试求X（t）的一维和二维分布，并求x（t）的数学期望和自相关函数
解：
一维分布
F
x（t）1
p
Fx（t）01p
.维分布
:
F
>X（tJ
1,X（t2）
1
2
p
p
X（t1）
1,X（t2）
0
p（1
p）
p
X（t1）
0,X（t2）
1
（1
p）p
p
X（t1）
0,X（t2）
0
（1
p）2
X（t）的数字期望
mX（t）EX（t）1pX（t）10pX（t）0p
随机过程X（t）的自相关函数为
RX（tl,t2）EX（tJX（t2）1px（tj1,X（t2）1
0PXt,1且X（t2）0;X（t1）0且X（t2）1;X（t1）0且X（t2）0
当m》n时
E（Xj）21
n
DYn1
j1
解：
随机过程Y（t）的数字期望为
EX（tJX（t2）（t2）X（tJ（t1）X（t2）（t1）（t2）
EX（t1）X（t2）（t2）EX（t1）（t1）EX（t2）（切（t2）
EX（tJEX（t2）（t2）EX（t」（tJEX（t2）（切心）
思考：
有没有更为简单的方法呢？
1,X（t）XY（t）
0X（t）X
试证：
Y（t）的数字期望和相关函数分别为随机过程X（t）的一维和二维分布函数。
9．给定随机过程X（t）,t
，对于任意一个数x，定义另一个随机过程
证明：
设X（t）的一维和二维概率密度分加别为
fi（X,t）和f2（Xi,X2；ti,t2）
X
则EY（t）EY（t）y（t）f1（X,t）dXy（t）f1（X,t）dXy（t）f1（X,t）dt
X
X
f1（X,t）dtF1（X,t）
RY（t1,t2）E（Y（t1）Y（t2））y1y2f2（X2,X2;t1,t2）dX1dX2
X1X2
f2（X1,X2;t1,t2）dX1dX2F（X1,X2,t1,t2）
若考虑到对任意的tT,Y（t）是离散型随机变量，则有：
EY（t）EY（t）1PY（t）10PY（t）0
PX（t）XF1（X,t）
RY（t1,t2）EY（t1）Y（t2）11PY（t1）1,Y（t2）1
10PY（t1）1,Y（t2）0
10PY（t1）0,Y（t2）1
00PY（t1）0,Y（t2）0
10•给定一个随机过程X（t）和常数a,试用X（t）的相关函数表示随机过程
Y（t）X（ta）X（t）的相关函数。
解：
根据定义
RY（t1,t2）EY（t1）Y（t2）EX（t1a）X（t1）X（t2a）X（t2）
EX（t1a）X（t2a）X（t1a）X（t2）X（t1）X（t2a）X（t1）X（t2）
均匀分布，试求X（t）的数字期望和相关函数。
1
2
2
cos（
）cos（
、,1
0
a
da
0
0b
0上2
）d2
1
2
0（t1
t2）
2（
1
6
0
cos
cos
0（t1t2）d
2
1
0
2
0（t1
t2）d
1
1“
0
cos
-cos0（t1
t2）
6
2
6
1
0_
2
11
f（x）—%02
0其它
因此X（t）的数字期望为:
mx（t）EX（t）E[cost]
1
costd
mx（t）
11.
sin
t
+sin（
2）tsln（X02）t
12cos0tsin
t
11）t2sin
（2）cosot
当t0寸X（t）cos01
EX（t）1
求其协方差函数:
Cx（ti,t2）EX（ti）X（t2）EX（ti）EX（t2）
当t1t20且t1t20时
当t1t20且t1t20时
11
sin（t1t2）cos0（t1t2）
（t1t2）2v7
类上当t
0但t1t20即t1t2t时
当t1t2
字期望和协方差。
解：
EX（t）EXa
Cx（t1,t2）EX（t1）X（t2）EX（t1）EX（t2）
EX2
（EX）2DX
14•
设随机过程X（t）XYt,
t,向随机矢量（x,y）的协方差阵为
2
1
2
2
，试求X（t）的协方程函数。
解:
Cx（t「t2）EX（tJX（t2）
EX（tJEX（t2）
x2XYt2XYt1Y2t1t2
而X（tJX（t2）（XYtJ（XYt2）
22
EX（t1）X（t2）E[XXYt1XYt1Yt1t2]
Cx（tit）[EX2（EX）2][EY2（EY）2]td2（tit2）[E（XY）EXEY]
DXtit2DY（tit2）CoV（X,Y）
各自的数学期望的0,方差为1,试求X（t）的协方差函数。
解：
Cx（ti，t2）E[X（ti）X（t2）]EX（ti）EX（t2）
DXEX2
（EX）2
DY
EY2
（EY）2
DZEZ2
（EZ）2
2
EXEY
2EZ2
1
X（tJX（t2）（XYt
Zt12）（X
Yt2
Zt；）
X2
XYt2
xzt；
XYt1
YM
YZt1t2XZt12
YZt12t2Z2t2t；
E[X（t1）X（t2）]
EX2
2
t1t2EY
22
t1t2
EZ21
22
也t1t2
EX（tJE（X
YtZt
2）0
EX&）
0
22
Cx（ti,t2）E[X（ti）X（t2）]EX（ti）EX（t2）1tit2tit2
16•设随机过程X（t）的导数存在，试证EX⑴讐◎严
证明：
dX（t）1卅（七t）X（t）
dtt0t
X（严X（t）l.i.mX（tt）X（t）l.i.mX（tt）X（t）X2⑴
dtt0tt0t
EX（t）
dX（t）
dt
EM"疋⑴
limRX（tt,t）RX（t,t）
t0t
■—RX（t1,t）
t1t11
证毕
2
）的随机变量，作随机过程
17•设X,Y是相互独立分别服从正态分布N（0,
X（t）XtY。
试求下则随机变量的数学期望。
乙
1
0X（t）dt
12
Z2X（t）dt
0
解:
1
1
1
乙
0X（t）dt
0（XtY）dt
-X
2
Y
E乙
E!
x
1
Y-EX
EY
0
2
2
1
Y）2dto（X2t22XYtY2）dt
18.试证明均方导数的下列性质。
⑴EdXIt）dEX（t）
dtdt
证明:
dX（t）X（t
EEl.i.m
dtAt0
t）
t
X（t）||mEX（tt）EX（t）
At0t
dEX（t）
dt
（2）
若a,b为常数，则［aX（t）
bY（t）]
aX'（t）bY'（t）
证明：
[aX（t）bY（t）]
al.i.m$t
At0
t）aX（t）bX（t）tbl.i.mY（tt）Y（t）
At0
’aX（tt）bY（tl.i.m
At0
t）X（t）
t
aX（t）bY（t）
（3）若f（t）为可微函数，则［f（t）X（t）］
f（t）X（t）
f（t）X
（t）
证明：
定义范数：
|XEX2，易证X
f（t）X（t）
又f（tt）X（tt）f（t）X（t）f（t）X（t）
f（t）X（t）f（t）X（t）
f（tt）X（tt）f（t）X（tt）f（t）X（t
t
f（t—一X（tt）f（t）一t）X（t）f（t）X（t）f（t）X'（t）
f（tt）f⑴X（tt）f（t）X（t
t）f（t）X（tt）X（t）
X（t）f（t）X（t
t）X（t）
f（tt）X（tt）f（t）X（t）
~T
f（t）X（t）f（t）X'（t）
f（tt）f（t）
~T
f（t）
x（t
t）|||f（t）X（tt；X（t）
X'（t）|f（t）X（t
t）X（t）0
f（t）EX（t）dt
19•试证明均方极限的下列性质。
b
（1）Ef（t）X（t）dt
a
n
El.i.mjf（tk）X（tk）tk
k1
mt
ha
di
di
n
E[f（t；）X（tk）]tklim0f（t；）EX（t；）tk
11
f（t）EX（t）dt
（2）若,
是常数，则
b
b
b
a[X（t）
Y（t）]dtdX（t）dt
a
Y（t）dt
a
b
证明：
[X（t）Y（t）]dt
a
mo
•丄△
*k
IL
/V
Y（tk）]tk
mo
•丄△
*k
IL
X
k
k
*k
IL
/V
Y
b
Y（t）dt
=X（t）dt
a
20•设X（t）,atb是均方可导的随机过程，试证
l.j.rng（t）X（t）g（to）X（to）
这里g（t）是区间[a,b]上的连续函数
2
证明：
只要证limEg（t）X（t）g（to）X（to）0
由于g（t）X（t）g（to）X（to）g（t）X（t）g（t）X（to）g（t）X（to）g（to）X（to）
g（t）[X（t）X（to）][g（t）g（to）]X（to）
g（t）X（t）g（to）X（to）2g2（t）[X（t）X（t。
）]2[g（t）g（t°）]2X2（t。
）2g（t）（g（t）g（t。
））[X（t）X（to）]X（to）
$E|X（t）X（t°）|2JEX2（t。
）
［叫EX（t）
t10
2
X（to）
Jinpg（t）g（to）
tt0
［叫Eg（t）X（t）g（to）X（to）20
t10
即l.i.mg（t）x（t）g（t°）x（t。
）［证毕］
tt0
1
即t（k
0
22
EXttEY（t1t2）E（XY）
E（XYtJE（XYt2）（EXt1EY）（EXtzEY）
（EX）2t2EXEYt1EXEYt1t2（EY）2
（EX）2（t1t2）EXEYt1t2（EY）2
升级会员 