七年级数学上册 绝对值 解答压轴题专题练习Word格式.docx

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当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，

如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A、B两点都不在原点时，

如图2，点A、B都在原点的右边

|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

如图3，点A、B都在原点的左边，

|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

如图4，点A、B在原点的两边，

|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是______．

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x为______；

（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是______．

3．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______”．

小红说：

“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：

“利用数轴可以解决这个问题．”

他们把数轴分为三段：

x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______．

（2）已知y=|2x+8|﹣4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．

4．请把下列每对数在数轴上所对应的两点的距离写在横线上：

（1）①3与2______；

3与﹣2______；

③﹣4与﹣4______；

④﹣3与2______；

你能发现求出距离与这两个数的差有什么关系吗？

如果有一对数为a，b，则a，b两数所对应的两

点之间的距离可表示为______．

（2）如图所示，点A、B所代表的数分别为1，﹣2，在数轴上画出与A、B两点的距离之和为5的点（并表上相应的字母）

（3）由以上探索解答下列问题：

①当|x+1|+|x﹣2|=7时，x=______；

②|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的和的最小值=______

③求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|…|x﹣21|的最小值．

5．先阅读，后探究相关的问题

【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；

|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为______和______，B，C两点间的距离是______；

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为______；

如果|AB|=3，那么x为______；

（3）若点A表示的整数为x，则当x为______时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；

（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是______．

6．认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料1：

在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；

|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；

|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．

问题

（1）：

点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）．

问题

（2）：

利用数轴探究：

①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是______，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是______；

当x的值取在______的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是______．

材料2：

求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值．

分析：

|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|

根据问题

（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之间（包括﹣1、3）的任意一个数，要使|x﹣2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可．

问题（3）：

利用材料2的方法求出|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|的最小值．

7．阅读下面的材料，然后回答问题．

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离用|AB|表示．当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1所示，|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|．当A，B两点都不在原点时，

①如图2所示，点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图3所示，点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如图4所示，点A，B分别在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|．

综上可知，数轴上任意两点A，B之间的距离可表示为：

|AB|=|a﹣b|．

（1）数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是______，数轴上表示2和﹣5两点之间的距离是______．

（2）数轴上表示x和2两点A和B之间的距离是______；

如果|AB|=3，那么x______．

（3）当代数式|x+2|+|x﹣3|取最小值时，x的取值范围是______．

8．阅读下列材料：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离．

例1：

解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为2或﹣2，即该方程的解为x=2或x=﹣2

例2：

解不等式|x﹣1|＞2，如图1，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1和3，则|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3．

例3：

解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边，若x对应点在1的右边，由图2可以看出x=2．同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，故原方程的解是x=2或x=﹣3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x+3|=4的解为______．

（2）不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为______．

9．阅读下面材料并解决有关问题：

我们知道：

|x|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1=0和x﹣2=0，分别求得x=﹣1，x=2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=﹣1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

①x＜﹣1；

②﹣1≤x＜2；

③x≥2．

从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：

①当x＜﹣1时，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；

②当﹣1≤x＜2时，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；

③当x≥2时，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．综上讨论，原式=．

通过以上阅读，请你解决以下问题：

（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．

（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．

10．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．

利用数形结合思想回答下列问题：

（1）数轴上表示2和10两点之间的距离是______，数轴上表示2和﹣10的两点之间的距离是______．

（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为______．

（3）若x表示一个有理数，|x﹣1|+|x+2|有最小值吗？

若有，请求出最小值，若没有，写出理由．

（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2014|+|x﹣2015|的最小值．

11．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；

同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：

（1）求|4﹣（﹣2）|=______．

（2）若|x﹣2|=5，则x=______

（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，这样的整数是______．

12．阅读下面材料：

在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：

|5﹣（﹣2）|=7；

在数轴上﹣2与3所对的两点之间的距离：

|﹣2﹣3|=5；

在数轴上﹣8与﹣5所对的两点之间的距离：

|（﹣8）﹣（﹣5）|=3

在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|=|b﹣a|

（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是______；

数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为______；

数轴上表示数______和______的两点之间的距离表示为|x+2|，；

（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x+2|+|x﹣3|进行探究：

①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，|x﹣3|+|x+2|的值总是一个固定的值为：

______．

②请你在草稿纸上画出数轴，要使|x﹣3|+|x+2|=7，数轴上表示点的数x=______．

13．阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|=|a﹣b|

①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=a﹣b=|a﹣b|；

③如图4，点A、B在原点的两边，|A