高等数学-第2章课件.ppt

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第二章导数与微分目录目录第一第一节导数的概念数的概念第二第二节导数的求数的求导法法则和基本公式和基本公式第三第三节隐函数及参数方程所确定的函数的函数及参数方程所确定的函数的导数数第四第四节高高阶导数数第五第五节函数的微分及其函数的微分及其应用用第一节导数的概念一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为则则到到的平均速度为的平均速度为而在而在时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线曲线在在M点处点处的切线即为割线的切线即为割线MN的极限位置的极限位置MT（当当时时）.割线割线MN的斜率的斜率切线切线MT的斜率的斜率设函数设函数在点在点的某邻域内有定义的某邻域内有定义,若存若存在在,则称函数则称函数在点在点处处可导可导,并称此极限为并称此极限为在点在点的的导数导数.记作记作:

定义定义2.1.1即即若上述极限不存在若上述极限不存在,则称在处则称在处不可导不可导.如果函数如果函数在区间在区间（a,b）的内每一点都可导，则的内每一点都可导，则称函数称函数在在区间区间（a,b）内可导内可导，这样就产生了一个新，这样就产生了一个新的函数，此函数称为函数的函数，此函数称为函数的的导函数导函数，记作，记作即即取极限取极限求平均求平均变化率化率求函数的增量求函数的增量三、求导数举例用导数定义求导数的步骤如下：

用导数定义求导数的步骤如下：

四、左、右导数函数函数f（x）在点在点x0处可导的处可导的充分必要条件充分必要条件是左导数是左导数和右导数存在且相等和右导数存在且相等.即即左导数左导数右导数右导数单单侧侧倒倒数数若函数若函数f（x）在开区间在开区间（a,b）内可导，且内可导，且及及都存在，则称都存在，则称f（x）在闭区间在闭区间a,b上可导上可导.五、导数的几何意义切线方程切线方程:

法线方程法线方程:

曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为因此因此,六、函数的可导性与连续性的关系所以函数在该点处连续所以函数在该点处连续.定理定理2.1.1若函数若函数在点在点处可导，则函数在点处可导，则函数在点处必连续处必连续.证证设函数设函数在点在点处可导，即处可导，即存在，则存在，则注意注意:

函数在点函数在点x处处连续未必可导连续未必可导.定理定理2.2.1设函数设函数都在点都在点x处可导，处可导，则函数则函数的和、差、积、商（除分母为零的点外）的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点都在点x处可导处可导.且且第二节函数的求导法则和基本公式一、函数求导的四则运算法则一、函数求导的四则运算法则推论推论1推论推论2（C为常数为常数）二、反函数的导数定理定理2.2.2证证:

在在x处给增量处给增量,由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知时必有时必有，因此，因此常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数三、复合函数的求导法则定理定理2.2.3如果函数如果函数在点在点x处可导处可导,而而函数函数在对应的点在对应的点u处可导处可导,则复合函数则复合函数也在点也在点x处可导处可导,且有且有证证:

在点在点u可导可导,故故（当（当时时）故有故有定义定义2.3.1一般地，如果变量一般地，如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程，在一定条件下，当在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应地，总取某区间内的任一值时，相应地，总有满足这一方程的有满足这一方程的y值存在，那么就说方程值存在，那么就说方程在在该区间内确定了一个隐函数该区间内确定了一个隐函数.第三节隐函数及参数方程所确定的函数的导数隐函数隐函数一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数显函数隐函数的显化隐函数的显化用复合函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导.隐函数求导法则隐函数求导法则先将函数两边取对数，再利用隐函数的求导先将函数两边取对数，再利用隐函数的求导法则求导法则求导.适用于由适用于由幂指函数、连乘连除或乘方、开方幂指函数、连乘连除或乘方、开方所构成的比较复杂的函数所构成的比较复杂的函数.对数求导法对数求导法二、由参数方程确定的函数的导数若参数万程若参数万程确定确定y与与x之间的函数关系，之间的函数关系，则称此函数为则称此函数为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数.定义定义2.3.2再设函数再设函数都可导都可导,且且.由由复合函数及反函数的求导法则与反函数的求导公式复合函数及反函数的求导法则与反函数的求导公式,有有在方程在方程中，设函数中，设函数具有单调连具有单调连续的反函数续的反函数，则，则.34第四节高阶导数定义定义2.4.1函数函数y=f（x）的导数的导数y=f（x）仍是仍是x的函数的函数,我们称我们称f（x）的导数为函数的导数为函数f（x）的的二阶导数二阶导数,记作记作y或或,即即y=（y）或或.相应地相应地,把把y=f（x）的导数的导数f（x）称为函数称为函数y=f（x）的一阶导数的一阶导数.类似地有三阶类似地有三阶,四阶四阶,n阶阶导数导数，分别记作，分别记作y,y（4）,y（n）或或,.其其中，二阶及二阶以上的导数称为中，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数高阶导数.二、参数方程的二阶导数若参数方程若参数方程具有一阶导数，那么由具有一阶导数，那么由可得到函数的可得到函数的二阶导数公式二阶导数公式即即一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由其边长由x0变到变到x0+x问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少?

设薄片边长为设薄片边长为x,面积为面积为A,则则A=x2,当当x在在x0取得增量取得增量x时时,面积的增量为面积的增量为关于关于x的的线性主部线性主部故故一、微分的概念一、微分的概念1.引例引例第五节函数的微分及其应用称为函数在称为函数在x0的微分的微分x0时为时为高阶无穷小高阶无穷小2.微分定义定义定义2.5.1设设y=f（x）在在x0处的某邻域内有定义处的某邻域内有定义,x+x是该邻是该邻域内的任意一点域内的任意一点,如果函数在如果函数在x0处的增量处的增量y=f（x0+x）-f（x0）可表示成可表示成y=Ax+o（x），其中其中A是仅与是仅与x有关的有关的常数常数,o（x）是是x的高阶无穷小的高阶无穷小,则称函数则称函数y=f（x）在点在点x0处处可微可微.并称并称Ax为函数为函数y=f（x）在在x0处的处的微分微分，记作，记作dy,即即dy=Ax,且有且有A=f（x）,这样这样dy=f（x）x.函数函数y=f（x）在点在点x0处可微的处可微的充要条件充要条件是函数是函数y=f（x）在在x0处可导处可导.当当y是曲线的纵坐标增量时是曲线的纵坐标增量时;dy就是切线纵坐标对应的增量，就是切线纵坐标对应的增量，当当|x|很小时很小时,在点在点M的附近的附近,切线段切线段MP可近似代替曲线段可近似代替曲线段MN.二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式设函数设函数都可微，则复合函数都可微，则复合函数的微分为的微分为即即2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则微分形式不变性微分形式不变性四、微分在近似计算中的应用若函数若函数在点在点处的导数处的导数，且，且当当很小时，有很小时，有或或常常用用的的近近似似公公式式