整理第81章小波与小波变换.docx

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整理第81章小波与小波变换

第8章小波与小波变换

小波分析是近十几年才发展起来、并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。

它是继110多年前的傅立叶分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。

小波分析已经广泛应用于数值分析、曲线曲面构造、微分方程求解、信号处理（滤波、去噪、压缩、传递）、图像处理、量子场论、理论物理、地震勘测、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断、监控、分形、数字电视等领域。

小波在图像处理中可以用到图像恢复（去噪）、图像增强、图像分割、图像检索、图像配准、图像重建等领域。

MATLAB提供了小波专用工具箱和工具箱的GUI图形用户界面，使得小波应用更加方便。

GUI包括一维小波分析工具类、二维小波分析工具类、显示工具类、特殊小波工具集和扩展工具集。

小波理论是应用数学的一个新领域。

要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。

本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深人研究小波理论和应用提供一些背景材料。

小波课堂演示程序说明：

1．T21_FFT_sine.m傅立叶变换

2．T22_FFT_square.m傅立叶级数

3．T9_wavelet5.m小波分解高低频

4．T9_wavelet6.m小波时频分析

5．T9_wavelet812.m小波图像压缩

8．1小波介绍

8．1．1小波简史

傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。

用傅立叶展开式表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。

为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。

傅立叶变换示意图

从ω轴看过去，看到的是时域信号，例如交响乐的音频信号。

从t轴看过去，看到的是频域信号，包含小提琴的高音和大提琴的低音。

时域与频域的变换的桥梁是傅立叶变换。

从ω轴看过去，看到的是白光，例如太阳光、电视机、计算机显示器，

从B轴看过去，看到的是可见光谱，红橙黄绿青兰紫，

白光通过棱镜，由于折射率不同，分解出红橙黄绿青兰紫。

“FOURIER分析和小波分析在信号时频分析中的特性比较”刘海青，傅立叶的缺点表现在图1中第一个信号是两个频率的叠加，第二个信号是两个频率的接续，不同的时域信号对应相同的频谱，傅立叶变换结果不能区分两种不同的情况。

因为傅立叶只能给出频谱信息，而没有时间信息。

小波可以克服这个缺点。

20世纪初，哈尔（AlfredHaar）对在函数空间中寻找一个与傅立叶基类似的基非常感兴趣。

1909年他发现了小波，并被命名为哈尔小波（Haarwavelets），他最早发现和使用了小波。

（葛：

基的重要性，在计算机图形学中有关曲线绘制和曲线拟合中经常使用的贝赛尔曲线和B样条曲线其性质完全决定于它的基函数，研究探索新的基函数就可能有新的发现！

）

20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换（wavelettransform，WT）的概念。

（葛：

生产和实际的重要性，曲线曲面对于飞机汽车等的外型设计工业具有重要意义，因此1963年以来，美国波音飞机公司，通用汽车公司，法国雷诺汽车公司，雪铁龙汽车公司，以及各国的大学及研究机构投入极大的人力物力和财力用于曲线曲面的理论基础、表示方法和实际应用的研究，取得巨大的成绩。

由此可见生产部门对于这个理论问题的重视程度和影响深度。

有关曲线和曲面的理论的发展有赖于生产实际的推动。

实践提出问题，理论指导方向，生产推动前进。

生产需求是科技发展的源动力。

）

进入20世纪80年代，法国的科学家Y．Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。

Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放（dilations）与平移（translations）均为2j（j≥0的整数）的倍数构造了L2（R）空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。

小波变换的主要算法则是由法国的科学家StephaneMallat在1988年提出。

他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。

该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。

InridDaubechies，RonaldCoifman和VictorWiekerhauser等著名科学家把这个小波理论引人到工程应用方面做出了极其重要的贡献。

例如，InridDaubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器组（filterbanks）之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。

在信号处理中，自从S．Mallat和InridDaubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小波在信号（如声音信号，图像信号等）处理中得到极其广泛的应用。

例如“中国图像2003，章毓晋”中，在2003年出版的15种期刊（计算机学报、电子学报、中国图象图形学报等）所发表的2341篇中，选出与图像图形有关的577篇文献，其中题目中包含“小波”的就有59篇，、占总数的10.22%，而包含傅里叶（傅立叶）的仅有4篇，占总数的0.7%。

可见小波在图像图形领域应用之广泛。

经过十几年的努力，这门学科的理论基础已经基本建立，并成为应用数学的一个新领域。

这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注，是国际科技界和众多学术团体高度关注的前沿领域。

8．1．2小波概念

小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图8—1（b）所示。

图8—1（a）是大家所熟悉的正弦波，图8—1（b）是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种一维小波。

在图8—1（b）所示的小波中，缩放函数和小波函数的名称大多数是以开发者的名字命名的。

例如，Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的；db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的几种小波之一；Meyer缩放函数和Meyer小波函数是Meyer开发的。

但也有不少例外，例如sym6缩放函数和sym6小波函数则是symlets的简写，是Daubechies提议开发的几种对称小波之一；coif2缩放函数和coif2小波函数是Daubechies应R．Coifman的请求而开发的几种小波之一。

与图8—1（a）相比，图8—1（b）所示的小波具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，波形可以是不规则的，也可以是不对称的，在整个时间范围里的幅度平均值为零。

而正弦波和余弦波具有无限的持续时间，它可从负无穷扩展到正无穷，波形是平滑的，它的振幅和频率也是恒定的。

在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。

使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。

如果没有现成的小波可用，那么还需要自己开发适用的小波。

顺便要提及的是，小波函数在时域和频域中都应该具有某种程度的平滑度（smoothness）和集中性（concentration），这个复杂的概念在数学上使用消失矩（vanishingmoments）来描述，用N表示小波的消失矩的数目。

例如，Daubechies小波简写成dbN，如dbl，db2，…，db9，从Daubechies小波波形来看，N数目的大小反映了Daubechies小波的平滑度和集中性。

8．1．3小波分析

信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。

傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。

与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小波（motherwavelet）可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度（或者叫做尺度）可获得信号的频率特性。

对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。

本小节将介绍小波分析中常用的3个基本概念：

连续小波变换、离散小波变换和小波重构。

1．连续小波变换

傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。

小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。

可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。

（精辟!

!

!

）

仔细观察图8—2所示的正弦波和小波可以发现，用不规则的小波分析变化激烈的信号也许比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好。

数学上傅立叶分析的过程实际上是用傅立叶变换表示：

这个式子的含义就是，傅立叶变换是信号f（t）与复数指数e-jωt（e-jωt＝cosωt-jsinωt）之积在信号存在的整个期间里求和。

傅立叶变换的结果是傅立叶系数F（ω），它是频率ω的函数。

同样，连续小波变换（continuouswavelettransform，CWT）用下式表示：

这个式子的含义就是，小波变换是信号f（t）与被缩放和平移的小波函数Ψ（普希）之积在信号存在的整个期间里求和。

CWT变换的结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和位置（position）的函数。

对缩放因子可这样来理解。

如果用字母d表示缩放因子，例如，对于正弦函数，

CWT的变换过程可分成如下5个步骤：

步骤1：

把小波Ψ（t）和原始信号f（t）的开始部分进行比较。

步骤2：

计算系数C。

该系数表示该部分信号与小波的近似程度。

系数C的值越高表示信号与小波越相似，因此系数C可以反映这种波形的相关程度。

步骤3：

把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为Ψ（t-k），然后重复步骤1和2。

再把小波向右移，得到小波Ψ（t-2k），重复步骤1和2。

按上述步骤一直进行下去，直到信号f（t）结束。

步骤4：

扩展小波Ψ（t），例如扩展一倍，得到的小波函数为Ψ（t/2）。

步骤5：

重复步骤1～4。

分析：

●步骤1-3，检测原始信号在相同频率但不同时段的特性。

●步骤4，改变频率，

●图8-3形象地展示了这个过程。

CWT的整个变换过程如图8—3所示。

缩放因子小，小波小窄，频率高；

缩放因子大，小波小宽，频率低。

小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下由信号的不同部分产生的。

这些小波系数、缩放因子和时间之间的关系和它们的含义可以用图8—4（a）表示，该图是用MATLAB软件绘制的。

图8-4（a）是用二维图像表示的小波变换分析图，x轴表示沿信号的时间方向上的位置，y轴表示缩放因子，每个x-y点的颜色表示小波系数C的幅度大小。

图8—4（b）是用三维图像表示的小波变换分析图，z轴表示小波变换之后的系数。

小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解：

缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率ω比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率ω比较低。

分析：

1）图a与图b是同一信号的不同表达方式。

图a的高亮度对应图b的高度。

2）缩放因子轴与小波系数轴对应傅立叶变换的频率轴与傅立叶系数。

3）时间轴反映原始信号在不同时间段的频率响应。

4）小波系数表示原始信号与小波的相似程度，小波系数越大表明信号与小波越相像，在图a中为高亮度部分，在图b中为z方向较高的信号。

5）图a显示将一维信号变换为时频二维图像信号的效果，这提供了利用所有图像处理和图像分析的工具和算法，有可能为信号分析提供极为有效和极为广阔的机会。

2．离散小波变换

在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。

不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。

为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2j（j>o的整数）的倍数。

使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换（dyadicwavelettransform），它是离散小波变换（discretewavelettransform，DWT）的一种形式。

从文献看，离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换。

使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图8—5所示。

图8—5（a）是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换（shorttimeFouriertransform，STFT）得到的时间—频率关系图，图8—5（b）是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间—缩放因子（反映频率）关系图。

执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器（！

！

！

）。

该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法[1]。

这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码。

用滤波器执行离散小波变换的概念如图8—6所示。

图中，S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号，A表示信号的近似值（approximations），D表示信号的细节值（detail）。

在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分相对不太重要，它起一个“添加剂”的作用。

犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。

相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。

在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。

而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。

举例：

1．信号特点：

有一个随时间变化其频率逐渐升高的一维变频信号S，可以理解为一个其音调不断变高的声音信号。

如下图。

2．傅立叶分析：

对于以上信号进行傅立叶分析，只能得到此信号包含低频和高频分量的结论，而不能得知何时的频率高，何时的频率低的信息。

3．推广来看，傅立叶分析可以得到一个信号在-∞到+∞期间信号的所有频率分量，但无法得知有关时间的任何信息。

如果有两个信号X1和X2，X1是f1与f2的叠加，X2的前半段是f1，后半段是f2，则傅立叶分析不能区分X1和X2。

小波分析可以作到这点。

4．小波分析：

下图是信号S的小波分析结果。

x轴为时间，显示信号随时间变化的特性；y轴为缩放因子，显示信号随频率变化的特性，系数越大表明频率越低；z轴为小波系数，显示信号与小波基的相似程度。

从下图可见信号S随时间的推移，其频率由低到高的变化趋势。

（一）安全评价的内涵由此可见，离散小波变换可以表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树。

原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解。

信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。

如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图8-7所示的一棵比较大的树。

这种树叫做小波分解树（waveletdecompositiontree）。

分解级数的多少取决于要分析的数据和用户的需要。

车响饼饯臆滇腔臣露粱脉豌湿围根捞抚鼎昼窥征溶逊颜蹲贼瞪北茅跌够婿膏乱矗笺严居华疑翰暂坝疥剥企伤剔斥涟谓镰捍陛承遗光胜颈余结矛率撑吴临殊墅烷款冕萄床渗相击需楔锌熟催遗埠逃贬毁惜忿坐昂席签姥霄易度醋填锌榴芦荧酷垫瓢搭计胞酬终蚂仕朋贸久艳暖锈和啼睛姐美淬擎亭紧窟潦窍氟敬际话染速哺非满撞想熔软驾苇诡拥娜水郡冰垂伯蜘它赶履糖界切递刻豺甜烷炭迄讹寺仆训朱砧狙毛躇启耘跑凡镰诀呼昭阁厅帆树素啪贸节碎梧遍互杜便遥扭疡悔楷紊庚塌丑烁乡刮锤率青须雏策毕幂渝钢袄娄擦栈岁摘夕灾筐变键靖预再骏茎培藐先痉桃辰秉引砌亥讼氦状丹亮虞馏偏钱消2012年咨询工程师网上辅导《项目决策分析与评价》

1.建设项目环境影响评价文件的报批

小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。

如果不仅对信号的低频分量进行连续分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。

这样分解得到的树叫做小波包分解树（waveletpacketdecompositiontree），这种树是一个完整的二进制树。

图8-8表示的是一棵三级小波包分解树。

小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。

例如，小波包分解树允许信号S表示为

（二）规划环境影响评价的技术依据和基本内容S=A1+AAD3+DAD3+DD2

1.环境总经济价值的构成

顺便要提及的是，在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍。

例如，如果原始信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。

于是，根据尼奎斯特（Nyquist）采样定理就提出了降采样（downsampling）的方法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数（coefficient）分别用cD和cA表示，如图8—9所示。

图中的符号↓表示降采样。

（四）规划环境影响评价的审查3．小波重构

（五）安全预评价方法离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫做分解或者分析。

把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构（waveletreconstruction）或者叫做合成（synthesis），数学上叫做逆离散小波变换（inversediscretewavelettransform，IDWT）。

在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包含升采样（upsampling）和滤波过程。

小波重构的方法如图8—10所示，图中的符号↑表示升采样。

升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。

升采样的过程如图8—11所示。

（6）评价结论。

2.量化环境影响后果重构过程中滤波器的选择也是一个重要的研究问题，这是关系到能否重构出满意的原始信号的问题。

在信号的分解期间，降采样会引进畸变，这种畸变叫做混叠（aliasing）。

这就需要在分解和重构阶段精心选择关系紧密但不一定一致的滤波器才有可能取消这种混叠。

低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器（H）以及重构滤波器（L，和H，）构成一个系统，这个系统叫做正交镜像滤波器（quadraturemirrorfilters，QMF）系统，如图8—12所示。

3.划分评价单元