文最后有详解中高二物理竞赛专题2振动与波.docx
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文最后有详解中高二物理竞赛专题2振动与波
振动与波
说明：
本专题高考不考，但它是竞赛范围。
上本专题前请同学们先预习选修3－4课本的第11、12两章。
一、知识网络与概要
1.机械振动
（1）弹簧振子,简谐运动,简谐运动的振幅、周期和频率,简谐运动的位移—时间图象.
（2）单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动,周期公式.（3）振动中的能量转化.
（4）自由振动和受迫振动,受迫振动的振动频率,共振及其常见的应用.
2.机械波
（1）振动在介质中的传播——波,横波和纵波,横波的图象,波长、频率和波速的关系.
（2）波的叠加,波的干涉、衍射现象.（3）声波、超声波及其应用.（4）多普勒效应.
二、巩固：
夯实基础
1.机械振动的意义：
物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧所做的往复运动，叫机械振动.
回复力：
使偏离平衡位置的振动物体回到平衡位置的力，叫回复力.回复力总是指向平衡位置，它是根据作用效果命名的，类似于向心力.振动物体所受的回复力可能是物体所受的合外力，也可能是物体所受的某一个力的分力.
2.描述振动的物理量
（1）位移x：
由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.
（2）振幅A：
振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量.表示振动的强弱.
（3）周期T和频率f：
物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数.它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系：
T=
.
当Ｔ和f是由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫做固有周期和固有频率.
3.简谐运动：
物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.
（1）受力特征：
回复力F=-kx.
（2）运动特征：
加速度a=-kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大.
判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征.
（3）振动能量：
对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒.
（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T.物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
T.
4.单摆：
（1）周期公式：
T=2π
其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值.
（2）单摆的等时性：
在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关（单摆的振动周期跟振子的质量也没有关系）.
（3）单摆的应用：
A.计时器.（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与标准时间同步）
B.测重力加速度：
g=
.
5.简谐运动的位移—时间图象
如图所示为一弹簧振子做简谐运动的图象.它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线.
6.受迫振动：
物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关.
7.共振：
做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.
8、机械波的产生：
的条件有两个：
一是要有作为波源的机械振动，二是要有能够传播机械振动的弹性介质。
有机械波必有机械振动，有机械振动不一定有机械波.但是，已经形成的波跟波源无关，在波源停止振动时仍会继续传播，直到机械能耗尽后停止.
9、横波和纵波：
质点的振动方向与波的传播方向垂直的叫横波.凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷.质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的叫纵波.质点分布密的叫密部，分布疏的叫疏部.
10、描述机械波的物理量
（1）波长λ：
两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.
（2）频率f：
波的频率由波源决定，在任何介质中频率不变.
（3）波速v：
单位时间内振动向外传播的距离.
波速与波长和频率的关系：
v=λf.波的频率由波源决定,波速大小由介质决定.
11、机械波的特点：
（1）每一质点都以它的平衡位置为中心做简谐运动；后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动.
（2）波传播的只是运动形式（振动）和振动能量，介质中的质点并不随波迁移.
12、声波：
一切振动着发声的物体叫声源.声源的振动在介质中形成纵波.频率为20Hz到20000Hz的声波能引起听觉.频率低于20Hz的声波为次声波，声波具有反射、干涉、衍射等波的特有现象.
13、如图所示为一横波的图象.它反映了在波传播的过程中，某一时刻介质中各质点的位移在空间的分布.简谐波的图象为正弦（或余弦）曲线。
根据机械波的传播规律，利用该图象可以得出以下的判定：
（1）介质中质点的振幅A、波长λ以及该时刻各质点的位移和加速度的方向.
（2）根据波的传播方向确定该时刻各质点的振动方向,画出在Δt前或后的波形图象.
（3）根据某一质点的振动方向确定波的传播方向.
14、波的叠加：
几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰.只是在重叠的区域里，任一质点的总位移等于各列波分别引起的位移的矢量和.
15、衍射：
波绕过障碍物继续传播的现象.产生明显衍射现象的条件是：
障碍物或孔的尺寸比波长小或与波长相差不多.
16、干涉：
频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，使某些区域的振动减弱，并且振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象.产生稳定的干涉现象的必要条件：
两列波的频率相同.
干涉和衍射是波所特有的现象.波同时还可以发生反射，如回声.
17、多普勒效应：
由于波源和观察者之间的相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，叫做多普勒效应.
当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小.多普勒效应是所有波动过程共有的特征.根据声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度；根据光波的多普勒效应可以判断遥远天体相对地球的运行速度.
三、重点热点透析
1、单摆的周期的使用：
T=2π
是实验中总结出来的.单摆的回复力
是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度（gsinθ）越大.由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力.在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.
（1）等效摆长：
在图中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d,l2、l3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为l=l1+
.
若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为l=l1+l2sinα+
.
（2）等效重力加速度：
公式中的g由单摆所在的空间位置决定.
由g=
可知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s2.
2、简谐运动的位移—时间图象
简谐运动的位移—时间图象为图，利用该图象可以得出以下的判定：
（1）振幅A、周期T以及各时刻振子的位置.
（2）各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向.
（3）某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、
势能的变化情况.
（4）某段时间内振子的路程.
3、振动图象和波的图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象.简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但两图象是有本质区别的.见表：
振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向所有质点
研究内容
一质点的位移随时间变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图线
物理意义
表示一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图线变化
随t推移图象延续，但已有形状不变
随时间推移，图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离
表示一个周期
表示一个波长
4、波的图象的应用
（1）确定各质点的振动方向
如图所示（实线）为一沿x轴正方向传播的横波，试确定质点A、B、C、D的速度方向.
判断方法：
将波形沿波的传播方向做微小移动（如图中虚线）,由于质点仅在y轴方向上振动，所以A′、B′、C′、D′即为质点运动后的位置，故该时刻A、B沿y轴正方向运动，C、D沿y轴负方向运动.
可看出：
波形相同方向的“斜坡”上,速度方向相同.
（2）确定波的传播方向
知道波的传播方向,利用“微平移”的办法可以很简单地判断出各质点的振动方向.反过来知道某一质点的运动方向，也可利用此法确定该波的传播方向.
另外还有一简便实用的判断方法，同学们也可以记住.如图所示，若已知A点速度方向向上，则可假想在最靠近它的波谷内有一小球.不难看出：
A向上运动时，小球将向右滚动，此即该波的传播方向.
（3）已知波速v和波形，画出再经Δt时间的波形图
①平移法：
先算出经Δt时间波传播的距离Δx=v·Δt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可.因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移ｎλ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去整留零的方法，只需平移x即可.
②特殊点法：
（若知周期T则更简单）在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t.由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形.
（4）已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移
求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵扯质点的初始状态，用正弦函数较复杂，但Δt若为半周期的整数倍则很容易.在半周期内质点的路程为2A.
（5）应用Δx=v·Δt时注意
①波动的重复性和波传播的双向性.②多解性.
5、干涉图样
两列波在空间相遇发生干涉，其稳定的干涉图样如图所示.其中a点是两列波的波峰相遇点,为加强的点，b点为波峰和波谷的相遇点,是减弱的点.加强的点只是振幅大了，并非任一时刻的位移都大；减弱的点只是振幅小了，也并非任一时刻的位移都小.
若两波源的振动步调一致，某点到两波源的距离之差为波长的整数倍，则该点为加强点；某点到两波源的距离之差为半波长的奇数倍，则该点为减弱点.
【例1】如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：
（1）单摆的振幅为_____，频率为_____，摆长为_____；一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为_____.
（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的__________点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是__________,势能增加且速度为正的时间范围是__________.
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下列物理量变化的是（）
A.位移B.速度C.加速度D.动量E.动能F.摆线张力
（4）在悬点正下方O′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且
=
则单摆周期为________s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.
（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了,此后摆球做什么运动?
若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动?
【例2】一弹簧振子沿x轴振动,振幅为4cm,振子的平衡位置位于x轴上的0点.图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态:
黑点表示振子的位置,黑点上的箭头表示运动的方向.图7-1-6给出的①②③④四条振动图线,可用于表示振子的振动图象（）
A.若规定状态a时t=0,则图象为①B.若规定状态b时t=0,则图象为②
C.若规定状态c时t=0,则图象为③D.若规定状态d时t=0,则图象为④
【例3】（2004全国高考理综Ⅲ）一简谐波在图中x轴上传播,实线和虚线分别是t1和t2时刻的波形图,已知t2-t1=1.0s.由图判断下列哪一个波速是不可能的（）
A.1m/sB.3m/sC.5m/sD.10m/s
【例4】如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同.实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷.关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有（）
①该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱
②该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强
③a质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的
④再过T/4后的时刻,a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱
A.①②B.③④C.②③D.①④
【例5】一列简谐横波在t1=0时刻波形如图所示,传播方向向左;当t2=0.7s时,P点第二次出现波峰,Q点坐标是（-7,0）,则以下判断中正确的是（）
A.t3=1.26s末,Q点第一次出现波峰
B.t4=0.9s末,Q点第一次出现波峰
C.质点Q位于波峰时,质点P处于波谷
D.P、Q两质点运动方向始终相反
6．初赛中的几个对数学要求较高的方程：
振动方程：
x=Acos（wt+a）振动的速度：
v=-Awsin（wt+a）
波动方程：
y=Acosw（t-x/v）
四、训练题：
1．如图所示，在直线PQ的垂线OM上有A、B两个声源，A、B分
别距O点6m和1m，两个声源同时不断向外发出波长都是2m
的完全相同的声波.在直线PQ上从-∞到+∞的范围内听不到声音的
小区域共有________个.
2．如图所示，在光滑水面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振幅质量为M，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，要使物体和振子一起振动，则两者间动摩擦因数的最小值为__________.
3．如图,S1、S2、S3、S4是在同一介质中频率相同的波源.在波的传播过程中,显示出干涉现象的是_________,显示出衍射现象的是__________〔填序号（a）（b）（c）〕.
4．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1h，那么实际的时间应是_______h（月球表面的重力加速度是地球表面的1/6）.若要把此摆钟调准，应使摆长L0调节为_________.
5．如图，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1与k2的轻质弹簧系住一个质量为m
的小球.开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上做往复运动.试问小球是否做简谐运动？
6．一秒摆摆球的质量为0.2kg，它摆动到最大位移时距离最低点的高度为0.4cm，它完成10次全振动回到最大位移时，距最低点的高度变为0.3cm.如果每完成10次全振动给它补充一次能量，使摆球回到原来的高度，在60s内总共应补充多少能量？
7．摆长为l的单摆做小角度摆动，若摆球的质量为m，最大摆角为θ（θ＜10°），则：
（1）摆球经过圆弧最低点时的速度是多大？
（2）摆球从最大位移处摆向平衡位置的全过程中，重力的冲量是多大？
合力的冲量是多大？
振动与波答案
例1解析：
（1）由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3cm.从横坐标可直接读取完成一次全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T=2s，进而算出频率f=
=0.5Hz，算出摆长l=
=1m.
从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5s末和1.5s末.
（2）图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时四分之一周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G.A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点.
摆动中E、F间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5～2.0s间.
摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程,在图象中为从O到A的过程，时间范围是0—0.5s间.
（3）过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcosα+m
也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选BD.
如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的?
（4）放细钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期和钉右侧的半个周期，前已求出摆长为1m，所以t左=π
=1s；钉右侧的半个周期，t右=π
=0.5s，所以T=t左+t右=1.5s.
由受力分析得，张力F=mg+m
，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球的重力不变，挡后摆线长为挡前的
，所以挡后绳的张力变大.
（5）问题的关键要分析在线断的瞬间，摆球所处的运动状态和受力情况.
在最大位移处线断，此时球的速度为零，只受重力作用，所以做自由落体运动.
在平衡位置处线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以球做平抛运动.
答案：
（1）3cm0.5Hz1m0.5s末和1.5s末
（2）E、G、E、F1.5s—2.0s0—0.5s
（3）BD（4）1.5张力变大（5）自由落体运动平抛运动
点评：
在学习过程中要把全部精力放在基本概念和基本规律的理解和应用上.做简谐运动的物体，其各物理量的变化情况具有周期性和对称性，在解题过程中要善于利用这些特点.
【例2】
解析：
状态a时,振子正从位移为3cm处向正方向运动,若从该时刻开始计时,其位移—时间图象应为①,即选项A正确.状态b时,振子正由位移为2cm处向平衡位置移动,若从此时开始计时,t=0时,振子位移应为2cm,图象①②③④均不能反映其运动规律.类似地分析可知选项D也是正确的.答案：
AD
点评：
图象可直观、形象地反映某一物理量随另一物理量变化的规律,因此物理上常用图象描述某些物理量的变化规律.但同一物理量的规律变化图象并不是一成不变的,如振动物体的位移—时间图象的形状是由开始计时的时刻和正方向的选取共同决定的.
【例3】解析：
若波沿x轴正方向传播,则t2-t1=（n+
）T,所以T=
由图中读出波长λ=4m,所以波速v=
=
=
m/s（n=0,1,2,3,…）
若波沿x轴负方向传播,则t2-t1=（n+
）T,所以T=
波速v=
=
=
m/s（n=0,1,2,3,…）
经计算后可知,选项D正确.
点评：
求解波的问题时,一定要注意由于波的传播方向不明确和波形图的空间重复性引起的多解,避免漏解.
【例4】解析：
该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解.但是d既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？
由于S1、S2是两个相干波源且它们振动同步，所以某点到两波源的路程之差是波长的整数倍时，该点振动最强，从图中可以看出，d是S1、S2连线的中垂线上的一点，到S1、S2的距离相等，所以必然为振动最强点.描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移.每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的.故②③正确，选C.
点评：
正确理解振动加强和振动减弱的意义,并弄清楚振动加强点和振动减弱点的空间分布规律,是讨论此类问题的关键.
【例5】解析：
由波形图的物理意义知,t=0时,质点P正经平衡位置向波谷方向运动,经
周期恰好第一次运动至波峰处,经1
周期恰好第二次出现波峰,所以1
T=0.7s,T=0.4s.又由图知波长λ=4m,所以v=
=10m/s.
离Q点最近的波峰距Q（2+|-7|）m=9m,所以波峰第一次传至Q点历时t=
s=0.9s,可见选项A错B对.
又P、Q两点相距sPQ=10m=2.5λ,为半波长的5倍,故P、Q两质点振动步调恰好相反,所以选项CD正确.答案：
CD
点评：
在波动过程中,在波的传播方向上,相距波长整数倍的质点的振动步调相同,相距半波长奇数倍的质点振动步调相反.这是一个重要的结论,必须熟记.另外,将质点振动的非匀速运动（变加速运动）问题转化为波形图的匀速运动问题,是本题解法中的一个突出技巧,也应理解并掌握.
四、训练题：
1．5
解析：
因A、B处两列波振动情况完全相同，所以听不到声音的点P振幅为0，即为干涉减弱的点.由|PA-PB|=（2n+1）
，n=0，1，2，…及三角形两边之差小于第三边得|PA-PB|≤AB=5，得（2n+1）
≤5，n=0，1，2，…
由对称性知：
满足条件的n为0，±1，±2，即听不见声音的点共5处（取等号时，对应0点）
2．
解析：
对M+m，振动的最大回复力F=kA
所以产生的最大加速度a=
=
则对物体m，回复力是振子给它的静摩擦力.
设最大静摩擦力为μmg,当μmg≥ma时一定振动.所以μ≥
=
.
3．解析:
衍射现象是波绕过障碍物继续传播,波动和能量传到阴影区域去,故（a）和（c）是衍射现象.干涉现象是两列频率相同的波叠加,使某些区域的振动总加强,某些区域的振动总减弱的现象,故（b）是干涉现象.答案:
（b） （a）（c）
4．解析：
设在地球上标准钟周期为T0，指示时间为t0；月球上周期为T，指示时间为t.
由于指示时间t与振动次数N成正比，即t∝N；一定时间内振动次数N与振动周期T成反比，即N∝
；由单摆周期公式可知T∝
.由以上推知：
t∝
，则有
=
.所求实际时间为t0=
t=
h.
要把它调准，需将摆长调为L0/6.
5．是做简谐运动
解析：
以小球为研究对象，竖直方向受力平衡，水平方向受到两根弹簧的弹力作用.设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x,则
左方弹簧压缩，对小球F1=k1x,方向向右.
右方弹簧拉伸，对小球F2=k2x，方向向右.
则F=F1+F2=（k1+k2）x,方向向右.令k1+k2=k，则F=kx
由于小球所受回复力的方向与位移方向相反，考虑方向后，则F=-kx
故小球将在两根弹簧的作用下在水平面上做简谐运动.
6．5.88×10-3J
解析：
秒摆就是周期为2s的单摆，秒摆10次全振动所用的时间为20s,60s内共振动30次，共补充3次能量.应补充能量为E=3mgh=3×0.2×9.8×0.001J=5.88×10-3J.
7．
（1）
（2）
解析：
（1）如图所示，摆球在最大摆角位置时对平衡位置的高度h=l（1-cosθ） ①
由题意知，单摆做简谐运动，摆球在摆动过程中，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒.设摆球运动经过圆弧最低点时的速度为v，则由机械能守恒定律得
mv2=mgh ②①②式联立得v=
. ③
（2）摆球从最大位移处摆至平衡位置所用时间为
t=
·2π
④
重力冲量为IG=mgt=mg·
m
⑤
由动量定理求得合力的冲量为I合=mv=m
. ⑥
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