ax^2+bx+c=0必有两个不相等的实数根
书上的答案或更好。
2-17
(2012•宜昌)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E为底AD上一点,将△ABE沿直线
BE折叠,点A落在梯形对角线BD上的G处,EG的延长线交直线BC于点F.
(1)点E可以是AD的中点吗?
为什么?
(2)求证:
△ABG∽△BFE;
(3)设AD=a,AB=b,BC=c
①当四边形EFCD为平行四边形时,求a,b,c应满足的关系;
②在①的条件下,当b=2时,a的值是唯一的,求∠C的度数.
考点:
相似形综合题;根的判别式;根与系数的关系;平行四边形的性质;直角梯形;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质.
专题:
代数几何综合题;压轴题.
分析:
(1)根据折叠的性质可得AE=GE,∠EGB=∠EAB=90°,再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE>EG,从而判断点E不可能是AD的中点;
(2)方法一:
根据两直线平行,内错角相等可得∠AEB=∠EBF,再根据折叠的性质可以判定出∠AEB=∠BEG,然后得到∠EBF=∠BEF,从而判断出△FEB为等腰三角形,再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB,然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE,然后根据两角对应相等,两三角形相似即可证明;
方法二:
与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后,根据等腰三角形的两腰相等,然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似;
(3)①方法一:
根据勾股定理求出BD的长度,再利用两角对应相等,两三角形相似得到△ABD和△DCB相似,然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解;
方法二:
过点D作DH⊥BC于点H,然后求出∠C=∠ABD,再根据直角相等,判断出△ABD和△HCD相似,根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解;
方法三:
先求出△ABD和△GFB相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度,再求出△EDG和△FBG相似,根据平行四边形的对边相等表示出ED,再表示出DG,然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证;
②方法一:
把b=2代入a、b、c的关系式,利用求根公式求出a的两个根,再根据a是唯一的,可以判定△=c2-16=0,然后求出c=4,再代入根求出a=2,然后判断出H是BC的中点,利用解直角三角形求出∠C=45°;
方法二:
把b=2代入a、b、c的关系式,利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数,再根据a是唯一的,可以判定△=c2-16=0,然后求出c=4,再代入根与系数的关系求出a=2,然后判断出H是BC的中点,利用解直角三角形求出∠C=45°.
解答:
解:
(1)不可以.…1分
据题意得:
AE=GE,∠EGB=∠EAB=90°,
∴Rt△EGD中,GE<ED,
∴AE<ED,
故,点E不可以是AD的中点;…2分
(注:
大致说出意思即可;反证法叙述也可)
(2)方法一:
证明:
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBF,
∵△EAB≌△EGB,
∴∠AEB=∠BEG,
∴∠EBF=∠BEF,
∴FE=FB,
∴△FEB为等腰三角形.
∵∠ABG+∠GBF=90°,∠GBF+∠EFB=90°,
∴∠ABG=∠EFB,…4分
在等腰△ABG和△FEB中,∠BAG=(180°-∠ABG)÷2,
∠FBE=(180°-∠EFB)÷2,
∴∠BAG=∠FBE,…5分
∴△ABG∽△BFE,
(注:
证一对角对应等评2分,第二对角对应等评1分,该小问3分,若只证得△FEB为等腰三角形,评1分.)
由题意,△=0,即c2-16=0,
∵c>0,
∴c=4,
∴a=2…10分
∴H为BC的中点,且ABHD为正方形,DH=HC,∠C=45°;…11分
方法二:
设关于a的一元二次方程a2-ac+22=0两根为a1,a2,
a1+a2=c>0,a1•a2=4>0,
∴a1>0,a2>0,…9分
由题意,△=0,即c2-16=0,
∵c>0,
∴c=4,
∴a=2,…10分
∴H为BC的中点,且ABHD为正方形,DH=HC,∠C=45°.…11分
点评:
本题综合考查了相似三角形的性质与判定,根的判别式,根与系数的关系,平行四边形的性质,折叠的性质,综合性较强,难度较大,需仔细分析,认真研究,结合图形理清题目边长之间的关系,角度之间的关系是解题的关键,本题对同学们的能力要求较高.
2-18
求自然数n,使4n^2+5n为完全平方数
提问者采纳
设4n^2+5n=k^2,k是自然数.
4n^2+5n-k^2=0作为n的一元二次方程有整数解,所以其判别式
25+16k^2是完全平方数,即
25+16k^2=m^2(m≥5是整数)
所以(m-4k)(m+4k)=25=1*25=5*5
于是m-4k=1,m+4k=25或者m-4k=m+4k=5
m=13,k=3或者m=5,k=0相应地
n=1或0.