高考数学文科基本初等函数Ⅰ及应用最全讲解含答案解析.docx

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高考数学文科基本初等函数Ⅰ及应用最全讲解含答案解析

第三单元基本初等函数（Ⅰ）及应用

教材复习课

“基本初等函数（Ⅰ）”相关基础知识一课过

指数与对数的基本运算

[过双基]

一、根式与幂的运算

1．根式的性质

（1）（）n＝.

（2）当n为奇数时，＝.

（3）当n为偶数时，＝|a|＝

（4）负数的偶次方根无意义．

（5）零的任何次方根都等于零．

2．有理数指数幂

（1）分数指数幂：

①正分数指数幂：

a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）．

②负分数指数幂：

a－＝＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）．

③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的运算性质．

①ar·as＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）．

②（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）．

③（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

二、对数及对数运算

1．对数的定义

一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．

2．对数的性质

（1）loga1＝，logaa＝.

（2）alogaN＝，logaaN＝.

（3）负数和没有对数．

3．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN.

（2）loga＝logaM－logaN.

（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．

（4）换底公式logab＝（a>0且a≠1，b>0，m>0，且m≠1）．

1．化简

（a>0，b>0）的结果是（　　）

A．a　　　　　　　　　　B．ab

C．a2bD.

解析：

选D　原式＝

＝a

·b

＝.

2．若x＝log43，则（2x－2－x）2＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　由x＝log43，得4x＝3，即4－x＝，（2x－2－x）2＝4x－2＋4－x＝3－2＋＝.

3.＋log2＝（　　）

A．2B．2－2log23

C．－2D．2log23－2

解析：

选B　＋log2＝－log23＝2－log23－log23＝2－2log23.

4．已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，则f（2a）＝（　　）

A．11B．9

C．7D．5

解析：

选C　由题意可得f（a）＝2a＋2－a＝3，则f（2a）＝22a＋2－2a＝（2a＋2－a）2－2＝7.

[清易错]

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．

2．在对数运算时，易忽视真数大于零．

1．化简的结果是（　　）

A．－B.

C．－D.

解析：

选A　依题意知x<0，故＝－＝－.

2．若lgx＋lgy＝2lg（x－2y），则的值为________．

解析：

∵lgx＋lgy＝2lg（x－2y），

∴xy＝（x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0，

即（x－y）（x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y.

又x>0，y>0，x－2y>0，

故x＝y不符合题意，舍去．

所以x＝4y，即＝4.

答案：

4

二次函数

[过双基]

1．二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

（2）顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）．

（3）零点式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

2．二次函数的图象和性质

解析式

f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）

f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）

图象

定义域

R

R

值域

单调性

在上单调递减；

在上单调递增

在上单调递增；

在上单调递减

对称性

函数的图象关于直线x＝－对称

1．若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是（　　）

A．－4B．4

C．－2D．2

解析：

选C　∵二次函数的图象的顶点在x轴上，∴Δ＝16＋8t＝0，可得t＝－2.

2．（2018·唐山模拟）如果函数f（x）＝x2－ax－3在区间（－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围为（　　）

A．[8，＋∞）B．（－∞，8]

C．[4，＋∞）D．[－4，＋∞）

解析：

选A　函数f（x）图象的对称轴方程为x＝，由题意得≥4，解得a≥8.

3．（2017·宜昌二模）函数f（x）＝－2x2＋6x（－2≤x≤2）的值域是（　　）

A．[－20,4]B．（－20,4）

C.D.

解析：

选C　由函数f（x）＝－2x2＋6x可知，二次函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x＝，当－2≤x<时，函数f（x）单调递增，当≤x≤2时，函数f（x）单调递减，∴f（x）max＝f＝－2×＋6×＝，又f（－2）＝－8－12＝－20，f

（2）＝－8＋12＝4，∴函数f（x）的值域为.

[清易错]

易忽视二次函数表达式f（x）＝ax2＋bx＋c中的系数a≠0.

若二次函数f（x）＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞），则a，c满足的条件是________．

解析：

由已知得⇒

答案：

a>0，ac＝4

幂函数

[过双基]

1．幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

2．常见的5种幂函数的图象

3．常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞）

{x|x∈R，且x≠0}

值域

R

[0，＋∞）

R

[0，＋∞）

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

（－∞，0]减，[0，＋∞）增

增

增

（－∞，0）减，（0，＋∞）减

定点

（0,0），（1,1）

（1,1）

1．幂函数y＝f（x）的图象过点（4,2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　　）

解析：

选C　令f（x）＝xα，则4α＝2，

∴α＝，∴f（x）＝x.故C正确．

2．（2018·贵阳监测）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f＝（　　）

A.B．2

C.D.

解析：

选C　设幂函数的解析式为f（x）＝xα，将代入解析式得3－α＝，解得α＝－，∴f（x）＝x－，f＝，故选C.

3．若函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值是（　　）

A．－1　　　　　　　　　B．2

C．3D．－1或2

解析：

选B　∵f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.又f（x）在x∈（0，＋∞）上是增函数，所以m＝2.

[清易错]

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m的值为（　　）

A．－1

C．1D．2

解析：

选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1

指数函数

[过双基]

指数函数的图象与性质

y＝ax（a>0，且a≠1）

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

当x＝0时，y＝1，即过定点（0,1）

当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1

当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1

在R上是增函数

在R上是减函数

1．函数f（x）＝ax－2＋1（a>0，且a≠1）的图象必经过点（　　）

A．（0,1）B．（1,1）

C．（2,0）D．（2,2）

解析：

选D　由f

（2）＝a0＋1＝2，知f（x）的图象必过点（2,2）．

2．函数f（x）＝的定义域是（　　）

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（－∞，＋∞）

解析：

选A　要使f（x）有意义须满足1－2x≥0，即2x≤1，解得x≤0.

3．函数y＝ax－a（a>0，且a≠1）的图象可能是（　　）

解析：

选C　当x＝1时，y＝a1－a＝0，所以函数y＝ax－a的图象过定点（1,0），结合选项可知选C.

4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a>c>bB．a>b>c

C．c>a>bD．b>c>a

解析：

选A　构造指数函数y＝x（x∈R），由该函数在定义域内单调递减可得b

当x>0时，有x>x，故>，即a>c，故a>c>b.

5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是（　　）

A．幂函数B．对数函数

C．指数函数D．余弦函数

解析：

选C　由指数运算的规律易知，ax＋y＝ax·ay，即令f（x）＝ax，则f（x＋y）＝f（x）f（y），故该函数为指数函数．

[清易错]

指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

若函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．

解析：

当a>1时，f（x）＝ax为增函数，

f（x）max＝f

（2）＝a2，f（x）min＝f

（1）＝a.

∴a2－a＝.即a（2a－3）＝0.

∴a＝0（舍去）或a＝>1.∴a＝.

当0

f（x）max＝f

（1）＝a，f（x）min＝f

（2）＝a2.

∴a－a2＝.即a（2a－1）＝0，

∴a＝0（舍去）或a＝.∴a＝.

综上可知，a＝或a＝.

答案：

或

对数函数

[过双基]

对数函数的图象与性质

y＝logax（a>0，且a≠1）

a>1

0

图象

定义域

（0，＋∞）

值域

性质

当x＝1时，y＝0，即过定点（1,0）

当01时，y∈（0，＋∞）

当0

当x>1时，y∈（－∞，0）

在（0，＋∞）上为增函数

在（0，＋∞）上为减函数

1．若函数f（x）＝loga（3x－2）（a>0，且a≠1）的图象经过定点A，则A点坐标是（　　）

A.B.

C．（1,0）D．（0,1）

答案：

C

2．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象可能是（　　）

解析：

选B　由题意知，y＝ax的定义域为R，y＝loga（－x）的定义域为（－∞，0），故排除A、C；当01时，y＝ax在R上单调递增，y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减，结合B、D图象知，B正确．

3．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．

解析：

作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象（如图所示）．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为（－∞，－1），单调递增区间为（－1，＋∞）．

答案：

（－∞，－1）　（－1，＋∞）

4．函数f（x）＝loga（x2－2x－3）（a>0，a≠1）的定义域为________．

解析：

由题意可得x2－2x－3>0，解得x>3或x<－1，所以函数的定义域为{x|x>3或x<－1}．

答案：

{x|x>3或x<－1}

[清易错]

解决与对数函数有关的问题时易漏两点：

（1）函数的定义域．

（2）对数底数的取值范围．

1．（2018·南昌调研）函数y＝

的定义域是（　　）

A．[1,2]　　　　　　　　B．[1,2）

C.D.

解析：

选D　要使函数有意义，则

解得

2．函数y＝logax（a>0，且a≠1）在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．

解析：

当a>1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，

所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2.

当0

所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.

故a＝2或a＝.

答案：

2或

一、选择题

1．函数f（x）＝

满足f（x）＝1的x的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．－1

C．1或－2D．1或－1

解析：

选D　由题意，方程f（x）＝1等价于或

解得x＝－1或1.

2．函数f（x）＝ln|x－1|的图象大致是（　　）

解析：

选B　令x＝1，x－1＝0，显然f（x）＝ln|x－1|无意义，故排除A；由|x－1|>0可得函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞），故排除D；由复合函数的单调性可知f（x）在（1，＋∞）上是增函数，故排除C，选B.

3．（2018·郑州模拟）设abc>0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　）

解析：

选D　结合二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象知：

当a<0，且abc>0时，若－<0，则b<0，c>0，故排除A，

若－>0，则b>0，c<0，故排除B.

当a>0，且abc>0时，若－<0，则b>0，c>0，故排除C，

若－>0，则b<0，c<0，故选项D符合．

4．设a＝0.32，b＝20.3，c＝log25，d＝log20.3，则a，b，c，d的大小关系是（　　）

A．d

C．b

解析：

选B　由对数函数的性质可知c＝log25>2，d＝log20.3<0，

由指数函数的性质可知0

所以d

5．（2018·长春模拟）函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为（　　）

A．（0，＋∞）B．（1，＋∞）

C．[1，＋∞）D．（－∞，＋∞）

解析：

选B　令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝（t＋1）2（t>0）．

∵函数y＝（t＋1）2在（0，＋∞）上递增，

∴y>1.

∴所求值域为（1，＋∞）．故选B.

6．（2017·大连二模）定义运算：

xy＝例如：

34＝3，（－2）4＝4，则函数f（x）＝x2（2x－x2）的最大值为（　　）

A．0B．1

C．2D．4

解析：

选D　由题意可得f（x）＝x2（2x－x2）＝当0≤x≤2时，f（x）∈[0,4]；当x>2或x<0时，f（x）∈（－∞，0）．综上可得函数f（x）的最大值为4，故选D.

7．已知函数f（x）＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为（　　）

A．（－∞，＋∞）上的减函数

B．（－∞，＋∞）上的增函数

C．（－1,1）上的减函数

D．（－1,1）上的增函数

解析：

选D　由题意知，f（0）＝lg（2＋a）＝0，∴a＝－1，∴f（x）＝lg＝lg，令>0，则－1

8．（2018·湖北重点高中协作校联考）设函数f（x）＝1－，g（x）＝ln（ax2－3x＋1），若对任意x1∈[0，＋∞），都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值为（　　）

A.B．2

C.D．4

解析：

选A　设g（x）＝ln（ax2－3x＋1）的值域为A，因为函数f（x）＝1－在[0，＋∞）上的值域为（－∞，0]，所以（－∞，0]⊆A，因此h（x）＝ax2－3x＋1至少要取遍（0,1]中的每一个数，又h（0）＝1，于是，实数a需要满足a≤0或解得a≤.故选A.

二、填空题

9．（2018·连云港调研）当x>0时，函数y＝（a－8）x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．

解析：

由题意知，a－8>1，解得a>9.

答案：

（9，＋∞）

10．若函数f（x）是幂函数，且满足f（4）＝3f

（2），则f的值等于________．

解析：

设f（x）＝xα，

又f（4）＝3f

（2），

∴4α＝3×2α，

解得α＝log23，

∴f＝log23＝.

答案：

11．若函数f（x）＝则使得f（x）≥2成立的x的取值范围是________．

解析：

由题意，f（x）≥2等价于或

解得x≤1－ln2或x≥1＋e2，

则使得f（x）≥2成立的x的取值范围是（－∞，1－ln2]∪[1＋e2，＋∞）．

答案：

（－∞，1－ln2]∪[1＋e2，＋∞）

12．若对任意x∈，恒有4x0且a≠1），则实数a的取值范围是________．

解析：

令f（x）＝4x，则f（x）在上是增函数，g（x）＝logax，当a>1时，g（x）＝logax在上是增函数，且g（x）＝logax<0，不符合题意；当0

答案：

三、解答题

13．函数f（x）＝logax（a>0，a≠1），且f

（2）－f（4）＝1.

（1）若f（3m－2）>f（2m＋5），求实数m的取值范围；

（2）求使f＝log3成立的x的值．

解：

（1）由f

（2）－f（4）＝1，得a＝.

∵函数f（x）＝logx为减函数且f（3m－2）>f（2m＋5），

∴0<3m－2<2m＋5，解得

故m的取值范围为.

（2）f＝log3，即x－＝3，x2－3x－4＝0，

解得x＝4或x＝－1.

14．已知函数f（x）＝a－为奇函数．

（1）求a的值；

（2）试判断函数f（x）在（－∞，＋∞）上的单调性，并证明你的结论；

（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2－（m－2）t]＋f（t2－m＋1）>0恒成立，求实数m的取值范围．

解：

（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（x）＝－f（－x），

∴a－＝－a＋，

∴2a＝＋＝2，

∴a＝1.

（2）f（x）在R上为单调递增函数．

证明如下：

设任意x1，x2∈R，且x1

则f（x1）－f（x2）＝1－－1＋

＝.

∵x10，

∴f（x1）

∴f（x）为R上的单调递增函数．

（3）∵f（x）＝1－为奇函数，且在R上为增函数，

∴由f[t2－（m－2）t]＋f（t2－m＋1）>0恒成立，

∴f[t2－（m－2）t]>－f（t2－m＋1）＝f（m－t2－1），

∴t2－（m－2）t>m－1－t2对t∈R恒成立，

化简得2t2－（m－2）t－m＋1>0，

∴Δ＝（m－2）2＋8（m－1）<0，

解得－2－2

故m的取值范围为（－2－2，－2＋2）．

高考研究课

（一）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式

[全国卷5年命题分析]

考点

考查频度

考查角度

幂函数

5年3考

幂函数的性质

二次函数

5年1考

二次函数的图象

幂函数的图象与性质

　　[典例]　

（1）（2018·安徽江南七校联考）已知幂函数f（x）＝（n2＋2n－2）·xn2－3n（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，则n的值为（　　）

A．－3　　　　　　　　B．1

C．2D．1或－3

（2）1.1

，0.9

，1的大小关系为________．

[解析]　

（1）由于f（x）为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝1时，函数f（x）＝x－2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以n＝1满足题意；当n＝－3时，函数f（x）＝x18为偶函数，其图象关于y轴对称，而f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以n＝－3不满足题意，舍去．故选B.

（2）把1看作1

，幂函数y＝x

在（0，＋∞）上是增函数．

∵0<0.9<1<1.1，∴0.9

<1

<1.1

.

即0.9

<1<1.1

.

[答案]　

（1）B　

（2）0.9

<1<1.1

　[方法技巧]

幂函数图象与性质的应用

（1）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；

（2）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　

[即时演练]

1．已知f（x）＝x

，若0

A．f（a）

B．f

C．f（a）

D．f

解析：

选C　∵0

∴0

为增函数，

∴f（a）

2．若（a＋1）

<（3－2a）

，则实数a的取值范围是________________．

解析：

不等式（a＋1）

<（3－2a）

等价于a＋1>3－2a>0或3－2a

答案：

（－∞，－1）∪

二次函数的解析式

二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.

[典例]　已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．

[解]　法一：

用“一般式”解题

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

由题意得解得

∴所求二次函数为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

法二：

用“顶点式”解题

设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）．

∵f

（2）＝f（－1），

∴抛物线的对称轴为x＝＝，

∴m＝.

又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，

∴y＝f（x）＝a2＋8.

∵f

（2）＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f（x）＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三：

用“零点式”解题

由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），

即f（x）＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0（舍去）．

∴所求函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.

[方法技巧]

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：

[即时演练]

1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状（如图所示）．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝1cm，BD＝2cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为（　　）