人教版初一上册数学《绝对值》专题讲义含答案.docx
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人教版初一上册数学《绝对值》专题讲义含答案
绝对值
绝对值的几何意义:
一个数
的绝对值就是数轴上表示数
的点与原点的距离.数
的绝对值记作
.
绝对值的代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
注意:
①取绝对值也是一种运算,运算符号是“
”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;
的绝对值是
.
③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成:
符号和它的绝对值,如:
符号是负号,绝对值是
.
求字母
的绝对值:
①
②
③
利用绝对值比较两个负有理数的大小:
两个负数,绝对值大的反而小.
绝对值非负性:
如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.
例如:
若
,则
,
,
绝对值的其它重要性质:
(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即
,且
;
(2)若
,则
或
;
(3)
;
;
(4)
;
的几何意义:
在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.
的几何意义:
在数轴上,表示数
、
对应数轴上两点间的距离.
【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是()A、±2B、2C、-2D、4
【难度】1星
【解析】此题要全面考虑,原点两侧各有一个点到原点的距离为2,即表示2和-2的点.
【答案】根据题意,知到数轴原点的距离是2的点表示的数,即绝对值是2的数,应是±2.
故选A.
点评:
利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题,体现了数形结合的数学思想.
【例2】下列说法正确的有( )
①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相反数的两个数的绝对值相等;④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数.
A、②④⑤⑥B、③⑤C、③④⑤D、③⑤⑥
【难度】2星
【解析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断.
【答案】①0是有理数,|0|=0,故本小题错误;
②互为相反数的两个数的绝对值相等,故本小题错误;
③互为相反数的两个数的绝对值相等,故本小题正确;
④有绝对值最小的有理数,故本小题错误;
⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的,所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,故本小题正确;
⑥只有符号不同的两个数互为相反数,故本小题错误.
所以③⑤正确.
故选B.
点评:
本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点,熟知以上知识是解答此题的关键.
【例3】如果a的绝对值是2,那么a是( )
A、2B、-2C、±2D、
【难度】1星
【解析】根据题意可知:
绝对值等于2的数应该是±2.
【答案】2的绝对值是2,-2的绝对值也是2,所以a的值应该是±2.
故选C.
点评:
本题考查了绝对值的概念,学生要熟练掌握.
【例4】若a<0,则4a+7|a|等于( )
A、11aB、-11aC、-3aD、3a
【难度】2星
【解析】:
本题考查有理数的绝对值问题,如果用字母a表示有理数,则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定:
①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;
②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数-a;
③当a是零时,a的绝对值是零
【答案】:
解:
∵a<0,
∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a.
选C.
【例5】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是( )
A、1,0B、正数C、非正数D、非负数
【难度】1星
【解析】:
根据绝对值的性质进行解答即可.
【答案】解:
因为一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,
所以一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是非负数.
故选D.
【例6】已知|x|=5,|y|=2,且xy>0,则x-y的值等于( )
A、7或-7B、7或3C、3或-3D、-7或-3
【难度】2星
【解析】先根据绝对值的定义求出x、y的值,再由xy>0可知x、y同号,根据此条件求出x、y的对应值即可.
【答案】解:
∵|x|=5,|y|=2,
∴x=±5,y=±2,
∵xy>0,
∴当x=5时,y=2,此时x-y=5-2=3;
当x=-5时,y=-2,此时x-y=-5+2=-3.
故选C.
点评:
本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法,熟知绝对值的性质是解答此题的关键.
【例7】若
,则x是( )
A、正数B、负数C、非负数D、非正数
【难度】2星
【解析】本题作为选择题可用排除法进行解答,由于
是分式,所以x≠0,故可排除C、D;再根据x的取值范围进行讨论即可.
【答案】:
解:
∵
是分式,
∴x≠0,
∴可排除C、D,
∵当x>0时,原式可化为
=1,故A选项错误.
故选B.
点评:
本题考查的是绝对值的性质,即一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
【例8】已知:
a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( )
A、1-b>-b>1+a>a
D、1-b>1+a>-b>a
C、1+a>1-b>a>-b
B、1+a>a>1-b>-b
【难度】3星
【解析】根据绝对值的定义,可知a>0,b<0时,|a|=a,|b|=-b,代入|a|<|b|<1,得a<-b<1,由不等式的性质得-b>a,则1-b>1+a,又1+a>1,1>-b>a,进而得出结果.
【答案】∵a>0,∴|a|=a;
∵b<0,∴|b|=-b;
又∵|a|<|b|<1,∴a<-b<1;
∴1-b>1+a;
而1+a>1,
∴1-b>1+a>-b>a.
故选D.
点评:
本题主要考查绝对值的定义:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是是它的相反数;0的绝对值是0;互为相反数的绝对值相等.
【例9】已知a、b互为相反数,且|a-b|=6,则|b-1|的值为( )
A、2B、2或3C、4D、2或4
【难度】2星
【解析】根据互为相反数的两数和为0,又因为|a-b|=6,可求得b的值,代入即可求得结果判定正确选项.
【答案】∵a、b互为相反数,
∴a+b=0,
∵|a-b|=6,
∴b=±3,
∴|b-1|=2或4.
故选D.
点评:
此题把相反数和绝对值的运算结合求解.先根据相反数求出b的值,再确定绝对值符号中代数式的正负,去绝对值符号.
【例10】a<0,ab<0,计算|b-a+1|-|a-b-5|,结果为( )
A、6B、-4C、-2a+2b+6D、2a-2b-6
【难度】2星
【解析】:
根据已知条件先去掉绝对值即可求解.
【答案】解:
∵a<0,ab<0,
∴b-a+1>0,a-b-5<0,
∴|b-a+1|-|a-b-5|
=b-a+1+a-b-5
=-4.
故选A.
【例11】若|x+y|=y-x,则有( )
A、y>0,x<0B、y<0,x>0C、y<0,x<0D、x=0,y≥0或y=0,x≤0
【难度】4星
【解析】根据绝对值的定义,当x+y≥0时,|x+y|=x+y,当x+y≤0时,|x+y|=-x-y.从中得出正确答案.:
【答案】解:
∵|x+y|=y-x,
又当x+y≥0时,|x+y|=x+y,可得x=0,y≥0或者y=0,x≤0
又当x+y≤0时,|x+y|=-x-y,可得y=0,x≤0或x=0,y≥0
∴x=0,y≥0或y=0,x≤0
选D.
点评:
此题主要考查了绝对值的性质,能够根据已知条件正确地判断出x,y的值是解答此题的关键.
【例12】已知:
x<0<z,xy>0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值( )
A、是正数B、是负数C、是零D、不能确定符号
【难度】4星
【解析】:
先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小,再画出数轴确定出各点在数轴上的位置,根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值,使原式得到化简.
【答案】:
解:
由题意可知,x、y、z在数轴上的位置如图所示:
所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-(y+z)-(x-y)=0
【例11】给出下面说法:
(1)互为相反数的两数的绝对值相等;
(2)一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;
(3)若|m|>m,则m<0;
(4)若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有( )
A、
(1)
(2)(3)B、
(1)
(2)(4)C、
(1)(3)(4)D、
(2)(3)(4)
【难度】3星
【解析】:
分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答.
【答案】解:
(1)正确,符合绝对值的性质;
(2)正确,符合绝对值的性质;
(3)正确,符合绝对值的性质;
(4)错误,例如a=-5,b=2时,不成立.
故选A.
(1)相反数的定义:
只有符号不同的两个数,叫互为相反数;
(2)绝对值的性质:
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
【例12】已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________
【难度】3星
【解析】:
根据图示,可知有理数a,b,c的取值范围b>1>a>0>c>-1,然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值.
【答案】:
解:
根据图示知:
b>1>a>0>c>-1,
∴|c-b|-|b-a|-|a-c|
=-c+b-b+a-a+c
=0
故答案是0.
点评:
本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较.
【例13】若x<-2,则|1-|1+x||=______
若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|=________
【难度】3星
【解析】根据已知x<-2,则可知1+x<0,x+2<0;再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化为-2-x
根据已知|a|=-a与绝对值的定义,那么a≤0,则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后
【答案】∵x<-2,∴1+x<0,x+2<0,
则|1-|1+x||=|1-[-(1+x)]|=|2+x|=-2-x;
∵|a|=-a,
∴a≤0,
∴a-1<0,a-2<0,,
则|a-1|-|a-2|=1-a-(2-a),
=1-a-2+a,
=-1.
故答案为:
-2-x,-1.
点评:
此题主要考查了绝对值的性质,能够根据已知条件正确地判断出1+x<0、x+2<0、a≤0 进而得出a-1<0、a-2<0,这些是解答此题的关键
【例14】
,分别求
的值
【难度】3星
【解析】根据平方和绝对值的非负性解决。
【答案】
可得
;所以
【例15】
的最小值是_______
【难度】4星
【解析】根据绝对值的定义,对本题需去括号,那么牵涉到x的取值,因而分①当x<-1;②当-1≤x≤5;③当x>5这三种情况讨论该式的最小值.
【答案】①当x<-1,|x+1|+|x-5|+4=-(x+1)+5-x+4=8-2x>10,
②当-1≤x≤5,|x+1|+|x-5|+4=x+1+5-x+4=10,
③当x>5,|x+1|+|x-5|+4=x+1+x-5+4=2x>10;
所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10.
故答案为:
10.
点评:
本题主要考查了绝对值的定义.如何去掉绝对值是解决本题的关键,因而采用了对x的取值讨论,去掉绝对值,进而确定式子的最小值.
【例16】计算
=
【难度】4星
【解析】根据绝对值的定义,去掉绝对值符合,化简求值.
【答案】
=
=
=
=
故答案为
点评:
解决本题的关键是去掉绝对值符号后,部分数值恰好是互为相反数,其和等于0.
【例17】若|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简:
|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________
【难度】4星
【解析】根据绝对值的性质进行化简:
正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
【答案】∵|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,
∴a≤0,b≤0,c≥0,
∴a+b≤0,c-b≥0,a-c≤0,
∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b.
故答案为b.
点评:
此题考查了绝对值的性质,同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号.
【例18】已知:
abc≠0,且M=
,当a,b,c取不同值时,M有____种不同可能.
当a、b、c都是正数时,M=______;
当a、b、c中有一个负数时,则M=________;
当a、b、c中有2个负数时,则M=________;
当a、b、c都是负数时,M=__________.
【难度】4星
【解析】:
根据abc≠0,可以知道,a、b、c一定不可能是0,可以分三个中都是正数,只有一个负数,有2个负数,3个都是负数,4种情况进行讨论即可.
【答案】当a、b、c中都是正数时,M=1+1+1=3;
当a、b、c中有一个负数时,不妨设a是负数,则M=-1+1+1=1;
当a、b、c中有2个负数时,不妨设a,b是负数,则M=-1-1+1=-1;
当a、b、c都是负数时,M=-1-1-1=-3;
故M有4种不同结果.
1.若a的绝对值是
,则a的值是( )
A、2B、-2C、
D、
【难度】1星
【解析】:
根据绝对值的意义可知:
表示数a的点与原点的距离为
,这样的点有两个,分别在原点的左右两侧.求出即可.
【答案】解:
∵|a|=
,∴a=
.
故选D.
点评:
此题注意考查绝对值的意义,应多让学生借助数轴,直观的观察、总结、归纳结论.
2.若|x|=-x,则x一定是( )A、负数B、负数或零C、零D、正数
【难度】1星
【解析】:
根据绝对值的性质进行解答即可.
【答案】:
解:
A、错误,例如x=0时不成立;
B、正确,符合绝对值的性质;
C、错误,x<0时原式仍成立;
D、错误,例如|5|≠-5.
故选B.
点评:
本题考查的是绝对的性质,根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键.
2.如果|x-1|=1-x,那么( )
A、x<1B、x>1C、x≤1D、x≥1
【难度】1星
【解析】:
根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号,再根据不等式的性质解答即可.
【答案】:
解:
∵|x-1|=1-x,
∴x-1≤0,
∴x≤1.
故选C.
点评:
绝对值规律总结:
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质.
3.若|a-3|=2,则a+3的值为( )A、5B、8C、5或1D、8或4
【难度】2星
【解析】:
先根据绝对值的性质去掉绝对值符号,求出a的值,再把a的值代入a+3进行计算即可.
【答案】:
解:
当a-3≥0,即a≥3时,原不等式可化为a-3=2,a=5,故a+3=5+3=8;
当a-3<0,即a<3时,原不等式可化为-a+3=2,a=1,故a+3=1+3=4.
故a+3=8或4.
故选D.
点评:
本题考查的是绝对值的性质,解答此题题目是要注意分类讨论,不要漏解.
4.若x<2,则|x-2|+|2+x|=________________
【难度】2星
【解析】:
已知x<2,可得x-2<0,先分类讨论,然后根据绝对值的性质进行求解.
【答案】:
解:
∵x<2,
∴x-2<0,
①若-2≤x<2,
∴|x-2|+|2+x|=-(x-2)+2+x=4;
②x<-2,
∴x+2<0,
∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x.
故答案为:
4或-2x.
点评:
此题主要考查绝对值的性质,当x>0时,|x|=x;当x≤0时,|x|=-x,解题的关键是如何根据已知条件,去掉绝对值,还考查了分类讨论的思想,是一道好题.
5.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________
【难度】2星
【解析】根据绝对值的概念,即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值,结合数轴,知绝对值小于6的所有整数分别是±1,±2,±3,±4,±5,0,进一步求得其和与积.
【答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1,±2,±3,±4,±5,0.
则它们的和是0,积是0.
故答案为0,0.
点评:
此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算.互为相反数的两个数的和是0;几个数相乘,若其中一个因数为0,则积为0.
6.如图所示,a、b是有理数,则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________
【难度】3星
【解析】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围,再根据绝对值的性质进行解答即可.
【答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知,-1<a<0,b>1,
∴a+b>0,b-a>0,
∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a.
故答案为:
3b-a.
点评:
本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点,能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键.
7.已知|x|=2,|y|=3,且xy<0,则x+y的值为_________
【难度】3星
【解析】若|x|=2,|y|=3,则x=±2,y=±3;又有xy<0,则xy异号;故x+y=±1.
【答案】∵|x|=2,|y|=3,
∴x=±2,y=±3,
∵xy<0,
∴xy符号相反,
①x=2,y=-3时,x+y=-1;
②x=-3,y=3时,x+y=1.
故答案为:
±1.
点评:
本题考查绝对值的化简,正数的绝对值是其本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
1.通过本堂课你学会了.
2.掌握的不太好的部分.
3.老师点评:
①.
②.
③.
1.(2011•济南)-19的绝对值是________
【难度】1星
【解析】直接根据绝对值的性质进行解答即可.
【答案】:
解:
∵-19<0,
∴|-19|=19.
故答案为:
19.
点评:
本题考查的是绝对值的性质,用到的知识点为:
负数的绝对值是它的相反数.
2.如果|-a|=-a,则a的取值范围是(
A、a>OB、a≥OC、a≤OD、a<O
【难度】1星
【解析】:
根据绝对值的性质:
一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.若|-a|=-a,则可求得a的取值范围.注意0的相反数是0.
【答案】:
解:
因为一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0或相反数,所以如果|a|=-a,那么a的取值范围是a≤0.
故选C.
点评:
此题考查的知识点是绝对值,关键明确绝对值规律总结:
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
3.对值大于1且不大于5的整数有__________个.
【难度】2星
【解析】先根据题意列出不等式组,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出符合条件的x的整数值即可.
【答案】由题意得
,
解得1<x≤5或-5≤x<-1,
所以x的值可以是2、3、4、5或-2、-3、-4、-5共8个.
故答案为:
8.
点评:
本题考查的是绝对值的性质及一元一次不等式组的特殊解,根据题意列出不等式组是解答此题的关键.
4.绝对值最小的有理数是_________.绝对值等于本身的数是________.
【难度】1星
【解析】根据绝对值的定义及性质来解答.
【答案】绝对值等于本身的数是非负数.绝对值最小的有理数是0.
故答案为:
0、非负数.
点评:
本题考查了绝对值的定义.一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
5.当x__________时,|2-x|=x-2.
【难度】2星
【解析】因为x-2和2-x互为相反数,即一个数的绝对值等于它的相反数,所以2-x≤0,即可得到答案.
【答案】∵x-2=-(2-x),,|2-x|=x-2,
∴2-x≤0,
解得:
x≥2.
故答案为:
x≥2.
点评:
本题考查对绝对值和相反数的理解和掌握,知一个数的绝对值等于它的相反数,这个数是负数是解此题的关键.
6.如图,有理数x,y在数轴上的位置如图,化简:
|y-x|-3|y+1|-|x|=________
【难度】3星
【解析】依据x,y在数轴上的位置比较大小,在此基础上化简给出的式子.
【答案】根据数轴图可知:
x>0,y<-1,
∴|y-x|=x-y,|y+1|=-1-y,|x|=x;
∴|y-x|-3|y+1|-|x|=x-y+3(1+y)-x=2y+3.
点评:
考查绝对值的运算,先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号.借助数轴化简含有绝对值的式子,比较有关数的大小有直观、简捷,举重若轻的优势.
7.若
,则
的值是多少?
【难度】3星
【解析】根据绝对值的非负性来解决。
【答案】由
可得:
所以
所以
=