提公因式法分解因式典型例题.docx
《提公因式法分解因式典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《提公因式法分解因式典型例题.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
提公因式法分解因式典型例题
因式分解
（1）
一知识点讲解
知识点一：
因式分解概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：
因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：
因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
（a
b）2
a2
2ab
b2
a2
2ab
b2
（a
b）2
整
因
式
（a
b）2
a2
2ab
b2
式
a
2
2ab
b2
（a
b）2
乘
分
法
解
（a
b）（a
b）
a2
b2
a2
b2
（a
b）（a
b）
（x3y）（x3y）x29y2x29y2（x3y）（x3y）
知识点二：
寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：
（短除法）
例如：
求20,36,80的最大公（约）数？
最大公倍数？
1
2、寻找公因式的方法：
3a2y
3ay
6y
，
4xy3
8
x3y2，
9
27
a（x
y）3
b（x
y）2
（xy）3，
-27a2b3
36a3b2
9a2b
1.
确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项
系数的最大公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且
分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最
大公因数。
2.
确定相同字母
公因式的字母是各项都含有的字母
3.
看次数
相同字母的指数取最低次数
4.
看整体
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。
5.
看符号
若多项式的首项是“-”，则公因式的符号一般为负。
知识点三：
因式分解的方法（重点）
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.提取公因式法：
如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：
mambmcm（abc）
3.提公因式的步骤：
（1）确定公因式
（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）
原多项式
另一个因式
公因式
4.注意事项：
因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块1：
考察因式分解的概念
1.（2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）
A、x296x（x3）（x3）6xB、（x5）（x2）x23x10
C、x28x16（x4）2D、6ab2a3b
2
2.
（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A、x2
2x
3
（x1）2
2
B
、（x
y）（x
y）
x2
y2
C、x2
xyy2
（xy）2
D
、2x2y2（xy）
3.
（2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（
）
A、2
a
2
2
a
12（
a
1）1
B
、（x
y）（x
y）
x
2
y
2
a
C、9x2
6x
1
（3x
1）2
D
、x2
y2
（x
y）2
2xy
4.
（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（
）
A、3x
2y
1
5x1
B
、（3a
2b）（3a
2b）
9a2
4b2
C、x2
x
x2（1
1）
D
、2x2
8y2
2（x
2y）（x
2y）
x
5.
（2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A、a（ab）
a2
ab
B
、a2
2a1a（a2）1
C、x2
xx（x1）
D
、xy2
x2yx（y2
xy）
6.
（2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（
）
A、（x1）（x2）x23x2C、x24x4x（x4）4
B
、x2
3x2（x1）（x2）
D
、x2
y2
（xy）（xy）
模块2：
考察公因式
1.
（2017春抚宁县期末）多项式
15m3n2
5m2n20m2n3的公因式是（
）
A、5mn
B
、5m2n2
C
、5m2n
D
、5mn2
2.
（2017
春东平县期中）把多项式
8a2b3c16a2b2c2
24a3bc3分解因式，应提的公因
式是（
）
A、8a2bc
B
、2a2b2c3
C
、
4abc
D
、24a3b3c3
3.
（2017
秋凉州区末）多项式a2
9与a2
3a的公因式是（
）
A、a
3
C
、a3
B
、a1
D
、a1
4.
（2017
春邵阳县期中）多项式
8xmyn1
12x3myn的公因式是（
）
A、xmyn
B
、xmyn1
C
、4xmyn
D
、4xmyn1
5.
（2016
春深圳校级期中）多项式
5mx3
25mx210mx各项的公因式是（
）
3
A、5mx2
B
、
5mx3
C
、mx
D
、5mx
6.
下列各组代数式中没有公因式的是（
）
A、5m（a
b）与ba
B
、（ab）2
与
a
b
C、mx
y与xy
D
、a2
ab与a2bab2
7.
观察下列各组式子：
①
2ab和a
b；②5m（a
b）和
a
b；③3（a
b）和
ab；
④x2
y2和x2
y2。
其中有公因式的是（
）
A、①②
B
、②③
C
、③④
D
、①④
模块3：
利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型：
直接提取公因式
1、分解因式：
（1）x23x
（2）2x218x2y4xy2（3）6a（ab）4b（ab）
（4）
1abc
1ab2
a2bc
（5）
1
a2b
5
a
（6）xn
xn1
xn2
5
5
4
6
②因式分解的第二种类型：
变形后提取公因式
2.分解因式：
（1）3a（xy）6b（yx）
（2）a（xy）b（yx）c（xy）
③因式分解的第三种类型：
分组后提取公因式
3.分解因式：
（1）mxmynxny
（2）2a4b3ma6mb
4
模块4：
提公因式法的综合应用
类型1：
利用提公因式法进行简便计算
1.利用简便方法计算：
（1）3.2200.94.7200.9200.92.1
（2）36.813
13
20.2213
55
55
55
类型2：
利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式，在计算求值：
（2x1）2（3x2）（2x1）（3x2）2x（12x）（3x2）其中x=1.5
3.（2016秋唐河县期末）已知：
ab
2015，ab
2016，求a2b
ab2的值。
2015
4.已知ab4，ab2，求多项式4a2b4ab24a4b的值。
5.若ab210，用因式分解法求ab（a2b5ab3b）的值.
5
6.若a2a10，则a2016a2015a2014=。
2x
y
6
2
2（3y
x）3的值。
7.不解方程组
3y
求7y（x3y）
x
1
类型3：
拔高培优题型
8.（2015杭州模拟）已知（19x31）（13x17）（1713x）（11x23）可因式分解成
（axb）（30xc），其中a、b、c均为整数，求abc的值。
9.已知多项式x4
2012x2
2011x
2012有一个因式为x2
ax1，另一个因式为
x2
bx2012，求ab的值。
10.求证：
320164320151032014能被7整除。
6
11.已知a,b,c满足ababbcbccaca3，求（a1）（b1）（c1）的值。
（a,b,c都是正整数）
12.（学霸题中题★★★）若
x2
x
1是ax3
bx2
1的一个因式，则
b的值为（
）
A、2
B、1
C、0
D、2
13.（2017合肥月考★★★）要使多项式x22xn能分解为两个整系数一次多项式之积，
则不大于100的自然数n的个数为（）
A、8B、9C、10D、11
14.（2016秋靖远县期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1x
x（x1）
x（x1）2
（1x）[1
xx（x1）]
（1
x）2（1x）（1x）3
（1）上述分解因式的方法是
，共应用了
次。
（2）若分解1
x
x（x
1）
x（x
1）2
...
x（x
1）2004
，则需应用上述方法
次，结果
是
。
（3）分解因式：
1
x
x（x
1）
x（x
1）2
...
x（x
1）n（n为正整数）。
一、选择题
1.（2017开县一模）当a,b互为相反数时，代数式
a2
ab
4的值为（
）
A、4
B
、0
C
、3
D
、
4
2.（2016秋乳山期末）边长为a,b的长方形周长为
12，面积为
10，则a2b
ab2的值为（）
A、120
B
、60
C
、80
D
、
40
7
3.
（2017
春蚌埠期末★）计算：
（
2）2016
（
2）2017所得的结果是（
）
A、2
B、2
C
、
22016
D、22016
4.
（2017
春乐亭县期末）（
8）2014
（
8）2013能被下列数整除的是（
）
A、3
B、5
C
、7
D
、9
5.（2017春源城区校级月考）把多项式
p2（a
1）
p（1
a）分解因式的结果是（
）
A、（a1）（p2
p）
B、（a
1）（p2
p）
C、p（a
1）（p1）D、p（a1）（p1）
6.（2017春阳谷县期末）把
xn3
xn1分解因式得（
）
A、xn1（x21）
B、xn（x3
x）
C、x（xn2
xn）
D、xn1（x2
x）
7.（2017春北湖区校级期中）整式
a2（a2
1）
a2
1的值（
）
A、不是负数
B
、恒为正数
C
、恒为负数
D
、结果的符号不确定
8.（2016赵县模拟）若
ab
3，a
2b
5
，则a2b
2ab2的值是（
）
A、15
B
、15
C
、2
D
、8
9.（2016春高密市期末）将
3x（a
b）
9y（ba）因式分解，应提的公因式是（
）
A、3x9y
B、3x9y
C、ab
D
、3（ab）
10.（2016春临清市期末）计算（
3）m
2
（
3）m1，得（
）
A、3m1
B
、（3）m1
C
、
（3）m1
D、（3）m
11.（2016春深圳期末）若
ab
3
，ab
2
，则代数式a2b
ab2的值为（
）
A、1
B
、1
C
、
6
D
、6
12.（2016秋美兰区校级期中）若
a
b
5，c
2，则
ac
bc等于（
）
A、10
B
、10
C
、3
D
、3
13.（2016秋简阳市期中）如果多项式
mx
A可分解为m（x
y），则A为（
）
A
B
、
my
C
、
y
D
、
my
、m
14.（2016春深圳期中）若
ab
2，ab
3，则ab2
a2b的值为（
）
A、6
B
、5
C
、
6
D
、
5
15.（2016春港南区期中）设
P
a2（
a
b
c），Q
a（a2
abac），则P与Q的关
系是（
）
A、PQ
B
、P
Q
C
、P
Q
D
、互为相反数
8
16.
（2016
春锡山区校级月考）计算：
22014
（
2）2015的结果是（
）
A、
22015
B
、22014
C
、
22014
D
、3
22014
17.
（2016
春宿州校级月考）下列运算中，因式分解正确的是（
）
A、
m2
mn
m
m（m
n1）
B
、9abc
6a2b2
3bc（3
2ab）
C、3
2
x
6
bx
3
x
3（
a
2
2）
D
、
1
ab
2
1
2
b
1
b）
a
x
b
2
a
ab（a
2
2
18.
（2015
春杭州期末）多项式（x2）（2x
1）
（x
2）可以因式分解成
（x
m）（2x
n），
则m
n的值是（
）
A、2
B、2
C
、4
D
、
4
19.（2015春莲湖区校级月考）把多项式3m（x
y）
2（y
x）2
分解因式的结果是（
）
A、（x
y）（3m
2x
2y）
B
、（x
y）（3m
2x
2y）
C、（xy）（3m2x2y）
D
、（y
x）（3m
2x
2y）
二、填空题
1.
（2016潍坊模拟）分解因式：
a4b
6a3b
9a2b=
。
2.
（2017潍坊）因式分解：
x2
2x
（x
2）=
。
3.
（2017崇安区一模）分解因式
（x
y）2
3（x
y）的结果是
。
4.
（2016秋内江期末）因式分解：
（x
y）2
2y（x
y）=
。
5.
（2016滨海县二模）分解因式：
m（x
y）
n（y
x）=
。
6.
（2017春醴陵市期末）因式分解：
6（x
3）
x（3
x）=
。
7.
（2017春碑林区校级期中）分解因式
2
（
n
）2
8
m
2（
n
）
。
mm
m=
8.
（2016陕西校级三模）分解因式
:
（3a
b）（a
b）
ab
b2=
。
9.
（2017沂源县一模）因式分解
（a
b）（a
b
1）ab1的结果为
。
10.
（2016
春寿光市期末）计算：
5652
0.134652
0.13=
。
11.
（2015
秋孟津县期末）简便计算：
1210.1312.10.9
1.21
12=
。
12.
（2017
春宜兴市期中）把多项式
16x3
40x2y提出一个公因式
8x2后，另一个因式
是
。
13.
（2016
安徽模拟）已知长和宽分别为
a,b的长方形，其面积等于
15，周长等于
16，则
2a2b
2ab2
=
。
9
14.（2016北京）如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式。
16.（2015秋黄山期末）若a
2，a2bc
3，则2a2
4abc的值为
。
17.（2016秋望谟县期末）已知
x
y
10，xy
16，则x2yxy2的值为
。
18.（2017春临泽县校级期中）若m
n
3，mn
2，则4m2n
4mn21的值为
。
19.（2017秋越秀区期末）化简：
a
1
a（a
1）
a（a1）2
...
a（a1）99=
。
三、解答题。
1.（2015春乐平市期末）若a
b
3
，ab
1。
求1a3b
a2b2
1ab3的值。
2
2
2.用提公因式法将下列各式分解因式：
（1）（ab）（xy）（ba）（xy）
（2）x（ax）（ay）y（xa）（ya）
10
升级会员 