直角三角形的性质和判定Ⅱ.ppt

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直角三角形的性质直角三角形的性质和判定（和判定（）本课内容本节内容1.2做一做做一做如图如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边使其两直角边分别为分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度量出这个直角三角形斜边的长度.图图1-9我量得我量得c为为5.议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议在方格纸上，在方格纸上，以图以图1-9中的中的RtABC的三边为边长的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，那么这三个正方形的面积那么这三个正方形的面积S1，S2，S3之间有什么关系呢？

之间有什么关系呢？

图图1-10议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议由图由图1-10可知，可知，S1=32，S2=42，为了求为了求S3，我可以先算出红色区域我可以先算出红色区域内大正方形的面积，内大正方形的面积，再减去再减去4个小三个小三角形的面积，角形的面积，得得S3=52.32+42=52，S1+S2=S3.在图在图1-10中，中，S1+S2=S3，即即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？

等于斜边的平方呢？

图图1-10探究探究如图如图1-11，任作一个，任作一个RtABC，C=90，若若BC=a，AC=b，AB=c，那么那么a2+b2=c2是否成立呢？

是否成立呢？

图图1-11步骤步骤1先剪出先剪出4个如图个如图1-11所示的直角三角形，所示的直角三角形，由由于每个直角三角形的两直角边长为于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中其中ba），于是它们全等，于是它们全等（SAS），从而它们的，从而它们的斜边长相等斜边长相等.设斜边长为设斜边长为c.图图1-11我们来进行研究我们来进行研究.步骤步骤2再剪出再剪出1个边长为个边长为c的正方形，如图的正方形，如图1-12所示所示.图图1-12步骤步骤3把步骤把步骤1和步骤和步骤2中剪出来的图形拼成中剪出来的图形拼成如图如图1-13的图形的图形.图图1-13由于由于DHKEIH，24.又又1+2=90，1+4=90.因此拼成的图形是正方形因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为，它的边长为（a+b），它的面积为它的面积为（a+b）2.又又KHI=90，1+KHI+4=180，即即D，H，E在一条在一条直线上直线上.图图1-13同理同理E，I，F在一条直线上；在一条直线上；F，J，G在一条直线上；在一条直线上；G，K，D在一条直线上在一条直线上.又正方形又正方形DEFG的面积为的面积为c2+，即即a2+2ab+b2=c2+2ab，a2+b2=c2.图图1-13结论结论直角三角形两直角边直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c的平方的平方.a2+b2=c2由此得到由此得到直角三角形的性质定理：

直角三角形的性质定理：

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图弦（如图1-14），因此这一性质被称为），因此这一性质被称为勾股定理勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.勾勾股股弦弦故故AD的长为的长为12cm.在在RtADB中，由勾股定理得中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2，如图如图1-15，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，已知中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，ADBC于点于点D.你能算出你能算出BC边上的高边上的高AD的长吗？

的长吗？

例例1图图1-15举举例例解解在在ABC中，中，AB=AC=13，BC=10，ADBC，BD=5.在在RtABC中，中，C=90.

（1）已知已知a=25，b=15，求，求c；

（2）已知已知a=5，c=9，求，求b；（3）已知已知b=5，c=15，求，求a.练习练习答：

（答：

（1）c=；（；

（2）；（；（3）动脑筋动脑筋如图如图1-16，电工师傅把，电工师傅把4m长的梯子长的梯子AC靠在靠在墙上，使梯脚墙上，使梯脚C离墙脚离墙脚B的距离为的距离为1.5m，准备在，准备在墙上安装电灯墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到，即移动到C处处.那么，梯子顶端是否往上移动那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？

呢？

图图1-16在在RtABC中，中，AC=4m，BC=1.5m，图图1-17由勾股定理得，由勾股定理得，（m）.图图1-16由图由图1-16抽象出示意图抽象出示意图1-17.在在RtABC中，计中，计算出算出AB；再在再在Rt中，中，计算出计算出，则可得，则可得出梯子往上移动的距离为出梯子往上移动的距离为（-AB）m.即梯子顶端即梯子顶端A点大约向上移动了点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动，而不是向上移动0.5m.图图1-17因此因此=3.87-3.71=0.16（m）.在在Rt中，中，=4m，=1m，故故（“引葭赴岸引葭赴岸”问题）问题）“今有方池一丈，葭生其今有方池一丈，葭生其中央，中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，问水深，葭长各几何？

葭长各几何？

”意思是：

有一个边长为意思是：

有一个边长为10尺的尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为部分为1尺尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与问水深与芦苇长各为多少？

芦苇长各为多少？

例例2宋刻宋刻九章算术九章算术书影书影举举例例分析分析根据题意，先画出水池截面示意图，根据题意，先画出水池截面示意图，如图如图1-18.设设AB为芦苇，为芦苇，BC为芦苇出水部分，即为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向尺，将芦苇拉向岸边，其顶部岸边，其顶部B点恰好碰到岸边点恰好碰到岸边B.在在RtACB中，中，根据勾股定理，得根据勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：

水池的深度为答：

水池的深度为12尺，芦苇长为尺，芦苇长为13尺尺.如图如图1-18，设水池深为，设水池深为x尺，尺，则则AC=x尺，尺，AB=AB=（x+1）尺尺.解解图图1-18因为正方形池塘边长为因为正方形池塘边长为10尺，尺，所以所以BC=5尺尺.解得解得x=12.则芦苇长为则芦苇长为13尺尺.1.如图，一艘渔船以如图，一艘渔船以30海里海里/h的速度由西向东追赶的速度由西向东追赶鱼群鱼群.在在A处测得小岛处测得小岛C在船的北偏东在船的北偏东60方向；方向；40min后，渔船行至后，渔船行至B处，此时测得小岛处，此时测得小岛C在船的北偏在船的北偏东东30方向方向.已知以小岛已知以小岛C为中心，周围为中心，周围10海里以内海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？

的危险？

练习练习解：

解：

过点过点C作作CDAB，垂足为，垂足为D，D因因CD距离不在以点距离不在以点C为中心，周围为中心，周围10海里范围内，海里范围内，所以轮船不会触礁所以轮船不会触礁.由已知得由已知得AB=30（海里海里），在在RtCBD中，中，BCD=30，2.如图，如图，AE是位于公路边的电线杆，高为是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥的水泥撑杆撑杆BD，用于撑起电线，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距已知两根杆子之间的距离为离为8m，电线，电线CD与水平线与水平线AC的夹角为的夹角为60.求电线求电线CDE的总长的总长L（A，B，C三点在同一直线三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.在下图中，过在下图中，过D点作点作DMAE，垂足为，垂足为M.解解M易知四边形易知四边形MABD为矩形，为矩形，MA=BD=6m，所以所以ME=EA-MA=12-6=6（m）.在在RtEMD中，由勾股定理得中，由勾股定理得所以所以L=ED+CD=10+（m）.M在在RtDBC中中,CDB=30,设设BC=x,DC=2x，由勾股定理得由勾股定理得,x2+62=（2x）2解得解得x=我们已经知道勾股定理：

我们已经知道勾股定理：

“直角三角形两直角直角三角形两直角边边a，b的平方和，等于斜边的平方和，等于斜边c的平方的平方.”那么，这个那么，这个定理的逆命题成立吗？

定理的逆命题成立吗？

探究探究如图如图1-19，在，在ABC中，中，AB=c，BC=a，AC=b，且且a2+b2=c2，那么那么ABC是直角三角形吗？

是直角三角形吗？

图图1-19如果我们能构造一个直角三角形，如果我们能构造一个直角三角形，然然后证明后证明ABC与所构造的直角三角与所构造的直角三角形形全等，全等，即可得即可得ABC是直角三角形是直角三角形.a2+b2=c2，图图1-20=c.如图如图1-20，作，作Rt，使，使=90，=a，=b.在在Rt中，中，根据勾股定理得，根据勾股定理得，2=a2+b2，2=c2.ABC是直角三角形是直角三角形.先构造满足某些条件的先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问完成证明，这也是常用的问题解决策略题解决策略.在在ABC和和中，中，BC=a，AC=b，AB=c，ABCC=90.结论结论如果三角形的三条边长如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：

满足关系：

，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形.由此得到由此得到直角三角形的判定定理：

直角三角形的判定定理：

上述定理被称为勾股定理的逆定理上述定理被称为勾股定理的逆定理.分析分析根据勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是判断一个三角形是不是直角三角形，直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方最长边的平方.例例3判断由线段判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形组成的三角形是不是直角三角形.

（1）a=6，b=8，c=10；

（2）a=12，b=15，c=20.举举例例满足满足a2+b2=c2的的三个正整数称为勾股三个正整数称为勾股数数.

（2）122+152=369，202=400，122+152202.这个三角形不是直角三角形这个三角形不是直角三角形.

（1）62+82=100，102=100，62+82=100.这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形.解解

（1）a=6，b=8，c=10；

（2）a=12，b=15，c=20.例例4如图如图1-21，在，在ABC中，已知中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求求DC的长的长.在在ABD中，中，AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102，解解即即AD2+BD2=AB2，ADB为直角三角