八年级数学《轴对称图形》培优专题训练(含答案).doc

八年级数学《轴对称图形》培优专题训练(含答案).doc

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《轴对称图形》培优专题训练

1运用线段的垂直平分线性质解题

我们知道，线段的垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等;反过来，到线段两端的距离相等的点，在线段的垂直平分线上.运用线段的垂直平分线的性质，我们可以解决一些计算题和证明题.

经典例题

如图，为的平分线上任意一点，于，于，求证:

是的垂直平分线.

解题策略

因为为的平分线，，，所以（角平分线上的点，到角两边的距离相等），因此在的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上）.

在和中，，所以且，所以在的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上）.所以是的垂直平分线.

画龙点睛

因为线段是轴对称图形，而且线段的垂直平分线是线段的对称轴.我们常利用线段的轴对称性质来证明线段的相等，也利用线段轴对称的判定方法来确定线段的垂直平分线.

举一反三

1.如图，等腰中，.线段的垂直平分线交于，交于，连结，则等于（）.

（A）80°（B）70°（C）60°（D）50°

2.如图，在中，是的垂直平分线，cm，的周长为cm，求△的周长.

3.如图，在中，，是的平分线，垂直平分，交的延长线于，试求的大小.

融会贯通

4.如图，中，，，是斜边的中线，将沿直线折叠，点落在点处，如果恰好与垂直，求的大小.

2与轴对称有关的作图

本节包含两种类型的问题:

一类是作出一个图形的关于一条直线的轴对称图形，此类问题比较简单;另外一类问题是用作轴对称图形的方法来解题，这类问题就比较复杂了.

经典例题

如图1，有一张矩形纸片，上面画有一个角的两边、，但是这个角的顶点在纸片的外部，试在纸片上作出的平分线来.

解题策略

作法:

（1）在纸片上作直线;作关于的对称直线，与交于;

（2）作的平分线

（3）作关于的对称直线.

则所在的直线也是的平分线所在的直线.

画龙点睛

我们将例题这种类型的题称为不可及点作图问题，这个利用轴对称变换来解答的作法是解决不可及点作图问题的一般方法.

举一反三

1.如图，已知与线段，求作一点，使点到的两端点距离相等，且到两边的距离也相等.

2.如图①，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图②、③中画出两种不同的拼法.

3.如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（）.

融会贯通

4.如图，已知三点不在同一直线上，求作:

（1）直线，使两点关于直线对称;

（2）直线，使两点关于直线对称;

（3）直线，使两点关于直线对称.

观察、、，你从中可以发现什么规律?

3运用轴对称方法求最值

有一类几何极值问题，可以运用轴对称的方法来解决，本节我们就来介绍这种方法.

经典例题

如图1，已知线段和直线（线段和直线不相交），在直线上求一点，使周长最短.

图1

解题策略

如图2，作点关于的对称点，连结交于点，则点为所求的点，此时，的周长最短.

事实上，如是上异于的另外一点，如图3，连结、，由轴对称的性质有，，于是，显然有的周长的周长.也就是说的周长最短.

画龙点睛

1.利用轴对称的方法，常可以化折线段为直线段，再结合“两点之间线段最短”的性质，就可以解决一类几何最值问题了.

2.我们容易证得，当最短时，.这是一种最短线的等角性质，有一类台球问题也可以仿此解答.

举一反三

1.如图，已知直线和在异侧的两点、，在上求作一点，使线段最大.

2.如图，已知内一定点.试在、上各找一点、.使周长最短.

3.如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是.

融会贯通

4.在一平直河岸同侧有、两个村庄，、到的距离分别是3km和2km，km.现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水.

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:

图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）;图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）.

观察计算

（1）在方案一中，km（用含的式子表示）;

（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，km（用含的式子表示）.

探索归纳

（1）①当时，比较大小:

（填“>”、“=”或“<”）;

②当时，比较大小:

（填“>”、“=”或“<”）;

（2）请你参考下面方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二?

方法指导

当不易直接比较两个正数与的大小时可以对它们的平方进行比较:

因为，，

所以与的符号相同.

当时，，即；

当时，，即，；

当时，，即

4等腰三角形的性质与判定

经典例题

如图所示，若，则的度数为（）

（A）30°（B）32°（C）36°（D）40°

解题策略

设.则由可得，所以.由可得，又，所以.由得，即.解得，即，应选C.

画龙点睛

图中的几个与等腰三角形相关的角都可以用的代数式来表示，因此可以建立关于的方程，来解决此类问题.

举一反三

1.如图，'中，，，、分别是角平分线，且相交于，则图中的等腰三角形有（）个.[来源:

学§科§网]

（A）6（B）7（C）8（D）9

2.如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，试判断的形状，并说明理由.

3.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若，求的度数.

融会贯通

4.如图，中，，.仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明;要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）.

5等腰三角形中的辅助线

我们知道，等腰三角形是以底边上的高所在直线为对称轴的轴对称图形，故在解与等腰三角形有关的问题时，常要利用这个性质.

经典例题

如图1，从等腰直角的直角顶点向中线引垂线，交于，交于，连结.求证:

.

[来源:

学科网ZXXK]

图1

解题策略

注意到在中，在中，且，可设法在中构造一个与全等的三角形，因，可作的平分线（即边上的高）.

如图2，作的平分线交于，因为

又

所以

所以

在和中，因为

所以，因此

.

画龙点睛

等腰三角形是轴对称图形，作出它的对称轴即底边上的高来解题，是一种常见的作辅助线的方法.

举一反三

1.如图，在中，若，为边上的高，为边上的一点，且有，已知，则有.

2.如图，已知点、在的边上，，，求证:

.

3.如图，在等腰，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持.连结、、.在此运动变化的过程中，下列结论:

①是等腰直角三角形;c.

②四边形的面积保持不变;

③.

其中正确的结论是（）.

（A）①②③（B）①（C）②（D）①②

融会贯通

4.如图，在中，，，为内一点，且，，求的度数.

6运用等腰三角形的性质解题

当一个几何问题中出现了等腰三角形时，要充分利用等腰三角形的性质或者构造一个等腰三角形来解题.

经典例题

如图，过的顶点，作直线与的内角平分线垂直相交于点，与相交于点，且与的内角平分线相交于点.过作直线与底边平行，且与交于，与交于，与交于，求证:

.

解题策略

因为，是的平分线，所以，于是.同理.

因，，.但，于是，故.

所以.

画龙点睛

在题目中出现了过角平分线上一点而又和角的一边平行的直线这样的基本图形时，就一定要注意到图形中出现了等腰三角形，利用这个等腰三角形进行计算或者证明，是解答此类问题的关键.

举一反三

1.如图，在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交、于点、，，，，那么，的周长为（）

（A）34（B）38（C）30（D）25

2.如图，于，于，与相交于点.

（1）求证:

;

（2）连结、，试判断直线、的关系并说明理由.

3.如图，在凸五边形中，，，，为的中点.求证:

.

融会贯通

4.如图，在，，，是的平分线.求证:

.

7等边三角形

我们知道，等边三角形是最特殊的等腰三角形，它的三角相等，三边相等，有三条对称轴.常用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定一个三角形是等边三角形.

经典例题

如图1所示，已知为等边三角形，是线上一点，再延长到，使，求证:

.

解题策略

如图2，延长到，使，连结.

因为为等边三角形，所以

又因为，即

所以△BEF是等边三角形.因此

，

从而有

所以

画龙点睛

当题目中出现了含有60°的三角形时，常可构造一个等边三角形，然后从等边三角形中寻找新的结论.

在本题中，是通过补图，把原图形补成一个等边三角形，得出有关三角形全等，从而证明线段的相等.

举一反三

1.如图，在等边中，是的中点，延长到点，使，cm.求的长.

2.如图，是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点.

（1）若，问是等边三角形吗?

试证明你的结论;

（2）若是等边三角形，问成立吗?

试证明你的结论.

3.如图，在等边的边的延长线上取一点，以为边作等边，使它与位于直线的同一侧，点为线段的中点，点为线段的中点，求证:

为等边三角形.

融会贯通

4.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

在等边三角形中，点

在上，点在的延长

线上，且，如图，

试确定线段与的大

小关系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:

（1）特殊情况，探索结论.

当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系.请你直接写出结论:

（填“>”、“<”或“=”）.

（2）特例启发，解答题目.

解:

题目中，与的大小关系是:

（填“>”、“<”或“=”）.理由如下:

如图2，过点作，交于点，

（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题.

在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）.

8含30°角的直角三角形

含30°角的直角三角形可以看作是一个等边三角形的一半，我们可以证明，在这种三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.

经典例题

如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于.求证:

.

解题策略

如图，连结.因为为的垂直平分线，所以

（线段垂直平分线上的点