版高中数学人教B版必修四学案第一单元 122 单位圆与三角函数线.docx

版高中数学人教B版必修四学案第一单元 122 单位圆与三角函数线.docx

《版高中数学人教B版必修四学案第一单元 122 单位圆与三角函数线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学人教B版必修四学案第一单元 122 单位圆与三角函数线.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版高中数学人教B版必修四学案第一单元122单位圆与三角函数线

1.2.2　单位圆与三角函数线

学习目标

　1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.

知识点一　单位圆

思考1　什么叫单位圆？

思考2　点的射影是如何定义的？

梳理　

（1）单位圆

把________的圆叫做单位圆.

（2）单位圆中角α的坐标

角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的________和________.

知识点二　三角函数线

思考1　三角函数线的长度等于三角函数的值吗？

思考2　三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？

梳理　三角函数线

类型一　三角函数线

例1　作出－的正弦线、余弦线和正切线.

反思与感悟　

（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.

（2）作正切线时，应从点A（1,0）引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.

跟踪训练1　在单位圆中画出满足sinα＝的角α的终边，并求角α的取值集合.

类型二　利用三角函数线比较大小

例2　利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.

反思与感悟　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：

（1）角的位置要“对号入座”.

（2）比较三角函数线的长度.（3）确定有向线段的正负.

跟踪训练2　比较sin1155°与sin（－1654°）的大小.

类型三　利用三角函数线解不等式（组）

命题角度1　利用三角函数线解不等式组

例3　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.

（1）sinα≥；

（2）cosα≤－.

反思与感悟　用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：

（1）先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期.

（2）注意区间是开区间还是闭区间.

跟踪训练3　已知－≤cosθ<，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围.

命题角度2　利用三角函数线求三角函数的定义域

例4　求下列函数的定义域.

（1）y＝；

（2）y＝lg（sinx－）＋.

反思与感悟　

（1）求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.

（2）要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.

跟踪训练4　求函数f（x）＝的定义域.

1.下列四个命题中：

①当α一定时，单位圆中的正弦线一定；

②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；

③α和α＋π有相同的正切线；

④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上.

则错误命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

2.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（　　）

A.正弦线为PM，正切线为A′T′

B.正弦线为MP，正切线为A′T′

C.正弦线为MP，正切线为AT

D.正弦线为PM，正切线为AT

3.设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（　　）

A.a

C.b

4.函数y＝的定义域为________.

5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：

（1）cosα＞－；

（2）tanα≤；（3）|sinα|≤.

1.三角函数线的意义

三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.

2.三角函数线的画法

定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.

注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.

3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　把半径为1的圆叫做单位圆．

思考2　过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N，则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影（简称射影）．

梳理　

（1）半径为1

（2）横坐标　纵坐标

知识点二

思考1　不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值．

思考2　当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴（或y轴）正向反向时，所表示的三角函数值为负值．

梳理　　　或

题型探究

例1　解　如图所示，

sin＝MP，

cos＝OM，

tan＝AT.

跟踪训练1　解　已知角α的正弦值，可知MP＝，

则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}．

例2　解　如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.

显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，

∴sin>sin；

|OM|<|OM′|，符号皆负，

∴cos>cos；|AT|>|AT′|，符号皆负，∴tan

跟踪训练2　解　sin1155°＝sin（3×360°＋75°）＝sin75°，

sin（－1654°）＝sin（－5×360°＋146°）

＝sin146°.

如图，在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M1P1，M2P2.

∵M1P1>M2P2，且符号皆正，

∴sin1155°>sin（－1654°）．

例3　解　

（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域（如图

（1）所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围．

故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．

（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域（如图

（2）所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边的范围．

故满足条件的角α的集合为

{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．

跟踪训练3　解　图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即

{θ|2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}．

例4　解　

（1）自变量x应满足2sinx－≥0，

即sinx≥.

图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即

{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

（2）由题意知，自变量x应满足不等式组

即

则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示，

∴{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}．

跟踪训练4　解　要使函数f（x）有意义，必须使2sinx－1≥0，则sinx≥.

如图，画出单位圆，作x轴的平行直线

y＝，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，

分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，

易知这两条正弦线的长度都等于.

在[0,2π）内，sin＝sin＝.

因为sinx≥，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内（包括边界），

所以函数f（x）的定义域为

{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．

当堂训练

1．B　2.C　3.D

4.，k∈Z

5．解　

（1）{α|2kπ－＜α＜2kπ＋，k∈Z}．

（2）{α|kπ－<α≤kπ＋，k∈Z}．

（3）|sinα|≤，即－≤sinα≤，

{α|kπ－≤α≤kπ＋，k∈Z}．