反常积分的审敛法.ppt

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二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束反常积分的审敛法函数第五五章一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法定理定理1.若函数机动目录上页下页返回结束证证:

根据极限收敛准则知存在,定理定理2.（比较审敛原理）且对充,则机动目录上页下页返回结束证证:

不失一般性,因此单调递增有上界函数,机动目录上页下页返回结束说明说明:

已知得下列比较审敛法.极限存在,定理定理3.（比较审敛法1）机动目录上页下页返回结束例例1.判别反常积分解解:

的敛散性.机动目录上页下页返回结束由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题思考题:

讨论反常积分的敛散性.提示提示:

当x1时,利用可知原积分发散.定理定理4.（极限审敛法1）机动目录上页下页返回结束则有:

1）当2）当证证:

根据极限定义,对取定的当x充分大时,必有,即满足当机动目录上页下页返回结束可取必有即注意注意:

此极限的大小刻画了例例2.判别反常积分的敛散性.解解:

机动目录上页下页返回结束根据极限审敛法1,该积分收敛.例例3.判别反常积分的敛散性.解解:

根据极限审敛法1,该积分发散.定理定理5.机动目录上页下页返回结束证：

证：

则而定义定义.设反常积分机动目录上页下页返回结束则称绝对收敛;则称条件收敛.例例4.判断反常积分的敛散性.解解:

根据比较审敛原理知故由定理5知所给积分收敛（绝对收敛）.无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束由定义例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.定理定理6（比较审敛法2）定理3目录上页下页返回结束瑕点,有有利用有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x（xa）.定理定理7.（极限审敛法2）定理4目录上页下页返回结束则有:

1）当2）当例例5.判别反常积分解解:

利用洛必达法则得根据极限审敛法2,所给积分发散.例例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束散性.解解:

由于的敛根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.类似定理5,有下列结论:

机动目录上页下页返回结束例例7.判别反常积分的敛散性.解解:

称为绝对收敛.故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分三、三、函数函数1.定义定义机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在内收敛.令机动目录上页下页返回结束综上所述,2.性质性质

（1）递推公式机动目录上页下页返回结束证证:

（分部积分）注意到:

（2）机动目录上页下页返回结束证证:

（3）余元公式:

（证明略）（4）机动目录上页下页返回结束得应用中常见的积分这表明左端的积分可用函数来计算.例如,内容小结内容小结1.两类反常积分的比较审敛法比较审敛法和极限审敛法极限审敛法.2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课目录上页下页返回结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.3.函数的定义及性质.思考与练习思考与练习P263题1

（1）,

（2）,（6）,（7）P264题5

（1）,

（2）作业作业P2631（3）,（4）,（5）,（8）2;3