菱形的定义、性质PPT---.ppt

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情情景景创创设设前面我们学习了平行四边形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角有一个角是直角时时,成为什么图成为什么图形形?

（矩形矩形,由角变化得到由角变化得到）如果从如果从边的边的角度角度,将平行四边形特殊化将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢又会得到什么特殊的四边形呢?

有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫菱形叫菱形平行四边形平行四边形邻边相等邻边相等菱形菱形在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？

中，哪些关系没变？

哪些关系变了哪些关系变了？

如果改变了边的如果改变了边的长度长度，使，使两邻边相等两邻边相等，那么，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？

这个平行四边形成为怎样的四边形？

20002000多年前多年前一把埋藏在地下的古剑，出土时一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色身上整齐排列着黑色菱形菱形暗花纹暗花纹越王勾践剑越王勾践剑菱形的性质菱形的性质有同学是这样做的：

将一张长方形的纸对有同学是这样做的：

将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可开即可.你知道其中的道理吗？

你知道其中的道理吗？

如何利用折纸、剪切的方法，既快又准如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？

确地剪出一个菱形的纸片？

BDAC菱形是轴对称图形菱形是轴对称图形

（2）从图中你能得到哪从图中你能得到哪些结论些结论?

并说明理由并说明理由.提示提示:

从边、角、对角线、从边、角、对角线、周长周长、面积等方面来探面积等方面来探讨讨

（1）观察得到的菱形观察得到的菱形,它是中心对称图形吗它是中心对称图形吗?

它是轴对称图形吗它是轴对称图形吗?

如果是，有几条对称轴如果是，有几条对称轴?

对称轴之间有什么位置关系对称轴之间有什么位置关系?

菱形是中心对称图形菱形是中心对称图形BDAC由于平行四边形的由于平行四边形的对边相等对边相等，而菱形的而菱形的邻边相等邻边相等，菱形是特殊的平行四边形，具有平行四菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质边形的所有性质.菱形的性质：

菱形的性质：

菱形的性质菱形的性质1：

菱形的菱形的四条边都相等四条边都相等。

BDACBDAC猜想：

猜想：

菱形的菱形的四条边都相等四条边都相等。

已知已知：

菱形：

菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相交于点OO，如下图，如下图，证明：

证明：

四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形ABCDO在在ABDABD中，中，又又BO=DOBO=DOAB=ADAB=AD（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等）ACBDACBD，ACAC平分平分BADBAD同理：

同理：

ACAC平分平分BCDBCD；BDBD平分平分ABCABC和和ADCADC求证求证：

ACBDACBD；AC平分平分BAD和和BCD；BD平分平分ABC和和ADC猜想猜想：

菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；并且每一条对角线平分一组对角；性质性质2：

菱形的菱形的两条对角线互相平分两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角数学语言数学语言菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

并且每一条对角线平分一组对角。

四边形四边形ABCD是菱形是菱形=ADBCABCD=AB=BC=CD=DAADCBODAC=BACDCA=BCAADB=CDBABD=CBDACBDOA=OC;OB=ODDAB=DCBADC=ABCDAB+ABC=180【菱形的面积公式】【菱形的面积公式】菱形是菱形是特殊的平行四边形特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗面积公式计算菱形的面积吗?

菱形ABCDOES菱形=BCAE思考思考:

计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能利用对角线能计算菱形的面积公式吗计算菱形的面积公式吗?

ABCD=SABD+SBCD=ACBDS菱形菱形面积：

面积：

S菱形菱形=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半为为什什么么?

由此可进一步推导得出：

由此可进一步推导得出：

对角线互相垂对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。

一半。

ABCDO如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点OO（22）有哪些特殊的三角形？

）有哪些特殊的三角形？

（11）图中有哪些线段是相等的？

哪些角是相）图中有哪些线段是相等的？

哪些角是相等的？

等的？

相等的线段：

相等的线段：

相等的角：

相等的角：

等腰三角形：

等腰三角形：

直角三角形：

直角三角形：

全等三角形：

全等三角形：

已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形AB=CD=AD=BCOA=OCOB=ODDAB=BCDABC=CDAAOB=DOC=AOD=BOC=901=2=3=45=6=7=8ABCDBCACDABDRtAOBRtBOCRtCODRtDOARtAOBRtBOCRtCODRtDOAABDBCDABCACDABCDO12345678ABCD如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCDABCD的边长为的边长为20m20m，ABCABC6060，沿着菱形的对角线修建了，沿着菱形的对角线修建了两条小路两条小路ACAC和和BDBD，求两条小路的长和花，求两条小路的长和花坛的面积。

坛的面积。

O如图，四边形ABCD是菱形，ACD=30，BD=6求：

（1）BAD,ABC的度数

（2）边AB及对角线AC的长ABCD如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DHAB于点H。

求DH的长。

ABCDHOABCDOyx在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，ABC=60，且点A的坐标为（0,2），求点B,C,D的坐标。

DOACB菱形菱形ABCDABCD的周长为的周长为1616，相邻两角的度数，相邻两角的度数比为比为11：

22求菱形求菱形ABCDABCD的对角线的长；的对角线的长；求菱形求菱形ABCDABCD的面积的面积补充例题补充例题：

已知如图，菱形：

已知如图，菱形ABCD中，中，E是是AB的中点，且的中点，且DEAB，AB=1。

求求

（1）ABC的度数；的度数；

（2）对角线）对角线AC、BD的长；的长；（3）菱形）菱形ABCD的面积。

的面积。

ABCDEO1.1.已知菱形的周长是已知菱形的周长是12cm12cm，那，那么它的边长是么它的边长是_._.2.2.菱形菱形ABCDABCD中中ABCABC6060度，则度，则BACBAC_._.3cm3cm6060度度33、菱形的两条对角线长分别为、菱形的两条对角线长分别为6cm6cm和和8cm8cm，则菱形的边长是（，则菱形的边长是（）CA.10cmB.7cmC.5cmD.4cmABCDO344.在菱形在菱形ABCD中，中，AEBC，AFCD，E、F分别为分别为BC，CD的中点，那么的中点，那么EAF的度数是（的度数是（）A.75B.60C.45D.30B5、四边形、四边形ABCD是菱形，是菱形，O是两条对角线的是两条对角线的交点，已知交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角，求对角线线BD的长。

的长。

ABCDO解：

解：

四边形四边形ABCD是菱形是菱形ACBDOB=3BD=2OB=6cm543有关菱形问题可转化为直角三角有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决形或等腰三角形的问题来解决6已知：

如图，已知：

如图，AD平分平分BAC，DEAC交交AB于于E，DFAB交交AC于于F求证：

求证：

EFAD；菱形性质的应用菱形性质的应用w已知已知:

如图如图,四边形四边形ABCD是边长为是边长为13cm13cm的菱形的菱形,其中对角线其中对角线BD长长10cm.10cm.求求:

（1）.:

（1）.对角线对角线AC的长度的长度;

（2）.;

（2）.菱形的面积菱形的面积解:

（1）四边形ABCD是菱形,=2=2ABD的面积的面积AED=90=9000,

（2）菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积AC=2=2AE=2=212=24（cm）.12=24（cm）.DBCAE（复习巩固）（复习巩固）1、菱形的两条对角线长分别是、菱形的两条对角线长分别是6cm和和8cm，则菱形，则菱形的周长的周长，面积，面积。

2、菱形的面积为菱形的面积为24cm2,一条对角线的一条对角线的长为长为6cm，则另一条对角线长为，则另一条对角线长为；边；边长为长为。

3、已知菱形的两个邻角的比是、已知菱形的两个邻角的比是1：

5，高，高是是8cm，则菱形的周长为，则菱形的周长为。

4、已知菱形的周长为、已知菱形的周长为40cm，两对角线的，两对角线的比为比为3：

4，则两对角线的长分别是，则两对角线的长分别是。

5：

如图，菱形：

如图，菱形ABCD的边长为的边长为4cm，BAD2ABC。

对角线。

对角线AC、BD相交于点相交于点O，求这个菱形的，求这个菱形的对角线长对角线长和和面积面积。

变式题变式题

（1）：

菱形两条对角线长为）：

菱形两条对角线长为6和和8，菱形，菱形的边长为的边长为，面积为，面积为。

（2）：

菱形）：

菱形ABCD的面积为的面积为96，对角线，对角线AC长为长为16，此菱形的边长为，此菱形的边长为。

（3）:

菱形对角线的平方和等于一边平方菱形对角线的平方和等于一边平方的的（）A.2倍倍B.3倍倍C.4倍倍D.5倍倍5410C6：

菱形：

菱形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于点相交于点O，E、F分别是分别是AB、AD的中点，求证：

的中点，求证：

OEOF。

ABCDEF变式题变式题

（1）：

菱形）：

菱形ABCD,E、F分别分别ABCD的中点，求证：

的中点，求证：

CE=CF.

（2）如果上题中还有）如果上题中还有CEAB,CFAD,求各内角的度数求各内角的度数ABCDEF已知如图，菱形已知如图，菱形ABCD中，中，E、F分别是分别是BC、CD上的点，且上的点，且B=EAF=60,BAE=18,求求CEF的度数的度数.例例3：

如果菱形的一个角是：

如果菱形的一个角是1200，那么这，那么这个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别平分两边。

平分两边。

比较比较矩形和菱形的性质矩形和菱形的性质矩形矩形菱形菱形定定义义有一个角是直角的平行有一个角是直角的平行四边形四边形有一组邻边相等的平行有一组邻边相等的平行四边形四边形性性质质1、具有平行四边形的具有平行四边形的一切性质一切性质2、四个角都是直角、四个角都是直角3、矩形的对角线相等、矩形的对角线相等1、具有平行四边形的一具有平行四边形的一切性质切性质2、菱形的四条边都相等、菱形的四条边都相等3、菱形的对角线互相垂、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线直，并且每一条对角线平分一组对角平分一组对角再再见见