高中物理竞赛培训《运动学》.ppt

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高中物理竞赛培训高中物理竞赛培训运动学部分运动学部分一、数形结合处理竖直上抛一、数形结合处理竖直上抛对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，物理过程将大大简化，计算快速便捷。

竖直上抛的统一物理物理过程将大大简化，计算快速便捷。

竖直上抛的统一物理公式是公式是位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。

位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。

例题例题一个以一个以3030m/sm/s的初速度将小球上抛，每隔的初速度将小球上抛，每隔11秒抛出一球，假秒抛出一球，假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（11）最多能有几个球在空中？

（最多能有几个球在空中？

（22）设在）设在t=0t=0时将第时将第11个球抛出，在哪个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？

些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？

分析：

子弹同地出发，设第一颗子弹射出分析：

子弹同地出发，设第一颗子弹射出tt后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在空中的时间为空中的时间为t-n（n=1,2）t-n（n=1,2）方法一：

位移相等法方法一：

位移相等法子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得考虑到考虑到则则n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5时所对应时所对应tt的为的为3.53.5s,4s,4.5s,5,5.5ss,4s,4.5s,5,5.5s分别为第分别为第22，33，44，55，66颗子弹和第颗子弹和第11颗子弹相遇的时刻颗子弹相遇的时刻方法二：

速率对称法方法二：

速率对称法竖直上抛竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大小相等，方向相反小相等，方向相反方法三：

利用图象法方法三：

利用图象法作出子弹的运动的作出子弹的运动的s-ts-t图图拓展：

杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，拓展：

杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是1.251.25mm，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它三球的高度三球的高度分析：

每个球上升的最大高度都是分析：

每个球上升的最大高度都是1.251.25mm，故各球在空中运动的时间都是故各球在空中运动的时间都是11ss要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，各球在手中停留的时间都是各球在手中停留的时间都是1/31/3ss学生练习：

一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。

每隔学生练习：

一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。

每隔0.40.4ss抛出一球，接到球后便立即把球抛出。

已知除正在抛、接球的抛出一球，接到球后便立即把球抛出。

已知除正在抛、接球的时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。

时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。

分析：

手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此分析：

手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此本次表演共有本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。

当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。

如如图，第图，第33个球位于最高点，个球位于最高点，22、44两球等高，由于上半两球等高，由于上半段平均速度小，下半段平均速度大，故段平均速度小，下半段平均速度大，故22、44两球位于两球位于半高度的上方半高度的上方。

每个球空中的循球周期每个球空中的循球周期上升的时间为上升的时间为上升的高度为上升的高度为每隔每隔tt时间抛出一球，共有时间抛出一球，共有nn个球个球,试求每个球到达的最大高试求每个球到达的最大高度度hh每个球从手中抛出后都是经过每个球从手中抛出后都是经过T=ntT=nt的时间落回手中，的时间落回手中，经时间经时间t=T/2=nt/2t=T/2=nt/2上升到最高点，故最大高度上升到最高点，故最大高度几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性例例题题：

摄摄制制电电影影时时，为为了了拍拍摄摄下下落落物物体体的的特特写写镜镜头头，做做了了一一个个线线度度为为1/491/49实实物物的的的的模模型型。

放放电电影影时时，走走片片速速度度为为每每秒秒2424张张，为为了了使使动动画画逼逼真真，拍拍摄摄时时走走片速度应为多大？

模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？

片速度应为多大？

模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？

设实物在时间设实物在时间tt内下落的高度为内下落的高度为h,h,而模型用时间而模型用时间tt00下落了对应的高度下落了对应的高度hh0,0,则则由自由落体公式应有由自由落体公式应有利用的辅助条件利用的辅助条件可见放电影时应将模型运动时间可见放电影时应将模型运动时间“放大放大”77倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真的画面。

为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的的画面。

为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的77倍。

倍。

又设实物在某段时间又设实物在某段时间tt内以速度内以速度通过位移通过位移ss，而模型与之对应的量则分别是时间而模型与之对应的量则分别是时间tt00、速度速度00、位移位移ss00，由于有由于有最速路径：

例题最速路径：

例题1二、二、最速路径问题最速路径问题何谓最速路径问题？

何谓最速路径问题？

AB著名的著名的“伽利略最速路径问题伽利略最速路径问题”：

伽利略的答案：

圆弧曲线伽利略的答案：

圆弧曲线（错误）（错误）伯努利兄弟的答案：

滚轮曲线的一部分伯努利兄弟的答案：

滚轮曲线的一部分（正确）（正确）1最速路径问题最速路径问题寻找一条运动时间最短的路径寻找一条运动时间最短的路径从两条路经中找出运动时间较短的一条从两条路经中找出运动时间较短的一条问题问题1、如图所示，地面上有一固定的球面，如图所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方球面的斜上方P处有一小球。

现要确定一条从处有一小球。

现要确定一条从P到到球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨道滑行到球面所历的时间最短。

道滑行到球面所历的时间最短。

P分析：

分析：

先凭直觉猜一猜结果先凭直觉猜一猜结果？

最速路径：

例题最速路径：

例题1先讨论先讨论预备问题、预备问题、如图，地面附近有一空心球，过顶点如图，地面附近有一空心球，过顶点P有很多光滑直轨道抵达球内表面。

试证明小球沿任意轨有很多光滑直轨道抵达球内表面。

试证明小球沿任意轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。

道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。

P证明：

证明：

任取一条轨道任取一条轨道PQ，PQ和水平面夹角为和水平面夹角为.PQ的长为的长为下滑的加速度下滑的加速度Qgg/所以所以由于由于与与无关，无关，故对应任意轨道的时间均相同。

故对应任意轨道的时间均相同。

解原题：

解原题：

PQ以以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q，则线段则线段PQ即为所求的轨道。

即为所求的轨道。

（1）作图确定线段）作图确定线段PQ：

ORRO关键是确定球心关键是确定球心O过过P点作竖直线点作竖直线AB,且使且使AP等于等于R，连接连接A、O，作作AO的中垂线与直线的中垂线与直线AP相相交，交点交，交点O即为所求的球心。

即为所求的球心。

连接连接O与与O所得交点即为所得交点即为Q.AB

（2）证明线段）证明线段PQ为所求：

为所求：

Q1Q2略。

略。

最速路径：

例题最速路径：

例题1题后总结题后总结最后的作图方法较困难最后的作图方法较困难本题还可以用分析法解答本题还可以用分析法解答接下来如何思考呢？

接下来如何思考呢？

相关变换：

竖直平面内建立直角坐标系相关变换：

竖直平面内建立直角坐标系xoyxoy，xx轴水平，过抛物轴水平，过抛物线线xx22=2py=2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上端的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上端AA无初速释放，问滑到轨道底端无初速释放，问滑到轨道底端BB所用时间最小为多少？

此时所用时间最小为多少？

此时ABAB与与水平面的夹角满足什么条件？

水平面的夹角满足什么条件？

焦点焦点FF（00、p/2）p/2）ABAB的直线方程的直线方程渡河中的流速线性变化问题渡河中的流速线性变化问题例题：

河流宽度为例题：

河流宽度为LL，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零，河中心流速为河中心流速为vv00，一小船以恒定的相对速度，一小船以恒定的相对速度vvrr垂直于流速方向，从垂直于流速方向，从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。

一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。

KK如何定？

如何定？

抛物线？

抛物线？

消去消去t,得到什么？

得到什么？

另一岸时，另一岸时，y=Ly=L质点动态多边形的会聚问题质点动态多边形的会聚问题例题、例题、A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为三个芭蕾舞演员同时从边长为l的正三角形顶点出发，以相对地的相的正三角形顶点出发，以相对地的相同的速率同的速率v运动，运动中始终保持着运动，运动中始终保持着A朝着朝着B、B朝着朝着C、C朝着朝着A，试问经多少时间三人相试问经多少时间三人相聚？

每个演员跑了多少路程？

聚？

每个演员跑了多少路程？

解：

解：

三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？

三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？

在运动过程中三位演员的位置有什么关系？

在运动过程中三位演员的位置有什么关系？

三位演员作相同的匀速率曲线运动。

三位演员作相同的匀速率曲线运动。

三位演员任何时候的位置均构成正三角形。

但诸三位演员任何时候的位置均构成正三角形。

但诸三角形的边长越来越短。

三角形的边长越来越短。

最后三位演员在何处相遇？

最后三位演员在何处相遇？

三位演员最终在三角形三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。

此时三的中心相遇。

此时三角形边长缩短为零。

角形边长缩短为零。

研究三角形的边长的变化情况，设法找出研究三角形的边长的变化情况，设法找出三角形边长由三角形边长由l缩短为零所用的时间！

缩短为零所用的时间！

将从开始到相遇的时间将从开始到相遇的时间t分为分为n份小量时间份小量时间t：

设每经过设每经过t的时间后三角形的边长依次缩短为：

的时间后三角形的边长依次缩短为：

，如图，依据小量近似有如图，依据小量近似有故有故有由此得由此得另解：

另解：

设经过某一小量时间设经过某一小量时间t后，三角形的边长后，三角形的边长由由x变为变为x.如图，由余弦定理：

如图，由余弦定理：

略去二阶小量得：

略去二阶小量得：

由此式来研究在由此式来研究在t时间内三角形边长的缩短时间内三角形边长的缩短量（量（x-x）！

）！

进而找出缩短的速率！

进而找出缩短的速率！

由此式有由此式有三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：

三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：

思考题思考题11：

此类问题亦可进一步推而广之，假设有个：

此类问题亦可进一步推而广之，假设有个人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动，人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动，运动中始终保持运动中始终保持11朝着朝着22，22朝着朝着33，（n-1）n-1）朝着朝着n,nn,n朝着朝着1,1,试问经过多少时间相遇？

试问经过多少时间相遇？

思考题思考题22：

假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？

：

假如