2根的判别式.docx

1、2根的判别式 2-例1 （2012德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 a-1a-1考点：根的判别式；一元一次方程的定义；一元二次方程的定义专题：压轴题分析：当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；当a0时，方程是一元二次方程，只要有实数根，则应满足：0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可解答：解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则=2（a+2）2-4aa0，解得：a-1故答案为：a-1点评：此题考查了根的判别式，注意本题分a

2、=0与a0两种情况讨论是解决本题的关键并且利用了一元二次方程若有实数根则应有02-例22-例3 已知关于x的一元二次方程x2-（k+2）x+2k=0（1）试说明无论k取何值时，这个方程一定有实数根；（2）已知等腰ABC的一边a=1，若另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长考点：根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质分析：（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可（2）分b=c，b=a两种情况做解答：证明：（1）=（k+2）2-8k=（k-2）20，方程总有实根；（2）当b=c时，则=0，即（k-2）2=0，k=2，方程可化为x2-4x+4=0，x1=x2=2，而b=c=2，LA

3、BC=5；当b=a=1，x2-（k+2）x+2k=0（x-2）（x-k）=0，x=2或x=k，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，k=1，c=2，a+b=c，不满足三角形三边的关系，舍去；综上所述，ABC的周长为5点评：本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰ABC的一边a=3，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长考点：根的判别式；根与系数的关系；等腰三角形的性质分

4、析：（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；（2）注意：分b=c，b=a两种情况做解答：（1）证明：=-（k+2）2-412k=（k-2）2，无论k取何值，（k-2）20，即0，无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当b=c时，则=0，即（k-2）2=0，k=2，方程可化为x2-4x+4=0，x1=x2=2，而b=c=2，ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；解：当b=a=3时，x2-（k+2）x+2k=0（x-2）（x-k）=0，x=2或x=k，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，k=b=3，c=2，ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8；综上所述，ABC的周长为7或8

5、点评：本题考查了根与系数的关系，一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍2-例4设方程|x2+ax|=4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根考点：根的判别式；绝对值；解一元二次方程-公式法专题：计算题；分类讨论；待定系数法分析：首先去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零由此即可确定a的值，同时也可以确定相应的3个根解答：解：|x2+ax|=4，x2+ax-4=0或x2+ax+4=0，方程不可能有相同的根，而原方程有3个

6、不相等的实数根，方程中有一个有等根，而1=a2+160，2=a2-16=0，a=4，当a=4时，原方程为x2+4x-4=0或x2+4x+4=0， 2-例5 2-例6 （2012临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明BMC=90；（2）如图2，当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；根的判别式；矩形的性质专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）由

7、b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得AMB=DMC=45，则可求得BMC=90；（2）由BMC=90，易证得ABMDMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0，由b2a，a0，b0，即可判定0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b2a，a0，b0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案解答：（1）证明：b=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a，又在矩形ABCD中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）解：存在，理

8、由：若BMC=90，则AMB+DMC=90，又AMB+ABM=90，ABM=DMC，又A=D=90，ABMDMC，（3）解：不成立理由：若BMC=90，由（2）可知x2-bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b2-4a20，方程没有实数根，当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质此题难度较大，解此题的关键是利用相似的性质构造方程，然后利用判别式求解2-1 （2012上海）如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 c9c9考点：根的判别式分析：根据关于x的一元二次方程没

9、有实数根时0，得出=（-6）2-4c0，再解不等式即可解答：解：关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，=（-6）2-4c0，即36-4c0，c9故答案为c9点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式=b2-4ac当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根2-22-3（2009荆门）关于x的方程ax2-（a+2）x+2=0只有一解（相同解算一解），则a的值为（）Aa=0Ba=2Ca=1Da=0或a=2考点：根的判别式分析：此题得需要讨论：若此方程ax2-（a+2）x+2=0为一元二次方程时，即a0时，当=0时，方程ax2-（a+

10、2）x+2=0只有相等的两解，即-（a+2）2-4a2=0时方程ax2-（a+2）x+2=0只有一解；若此方程ax2-（a+2）x+2=0为一元一次方程时，即a=0时，方程一定只有一解解答：解：当a0时，方程ax2-（a+2）x+2=0为一元二次方程，若方程有相等的两解，则=-（a+2）2-4a2=0，整理得a2-4a+4=0，即=（a-2）2=0，解得a=2；当a=0时，方程ax2-（a+2）x+2=0为一元一次方程，原方程转化为：-2x+2=0，此时方程只有一个解x=1所以当a=0或a=2关于x的方程ax2-（a+2）x+2=0只有一解故选D点评：解此题时很多学生容易顺理成章的按一元二次方

11、程进行解答，只解出a=2一个值，而疏忽了a=0时，此方程也有一解这一情况2-42-5 关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k-1=0的根的情况（） A有两个相等的实数根B有两个不相等实数根C有两个实数根D没有实数根答案（找作业答案-上魔方格）a=1，b=2k+1，c=k-1，=b2-4ac=（2k+1）2-41（k-1）=4k2+50，所以方程有两个不相等的实数根故选B2-6 2-7 （2012绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长考点：根的判

12、别式；一元二次方程的解；勾股定理分析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根分类讨论：当该直角三角形的两直角边是2、3时，由2-8已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根（2）若等腰ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长考点：根的判别式；等腰三角形的性质分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，当0时，方程有两个实数根，所以只需证明0即可（2）利用求根公式计算出方程的两根x

13、1=3k-1，x2=2，则可设b=2k-1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可解答：（1）证明：=-（3k+1）2-41（2k2+2k），=k2-2k+1，=（k-1）2，无论k取什么实数值，（k-1）20，0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，因式分解得：（x-2k）（x-k-1）=0，解得：x1=2k，x2=k+1，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，当a、b为腰，则a=b=6，而a+bc，a-bc，所以三角形的周长为：6+6+4=16；当b、c为腰

14、，则k+1=2k，解得k=1，b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，所以这种情况不成立；当a、c为腰 k+1=6 则k=5，b=10，三角形的周长为：6+6+10=22综上，三角形的周长为16或22点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b2-4ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用2-9 如果多项式x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值为（）A-3B-6C3D6考点：完全平方式专题：计算题分析：利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值解答：解：x2-mx+

15、9是一个完全平方式，m=6故选D点评：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键2-102-11点E和点F分别是正方形abcd中bc边和cd边上的点,且EAF=45,则EF/AB的最小值是书上有详解。2-12 若方程2x(kx-4)+x2+6=0,则K的最小值为多少？网友采纳 热心网友因为2x（kx4）x?6 0 无实数根 2kx2-8x-x2+6=0 x2(2k-1)-8x+6=0=(-8)2-4(2k-1)*6064-48k+2488k88/48k的最小整数值是22-13（2013西青区二模）若x0是一元二次方程，ax2+bx+c=0（a0）的根，则判别式=b2-4ac与平方

16、式M=（2ax0+b）2的大小关系是（）AMB=MCMD不能确定考点：根的判别式分析：首先把（2ax0+b）2展开，然后把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，再代入前面的展开式中即可得到与M的关系解答：解：把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=-c，（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=-4ac+b2=，M=故选B点评：本题是一元二次方程的根与根的判别式的结合试题，既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式，有一定的难度2-142-15如图,已知正方形mnqr内接于锐角三角形abc中，

17、设三角形abc的面积为S正方形面积为S1，求证：S1小于等于二分之一S教师来自众成中学设与内接正方形共边的三角形边长为a,且高为h，则三角形面积是ah/2 设内接正方形边长为x，则由三角形相似易得（h-x)/h=x/a 解得x=ah/(a+b) 因而，2s1-s=2x2-ah/2=2a2h2/(a+h)2-ah/2=-ah(a-h)2/2(a+h)20 即s2s12-16若a0,ba+c,则判定关于x的方程ax2+bx+c=0(a不等于0)的根的情况2011-02-14 19:06 提问者采纳 f(x)=ax2+bx+c=b2-4ac若c0,则ba+c0b2(a+c)2=a2+2ac+c2=4

18、ac0,f(x)=0有两个不同实根若c0,则f(0)=ca0,则=b20综上,f(x)=0一定有两个不同实数解提问者采纳 =b2-4ac(a+c)2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=(a-c)20即：0方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根书上的答案或更好。2-17 （2012宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90点E为底AD上一点，将ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：ABGBFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c 当四边形EFCD为平行四边形

19、时，求a，b，c应满足的关系； 在的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求C的度数考点：相似形综合题；根的判别式；根与系数的关系；平行四边形的性质；直角梯形；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）根据折叠的性质可得AE=GE，EGB=EAB=90，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DEEG，从而判断点E不可能是AD的中点；（2）方法一：根据两直线平行，内错角相等可得AEB=EBF，再根据折叠的性质可以判定出AEB=BEG，然后得到EBF=BEF，从而判断出FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出ABG=EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求

20、出BAG=FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；方法二：与方法一相同求出ABG=EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；（3）方法一：根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到ABD和DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；方法二：过点D作DHBC于点H，然后求出C=ABD，再根据直角相等，判断出ABD和HCD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；方法三：先求出ABD和GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出EDG和FBG相似，根据平行四边形的对边相等表

21、示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；方法一：把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出C=45；方法二：把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定=c2-16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出C=45解答：解：（1）不可以1分据题意得：AE=GE，EGB=EAB=90，RtEGD中，GEE

22、D，AEED，故，点E不可以是AD的中点；2分（注：大致说出意思即可；反证法叙述也可）（2）方法一：证明：ADBC，AEB=EBF，EABEGB，AEB=BEG，EBF=BEF，FE=FB，FEB为等腰三角形ABG+GBF=90，GBF+EFB=90，ABG=EFB，4分在等腰ABG和FEB中，BAG=（180-ABG）2，FBE=（180-EFB）2，BAG=FBE，5分ABGBFE，（注：证一对角对应等评2分，第二对角对应等评1分，该小问3分，若只证得FEB为等腰三角形，评1分）由题意，=0，即c2-16=0，c0，c=4，a=210分H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，C=4

23、5；11分方法二：设关于a的一元二次方程a2-ac+22=0两根为a1，a2，a1+a2=c0，a1a2=40，a10，a20，9分由题意，=0，即c2-16=0，c0，c=4，a=2，10分H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，C=4511分点评：本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高2-18求自然数n,使4n2+5n为完全平方数提问者采纳 设4n2+5n=k2，k是自然数.4n2+5n-k2=0作为n的一元二次方程有整数解，所以其判别式25+16k2是完全平方数，即25+16k2=m2(m5是整数)所以(m-4k)(m+4k)=25=1*25=5*5于是m-4k=1,m+4k=25或者m-4k=m+4k=5m=13,k=3或者m=5,k=0相应地n=1或0.