因式分解(竞赛题)含答案.doc

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因式分解

一、导入：

有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。

甲就笑乙：

“你为什么只挑一个啊?

”乙说：

“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。

”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!

启示：

人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。

二、知识点回顾：

1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

　　（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

　　（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

三、专题讲解

　　例1分解因式：

（1）-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；

（2）x3-8y3-z3-6xyz；

　　解

（1）原式=-2xn-1yn（x4n-2x2ny2+y4）

　　　　　　　=-2xn-1yn[（x2n）2-2x2ny2+（y2）2]

　　　　　　　=-2xn-1yn（x2n-y2）2

　　　　　　　=-2xn-1yn（xn-y）2（xn+y）2．

（2）原式=x3+（-2y）3+（-z）3-3x（-2y）（-Z）

　　　　　=（x-2y-z）（x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．

　　例2分解因式：

a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．

　　分析我们已经知道公式

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．

　　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc

　　　　　=［（a+b）3+c3］-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）［（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）

　　　　　=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）．

　　说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：

我们将公式（6）变形为

　　a3+b3+c3-3abc

　　显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　　如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

　　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

※※变式练习

　1分解因式：

x15+x14+x13+…+x2+x+1．

　　分析这个多项式的特点是：

有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．

　　解因为

　　x16-1=（x-1）（x15+x14+x13+…x2+x+1），

　　所以

　　说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

　　2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　例3分解因式：

x3-9x+8．

　　分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　　解法1将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9

　　　　=（x3-1）-9x+9

　　　　=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法2将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8

　　　　=（x3-x）+（-8x+8）

　　　　=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8

　　　　=（9x3-9x）+（-8x3+8）

　　　　=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　解法4添加两项-x2+x2．

　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8

　　　　=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

　　　　=（x-1）（x2+x-8）．

　　说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

※※变式练习

　　1分解因式：

（1）x9+x6+x3-3；

（2）（m2-1）（n2-1）+4mn；

　　（3）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4；

　　（4）a3b-ab3+a2+b2+1．

　　解

（1）将-3拆成-1-1-1．

　　原式=x9+x6+x3-1-1-1

　　　　=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

　　　　=（x3-1）（x6+2x3+3）

　　　　=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）．

（2）将4mn拆成2mn+2mn．

　　原式=（m2-1）（n2-1）+2mn+2mn

　　　　=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

　　　　=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

　　　　=（mn+1）2-（m-n）2

　　　　=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）．

　　（3）将（x2-1）2拆成2（x2-1）2-（x2-1）2．

　　原式=（x+1）4+2（x2-1）2-（x2-1）2+（x-1）4

　　　　=［（x+1）4+2（x+1）2（x-1）2+（x-1）4]-（x2-1）2

　　　　=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2

　　　　=（2x2+2）2-（x2-1）2=（3x2+1）（x2+3）．

　　（4）添加两项+ab-ab．

　　原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

　　　　=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

　　　　=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

　　　　=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

　　　　=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

　　　　=（a2-ab+1）（b2+ab+1）．

　　说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到

拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

　　3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例4分解因式：

（x2+x+1）（x2+x+2）-12．

　　分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　　解设x2+x=y，则

　　原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

　　　　=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

　　　　=（x-1）（x+2）（x2+x+5）．

　　说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　　例5分解因式：

（x2+3x+2）（4x2+8x+3）-90．

　　分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

　　解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

　　　　　=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

　　　　　=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2）-90．

　　令y=2x2+5x+2，则

　　原式=y（y+1）-90=y2+y-90

　　　　=（y+10）（y-9）

　　　　=（2x2+5x+12）（2x2+5x-7）

　　　　=（2x2+5x+12）（2x+7）（x-1）．

　　说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础．

※※变式练习

　1.分解因式：

（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2．

　　解设x2+4x+8=y，则

　　原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）

　　　　=（x2+6x+8）（x2+5x+8）

　=（x+2）（x+4）（x2+5x+8）．

　　说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

　1．双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即：

-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］

　　　　=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：

　　（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

　　（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

　　（1