概率论与数理统计期末复习知识点.ppt

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第一章第一章随机事件及其概率随机事件及其概率基本概念基本概念1.随机试验；随机试验；2.样本空间；样本空间；3.随机事件随机事件事件间的关系事件间的关系1.子事件：

子事件：

AB2.和事件：

和事件：

AB3.积事件积事件:

AB4.差事件差事件:

A-B=A-AB=AB5.互斥事件互斥事件（互不相容事件互不相容事件）:

AB=6.互逆事件互逆事件:

AB=，且且AB=S事件的运算法则事件的运算法则1.交换律：

交换律：

AB=BA,AB=BA4.德德.摩根律摩根律（对偶原则对偶原则）：

设事件设事件Ai（i=1,2,n）则则2.结合律：

结合律：

A（BC）=（AB）C;A（BC）=（AB）C3.分配律：

分配律：

A（BC）=（AB）（AC）;A（BC）=（AB）（AC）5.对必然事件的运算法则：

对必然事件的运算法则：

AS=S,AS=A6.对不可能事件的运算法则：

对不可能事件的运算法则：

A=A,A=A,A=设设E-随机试验，随机试验，S-样本空间样本空间.事件事件AP（A）,称为事件称为事件A的的概率概率,如果如果P（）满足下列条满足下列条件件:

1非负性：

非负性：

非负性：

非负性：

对于每一个事件对于每一个事件A，有，有P（A）0；2规范性规范性规范性规范性:

对于必然事件对于必然事件S,有有有有P（S）=1）=1；3可列可加性可列可加性可列可加性可列可加性:

设设A1，A2，是是两两互不相容两两互不相容的事件，即对于的事件，即对于则则P（A1A2）=P（A1）+P（A2）+概率公理化定义概率公理化定义概率性质概率性质

（2）（有限可加性有限可加性）若若A1，A2，An两两不相容，两两不相容，P（A1A2An）=）=P（A1）+）+P（A2）+）+P（An）

（1）P（）=0）=0（3）若若AB，则有，则有P（BA）=P（B）P（A）;（5）逆事件逆事件：

P（A）=1P（A），（4）对于任一事件对于任一事件A，有，有P（A）1，一般有一般有P（BA）=P（B）P（AB）（6）（加法公式加法公式）P（AB）=）=P（A）+）+P（B）-）-P（AB）P（A1A22A33）=）=P（A11）+）+P（A22）+）+P（A33）-）-P（A11A22）-）-P（A11A33）-）-P（A22A33）+）+P（A11A22A33）等可能概型等可能概型（古典概型古典概型）1.1.定义：

定义：

设设E是试验，是试验，SS是是E的的样本样本空间，若空间，若

（1）试验的试验的样本样本空间的元素只有有限个；空间的元素只有有限个；

（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同.这种试验称为等可能概型或古典概型这种试验称为等可能概型或古典概型2.2.古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式几个重要几个重要复杂事件概率计算复杂事件概率计算公式公式1.1.条件概率条件概率2.2.乘法公式乘法公式3.3.全概率公式全概率公式4.4.贝叶斯公式贝叶斯公式独立性独立性1111.事件事件A,B相互独立相互独立P（AB）=P（A）P（B）22.A1,A2,.,An两两相互独立两两相互独立P（AiAj）=P（Ai）P（Aj），（，（1ijn）33.A1,A2,.,An相互独立相互独立

（1）1i1i2.ikn,（kn）,

（2）独立的性质独立的性质:

1.设设A和和B是两个事件是两个事件,且且P（A）0.若若A和和B相互独立相互独立,则则P（B|A）=P（B）.反之亦然反之亦然.2.若事件若事件A和和B相互独立相互独立,则下列各对事件也相互独立则下列各对事件也相互独立:

3.A与与B,A与与B,A与与B3.则则A、B互斥与互斥与A、B相互独立不能相互独立不能4.同时存在同时存在.4.若事件若事件A和和独立独立,且且5.则事件则事件A和和独立独立.第二章随机变量及其分布1.随机变量的引入定义：

定义：

设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=e.X=X（e）是定义是定义在样本空间在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数.称称X=X（e）为随机变量为随机变量.与普通实函数的区别：

与普通实函数的区别：

（1）

（1）它的定义域是样本空间它的定义域是样本空间S，而而S不一定是实数集不一定是实数集;

（2）

（2）它的取值是随机的，它的取值是随机的，所所取每一个可能值都有一定取每一个可能值都有一定的概率的概率.随机变量的分类：

随机变量的分类：

离散型离散型/非离散型非离散型（连续型连续型）2.离散型随机变量及其概率分布定义定义:

取有限个或可数个值的随机变量取有限个或可数个值的随机变量;分布律：

分布律：

PX=xk=pk,k=1,2,其中其中pk满足：

满足：

常见分布：

常见分布：

1）（0-1）分布：

分布：

PX=k=pk（1-p）1-k,k=0,1（0p1）2）二项分布：

二项分布：

Xb（n,p）3）泊松分布：

泊松分布：

3.3.随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义：

设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F（x）=PXx-称为X的分布函数对任意实数对任意实数x1x2分布函数的性质分布函数的性质

（1）有界性有界性

（2）F（x）是单调不减的是单调不减的,即若即若（3）（4）F（x）是右连续的是右连续的,即即F（x+0）=F（x）

（1）

（1）离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数计算公式计算公式

（2）

（2）连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数的定义的定义f（x）的性质的性质三种重要的连续型随机变量三种重要的连续型随机变量

（一）均匀分布

（二）指数分布（三）正态分布标准正态分布标准正态分布:

XN（0,1）x44随机变量的函数随机变量的函数的的分布分布一、一、离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度方法方法：

由随机变量：

由随机变量X的概率密度的概率密度去求去求随机变量随机变量Y=g（X）的概率密度的概率密度（step1）求出求出Y的分布函数的表达式的分布函数的表达式;（step2）由分布函数求导数，即可得到由分布函数求导数，即可得到.第三章第三章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量二维随机变量设设E一随机试验一随机试验,样本空间样本空间S=e,X、Y是定义在是定义在S上的随机变量上的随机变量,向量向量（X,Y）叫做叫做二维随机变二维随机变（向向）量量.2.二维随机向量二维随机向量（X,Y）的分布函数的分布函数性质：

性质：

（1）F（x,y）是变量是变量x和和y的不减函数；的不减函数；

（2）0F（x,y）1,且且F（-,y）=0,F（x,-）=0,F（-,-）=0,F（,）=1,F（+,y）=FY（y）,F（x,+）=FX（x）（3）F（x,y）关于关于x和和y右连续右连续;（4）对于任意对于任意x1x2,y1y2,有有F（x2,y2）-F（x2,y1）+F（x1,y1）-F（x1,y2）0.3.3.边缘分布边缘分布4.随机变量独立性的定义随机变量独立性的定义1.1.联合分布律：

联合分布律：

离散型的二维随机变量离散型的二维随机变量（X,Y）（X,Y）性质：

性质：

YX2.边缘分布律边缘分布律33.独立性独立性4.4.分布函数分布函数连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量1.联合概率密度及性质联合概率密度及性质2.2.边缘概率密度边缘概率密度X的的边缘概率密度边缘概率密度Y的的边缘概率密度边缘概率密度边缘分布函数边缘分布函数3.独立性独立性（3）若若,且且X与与Y相互独立相互独立,则则X+Y仍服从正态分布仍服从正态分布,且且且相互独立且相互独立,则则推广推广:

若若（4）有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

（2）若若X与与Y相互独立相互独立则则

（1）若若则则正态分布随机变量的一些常用性质正态分布随机变量的一些常用性质

（1）Z=X+Y的分布的分布分布函数分布函数:

概率密度概率密度:

当当X和和Y相互独立相互独立:

卷积公式卷积公式两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布

（2）当当X和和Y相互独立时相互独立时:

M=max（X,Y）的分布函数的分布函数N=min（X,Y）的分布函数的分布函数第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征（一一）数学期望数学期望（均值均值）（1-1）（1-1）X:

离散型离散型.分布律分布律:

Y=g（X）（gg为连续函数）为连续函数）函数：

函数：

（1-2）（1-2）若若Z=g（X,Y）（g为二元连续函数）为二元连续函数）（1-3）（1-3）设设（X,Y）离散型随机变量离散型随机变量.分布律为：

分布律为：

则则（2-1）（2-1）:

连续型连续型概率密度为概率密度为f（x）.Y=g（X）（gg为连续函数）为连续函数）（2-2）（2-2）函数：

函数：

则则（2-3）（2-3）设设（X,Y）是连续型随机变量是连续型随机变量,概率密度为概率密度为f（x,y）.若若Z=g（X,Y）（g为二元连续函数）为二元连续函数）（总结总结）数学期望数学期望（均值均值）（3）数学期望的性质:

假设以下随机变量的数学期望均存在假设以下随机变量的数学期望均存在1.E（C）=C,（C是常数是常数）2.E（CX）=CE（X）,（C是常数是常数）3.E（XY）=E（X）E（Y）,4.设设X与与Y相互独立相互独立,则则E（XY）=E（X）E（Y），反之不真。

反之不真。

（二二）方差方差11.若若X离散型离散型.22.若若X连续型连续型.概率密度为概率密度为f（x）（1

（1）计算公式：

计算公式：

33.均方差或标准差均方差或标准差:

假设下列方差均存在假设下列方差均存在1.D（C）=0,（C为常数为常数）2.D（CX）=C2D（X）,（C为常数为常数）3.设设X与与Y是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有特别，特别，若若X与与Y相互独立相互独立:

D（XY）=D（X）+D（Y）4.D（X）=0PX=E（X）=1.

（2）

（2）方差的性质方差的性质55。

若若X服从指数分布服从指数分布,则则E（X）=,）=,D（X）=.）=.33。

若若X（）,）,则则E（X）=）=,D（X）=）=.44。

若若X服从区间服从区间（a,b）均匀分布均匀分布，则则E（X）=（）=（a+b）/2,）/2,D（X）=（）=（b-a）22/12./12.66。

若若XN（,2）,则则E（X）=）=,D（X）=）=2.2。

若若Xb（n,p）,则则E（X）=）=np,D（X）=）=np（1-P）.11。

若若X服从服从两点分布两点分布,则则E（X）=）=p,D（X）=）=p（1-P）.（三三）一些常见分布的期望与方差一些常见分布的期望与方差切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式:

定理定理定理定理设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E（X）=,方差方差D（X）=22.则对任意的正数则对任意的正数，有，有上式称为切比雪夫上式称为切比雪夫（chebyshev）不等式不等式注注此不等式给出了此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下在随机变量的分布未知的情况下,事件事件的概率的概率值值的一种估计方法的一种估计方法.（四四）协方差协方差相关系数相关系数协方差协方差:

计算公式计算公式：

1。

Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）2。

D（XY）=D（X）+D（Y）2Cov（X,Y）相关系数相关系数:

X与与Y不相关不相关:

XY=0协方差的性质：

协方差的性质：

11。

Cov（X,X）=D（X）22。

Cov（X,Y）=Cov（Y,X）3。

Cov（aX,bY）=abCov（X,Y）（a,b为常数为常数）44。

Cov（X1+X2,Y）=Cov（X1,Y