复变函数第一章复数与复变函数.ppt

复变函数第一章复数与复变函数.ppt

《复变函数第一章复数与复变函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数第一章复数与复变函数.ppt（82页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第一章第一章复数与复变函数复数与复变函数1.11.1复数复数1.21.2复平面点集复平面点集1.31.3扩充复平面及其球面表示扩充复平面及其球面表示复变函数与积分变换及应用背景复变函数与积分变换及应用背景（莫里斯克莱恩（莫里斯克莱恩）（1908-1992）（古今数学思想古今数学思想（MathematicalThought（MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes）fromAncienttoModernTimes）的作者的作者,美国美国数学史家数学史家）指出指出:

从技术观点来看从技术观点来看,十九世纪最十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学这个新的数学分支统治了十九世纪分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展几乎象微积分的直接扩展统治了十八世纪那样统治了十八世纪那样.这一丰饶的数学分支这一丰饶的数学分支,一直一直被称为这个世纪的数学享受被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一科学中最和谐的理论之一.的概念的概念,从而建立了复变函数理论从而建立了复变函数理论.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数

（2）复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分数的积分.

（1）代数方程代数方程在在实数范数范围内无解内无解.（阿达马）说（阿达马）说:

实域中两个实域中两个真理之间的最短路程是通过复域真理之间的最短路程是通过复域.（3）复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究等问题的研究.函数理论证明了函数理论证明了应用复变应用复变（4）应用于计算绕流问题中的压力和力矩等应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.（5）应用于计算渗流问题应用于计算渗流问题.例如：

大坝、钻井的浸润曲线例如：

大坝、钻井的浸润曲线.（6）应用于平面热传导问题、电应用于平面热传导问题、电（磁磁）场强度场强度.例如：

热炉中温度的计算例如：

热炉中温度的计算.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题从而研究机翼的造型问题.变换应用于频谱分析和信号处理等变换应用于频谱分析和信号处理等.（8）复变函数理论也是积分变换的重要基础复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和工程技术领域和其他许多数学、物理和工程技术领域频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.（9）变换应用于控制问题变换应用于控制问题.在控制问题中，传递函数是输入量的在控制问题中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的变换与输出量的Laplace变换之比变换之比.（11）Z变换应用于离散控制系统变换应用于离散控制系统.（12）小波分析的应用领域十分广泛小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等地质勘探与地震预报等等.（13）复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件工程计算设计的软件（10）主主要要内内容容本章引入复数的概念及表示式、复数本章引入复数的概念及表示式、复数的运算、平面点集的概念的运算、平面点集的概念.1.11.1复数复数11复数的概念复数的概念22复数的四则运算复数的四则运算33复数的表示方法复数的表示方法44乘幂与方根乘幂与方根1.1.11.1.1复数的概念复数的概念由于解代数方程的需要由于解代数方程的需要,人们引进了复数人们引进了复数.例如，简单的代数方程例如，简单的代数方程在实数范围内无解在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍为了建立代数方程的普遍理论，引入等式理论，引入等式由该等式所定义的数称为由该等式所定义的数称为当复数的虚部为零、实部不为零当复数的虚部为零、实部不为零（即即y=0,）时，复数时，复数x+iy等于等于x+i0为为实数实数x,而虚部不为零而虚部不为零（即即）的复数称为的复数称为虚数虚数.在虚数中在虚数中,实部为零实部为零（即即x=0,）的称为的称为纯虚数纯虚数.例如例如,3+0i=3是实数是实数,4+5i,-3i都都是虚数是虚数,而而-3i是纯虚数是纯虚数.数数x+iy（或或x+yi）的的,并记做并记做称形如称形如x+iy或或x+yi的表达式为复数，其中的表达式为复数，其中x和和y是任意两个实数是任意两个实数.把这里的把这里的x和和y分别称为复分别称为复显然显然,z=x+iy是是x-iy的共轭复数的共轭复数,即即共轭复数共轭复数复数复数x-iy称为复数称为复数x+iy的的（其中其中x,y均为实数均为实数）,并记做并记做.设设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是两个复数是两个复数,如果如果x1=x2,y1=y2,则称则称z1和和z2相等相等,记为记为z1=z2.注意注意一般来说，复数不能比较大小一般来说，复数不能比较大小.1.1.21.1.2复数的四则运算复数的四则运算复数复数z1=x1+iy1和和z2=x2+iy2的加、减、乘、除的加、减、乘、除运算定义如下：

运算定义如下：

（1）复数的和与差复数的和与差

（2）复数的乘积复数的乘积（3）复数的商复数的商复数运算的性质复数运算的性质1.交换律交换律2.结合律结合律3.分配律分配律解：

解：

例例1.1设设求求与与例例1.2给定一复数给定一复数z=x+iy,在坐标平面在坐标平面XOY上存上存在惟一的点在惟一的点P（x,y）与与z=x+iy对应对应.反之反之,对对XOY平面上的点平面上的点P（x,y）,存在惟一的复数存在惟一的复数z=x+iy与它与它对应对应.根据复数的代数运算及向量的代数运算根据复数的代数运算及向量的代数运算的定义知这种对应构成了同构映射的定义知这种对应构成了同构映射.因此可以因此可以用用XOY平面上的点表示复数平面上的点表示复数z.这时把这时把XOY平面平平面平面称为复平面面称为复平面.有时简有时简称为称为z平面平面.1.1.31.1.3复平面与复数的表示法复平面与复数的表示法显然显然,实数与实数与x轴上的点一一对应轴上的点一一对应,而而x轴以轴以外的点都对应一个虚数外的点都对应一个虚数,纯虚数纯虚数与与y轴轴上的点上的点（除原点除原点）对应对应.因此因此,称称x轴为实轴轴为实轴,y轴轴为虚轴为虚轴.今后把复平面上的点和复数今后把复平面上的点和复数z不加区别不加区别,即即“点点z”和和“复数复数z”是同一个意思是同一个意思.用符号用符号C表示表示全全体复数或复平面体复数或复平面.复数复数z也可以用以原点也可以用以原点为起点而以点为起点而以点P为终点的向为终点的向量表示量表示（如图如图）.这时复数加、减法满足向量加、减法中的平这时复数加、减法满足向量加、减法中的平行四边形法则行四边形法则.用用表示复数表示复数z时时,这个向量在这个向量在x轴和轴和y轴上轴上的投影分别为的投影分别为x和和y.把向量把向量的长度的长度r称为复数称为复数z的的或称为或称为z的绝对值的绝对值,并记做并记做|z|.显然显然复数和与差的模的性质复数和与差的模的性质从几何上看从几何上看,复数复数z2-z1所表示的向量所表示的向量,与以与以z1为起点、为起点、z2为终点的向量相等为终点的向量相等（方向相同方向相同,模模相等相等）.复数的加、减运算对应于复平面上相应复数的加、减运算对应于复平面上相应向量的加、减运算向量的加、减运算.如果点如果点P不是原点不是原点（即即）,那么把那么把x轴的轴的正向与向量正向与向量的夹角的夹角称为复数称为复数z的辐角的辐角,记记做做Argz.oxy（z=x+iy）P（x,y）xy对每个对每个,都有无穷多个辐角都有无穷多个辐角,因此用因此用00表示复数表示复数z的一个辐角时的一个辐角时,则则都是复数都是复数z=x+iy所对应向量所对应向量与与x轴正向的轴正向的夹角，这就是夹角，这就是z的辐角的一般表达式的辐角的一般表达式.有时有时,在进行说明后在进行说明后,把主辐角定义为满足把主辐角定义为满足的方向角；但当的方向角；但当z=0时时,|z|=0.满足满足的复数的复数z的的称为主辐角称为主辐角（或称或称辐角主值辐角主值）,记做记做argz,则则的辐角的辐角,这时上式仍然成立这时上式仍然成立.当当z=0时时,Argz没有意义没有意义,即零向量没有确定即零向量没有确定当当时时,有有说明：

当说明：

当z在第二象限时，在第二象限时，利用直角坐标与极坐标之间的关系利用直角坐标与极坐标之间的关系数数z的的三角表示式三角表示式.再利用再利用Euler公式公式复数复数z=x+iy可表示为可表示为称为复称为复复数复数z=x+iy又可表示为又可表示为称为复数的称为复数的指数表示式指数表示式,其中其中r=|z|,=Argz.当当时时,当当时时,共轭复数的几何性质共轭复数的几何性质一对共轭复数一对共轭复数z和和在在复平面的位置是关于复平面的位置是关于实轴对称的实轴对称的.例例1.3将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式.解：

解：

1）z在第三象限在第三象限,因此因此因此因此2）显然显然,r=|z|=1,又又因此因此例例1.4写出写出的辐角和它的指数形式。

的辐角和它的指数形式。

解：

解：

1.1.41.1.4乘幂与方根乘幂与方根设复数设复数z1和和z2的三角表示式为的三角表示式为根据乘法定义和运算法则及两角和公式根据乘法定义和运算法则及两角和公式,乘积的三角表乘积的三角表示式示式于是于是应该注意的是应该注意的是中的中的加法是集合的加法运算：

即将两个集合中所有的加法是集合的加法运算：

即将两个集合中所有的两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两两两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.元素相加构成的集合元素相加构成的集合例例1.5设设求求解解：

若取若取则则两个复数相乘的几何意义两个复数相乘的几何意义设两个复数对应的向量分别为设两个复数对应的向量分别为先将先将z1按逆时针方向按逆时针方向旋转角度旋转角度,再将模再将模变到原来的变到原来的r2倍倍,于是于是所得的向量所得的向量z就表示乘积就表示乘积利用数学归纳法可以证明：

如果利用数学归纳法可以证明：

如果特别地特别地,如果如果那么那么那么那么如果写成指数形式，即如果如果写成指数形式，即如果那么那么特别地，当特别地，当|z|=r=1时时,变为变为称为称为deMoivre公式公式（棣莫拂棣莫拂公式）公式）.那么那么deMoivre公式仍然成立公式仍然成立.设设如果定义负整数幂为如果定义负整数幂为当当（即即）时时,法裔英国数学家法裔英国数学家商的三角表示式商的三角表示式则则如果将如果将z1和和z2写成指数形式写成指数形式于是于是两个复数商的模等于它们模的商；两个复数两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于被除数与除数的辐角之差商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.方根方根,记做记做或或如果如果于是将其代入方程于是将其代入方程,可得可得当当时时,对给定的复数对给定的复数z,方程方