普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷1解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷1解析版
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2018年一般高等学校招生全国一致考试数学试题理（全国卷1）
注意事项：
1．答卷前，考生务势必自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地点上。
2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮
擦洁净后，再选涂其余答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合
题目要求的。
1.设，则
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】剖析：
第一依据复数的运算法例，将其化简获得，依据复数模的公式，获得，从而选出
正确结果.
详解：
因为，
所以，应选C.
点睛：
该题考察的是有关复数的运算以及复数模的观点及求解公式，利用复数的除法及加法运算法例求得
结果，属于简单题目.
2.已知会合，则
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】剖析：
第一利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得会合A，以后依据会合
补集中元素的特点，求得结果.
详解：
解不等式得，
所以，
所以能够求得，应选B.
点睛：
该题考察的是有关一元二次不等式的解法以及会合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确
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一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特点，从而求得结果.
3.某地域经过一年的新乡村建设，乡村的经济收入增添了一倍．实现翻番．为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况，统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入组成比率．获得以下饼图：
则下边结论中不正确的选项是
A.新乡村建设后，栽种收入减少
B.新乡村建设后，其余收入增添了一倍以上
C.新乡村建设后，养殖收入增添了一倍
D.新乡村建设后，养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半
【答案】A
【分析】剖析：
第一设出新乡村建设前的经济收入为M，依据题意，获得新乡村建设后的经济收入为2M，
以后从图中各项收入所占的比率，获得其对应的收入是多少，从而能够比较其大小，而且获得其相应的关
系，从而得出正确的选项.
详解：
设新乡村建设前的收入为M，而新乡村建设后的收入为2M，
则新乡村建设前栽种收入为0.6M，而新乡村建设后的栽种收入为0.74M，所以栽种收入增添了，所以A项
不正确；
新乡村建设前其余收入我0.04M，新乡村建设后其余收入为0.1M，故增添了一倍以上，所以B项正确；
新乡村建设前，养殖收入为0.3M，新乡村建设后为0.6M，所以增添了一倍，所以C项正确；
新乡村建设后，养殖收入与第三家产收入的综合占经济收入的，所以超出了经济收
入的一半，所以D正确；
应选A.
点睛：
该题考察的是有关新乡村建设前后的经济收入的组成比率的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
4.设为等差数列的前项和，若，，则
2
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A.B.C.D.
【答案】B
详解：
设该等差数列的公差为
，
依据题中的条件可得
，
整理解得
，所以
，应选B.
点睛：
该题考察的是有关等差数列的乞降公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，
联合等差数列的乞降公式，获得公差
的值，以后利用等差数列的通项公式获得
与
的关系，从而求得
结果.
5.设函数
，若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】剖析：
利用奇函数偶此项系数为零求得
，从而获得
的分析式，再对
求导得出切线的斜率
，从而求得切线方程.
详解：
因为函数
是奇函数，所以
，解得
，
所以
，
，
所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
化简可得
，应选D.
点睛：
该题考察的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，第一需要确
定函数分析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相
应的参数值，以后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，联合直线方程的点斜式求得结果.
6.在△中，为边上的中线，为的中点，则
A.B.
C.D.
【答案】A
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【分析】剖析：
第一将图画出来，接着应用三角形中线向量的特点，求得，以后应用向量的
加法运算法例-------三角形法例，获得，以后将其归并，获得，下一步应用
相反向量，求得，从而求得结果.
详解：
依据向量的运算法例，可得
，
所以，应选A.
点睛：
该题考察的是有关平面向量基本定理的有关问题，波及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法
的三角形法例、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要仔细对待每一步运算.
7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱
表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A.B.
C.D.2
【答案】B
【分析】剖析：
第一依据题中所给的三视图，获得点M和点N在圆柱上所处的地点，点M在上底面上，点N
在下底面上，而且将圆柱的侧面睁开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，依据平面上
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两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.
详解：
依据圆柱的三视图以及其自己的特点，
能够确立点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线
的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，应选B.
点睛：
该题考察的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两
个点在几何体上所处的地点，再利用平面上两点间直线段最短，所以办理方法就是将面切开平铺，利用平
面图形的有关特点求得结果.
8.
设抛物线
C：
y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
的直线与C交于M，N两点，则
=
A.5
B.6C.7
D.8
【答案】D
【分析】剖析：
第一依据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，波及到直线与抛物线订交，联立方程
组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，以后应用向量坐标
公式，求得，最后应用向量数目积坐标公式求得结果.
详解：
依据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：
，
解得，又，
所以，
从而能够求得，应选D.
点睛：
该题考察的是有关直线与抛物线订交求有关交点坐标所知足的条件的问题，在求解的过程中，第一
需要依据题意确立直线的方程，以后需要联立方程组，消元化简求解，从而确立出，以后借助
于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，以后应用向量数目积坐标公式求
得结果，也能够不求点M、N的坐标，应用韦达定理获得结果.
9.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）
【答案】C
【分析】剖析：
第一依据g（x）存在2个零点，获得方程有两个解，将其转变为有
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两个解，即直线
与曲线
有两个交点，依据题中所给的函数分析式，画出函数
的图像（将
去掉），再画出直线
，并将其上下挪动，从图中能够发现，当
时，知足
与曲线
有两个交点，从而求得结果.
详解：
画出函数
的图像，
在y轴右边的去掉，
再画出直线
，以后上下挪动，
能够发现当直线过点
A时，直线与函数图像有两个交点，
而且向下能够无穷挪动，都能够保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程
有两个解，
也就是函数
有两个零点，
此时知足
，即
，应选C.
点睛：
该题考察的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转变为方程解的个数问题，将式子移项变形，转变为两条曲线交点的问题，画出函数
的图像以及相应的直线，在直线挪动的过程中，利用数形联合思想，求得相应的结果.
10.下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的地区记为I，黑色部分记为II，
其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A.p1=p2B.p1=p3
C.p2=p3D.p1=p2+p3
【答案】A
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详解：
设
，则有
，
从而能够求得
的面积为
，
黑色部分的面积为
，
其余部分的面积为
，所以有
，
依据面积型几何概型的概率公式，能够获得
，应选A.
点睛：
该题考察的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，依据面积型几何概型的
概率公式，将比较概率的大小问题转变为比较地区的面积的大小，利用有关图形的面积公式求得结果
.
11.已知双曲线C：
，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A.B.3C.
D.4
【答案】B
【分析】剖析：
第一依据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，
并求得其右焦点的坐标，从而获得
，
依据直角三角形的条件，能够确立直线
的倾斜角为
或
，依据有关图形的对称性，得悉两种状况求
得的结果是相等的，从而设其倾斜角为
，利用点斜式写出直线的方程，以后分别与两条渐近线方程联立，
求得
，利用两点间距离同时求得
的值.
详解：
依据题意，可知其渐近线的斜率为
，且右焦点为
，
从而获得
，所以直线
的倾斜角为
或
，
依据双曲线的对称性，设其倾斜角为
，
能够得出直线
的方程为
，
分别与两条渐近线
和
联立，
求得
，
所以
，应选B.
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点睛：
该题考察的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确立哪两个点之间的距离，再剖析点
是怎么来的，从而获得是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，能够确立其渐近线
方程，利用直角三角形的条件获得直线的斜率，联合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，
以后联立求得对应点的坐标，以后应用两点间距离公式求得结果.
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积
的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】剖析：
第一利用正方体的棱是
3组每组有相互平行的
4条棱，所以与
12条棱所成角相等，只需与
从同一个极点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出头的地点，截正方体所得的截面为一个正六边形，
且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果
.
详解：
依据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体
中，
平面
与线
所成的角是相等的，
所以平面
与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，
同理平面
也知足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
要求截面面积最大，则截面的地点为夹在两个面
与
中间的，
且过棱的中点的正六边形，且边长为
，
所以其面积为
，应选A.
点睛：
该题考察的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确立截面的地点，以后需要从题的条件中搜寻有关的字眼，从而获得其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面
积的求法，应用有关的公式求得结果.
二、填空题：
此题共4小题，每题5分，共20分。
13.若，知足拘束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6
【分析】剖析：
第一依据题中所给的拘束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，
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以后在图中画出直线，在上下挪动的过程中，联合的几何意义，能够发现直线过B点时
获得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数分析式，求得最大值.
详解：
依据题中所给的拘束条件，画出其对应的可行域，以下图：
由可得，
画出直线，将其上下挪动，
联合的几何意义，可知当直线过点B时，z获得最大值，
由，解得，
此时，故答案为6.
点睛：
该题考察的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，第一需要正确画出拘束条件对应的可行域，
以后依据目标函数的形式，判断z的几何意义，以后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大概上有三种：
斜率型、截距型、
距离型；依据不一样的形式，应用相应的方法求解.
14.记为数列的前项和，若，则_____________．
【答案】
【分析】剖析：
第一依据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理获得，
从而确立出数列为等比数列，再令，联合的关系，求得，以后应用等比数列的乞降公式
求得的值.
详解：
依据，可得，
两式相减得，即，
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当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为宣布的等比数列，
所以，故答案是.
点睛：
该题考察的是有关数列的乞降问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着今后写一个
式子，以后两式相减，获得相邻两项之间的关系，从而确立出该数列是等比数列，以后令，求得数列
的首项，最后应用等比数列的乞降公式求解即可，只需明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技竞赛，且起码有1位女生当选，则不一样的选法共有
_____________种．（用数字填写答案）
【答案】16
【分析】剖析：
第一想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确立从6人中任选3人总合
有多少种选法，以后应用减法运算，求得结果.
详解：
依据题意，没有女生当选有种选法，
从6名学生中随意选3人有种选法，
故起码有1位女生当选，则不一样的选法共有种，故答案是16.
点睛：
该题是一道对于组共计数的题目，而且在波及到至多起码问题时多采纳间接法，整体方法是得出选3
人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还能够用直接法，分别求出有1名女
生和有两名女生疏别有多少种选法，以后用加法运算求解.
16.已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【分析】剖析：
第一对函数进行求导，化简求得，从而确立出函数的单一区间，减
区间为，增区间为，确立出函数的最小值点，从而求得
代入求得函数的最小值.
详解：
，
所以当时函数单一减，当时函数单一增，
从而获得函数的减区间为，
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函数的增区间为，
所以当时，函数获得最小值，
此时，
所以，故答案是.
点睛：
该题考察的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确有关的函数的求导公式，需要理解导数的符号与函数的单一性的关系，确立出函数的单一增区间和单一减区间，从而求得函
数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题
考生都一定作答。
第22、23题为选考题，考生依据要求作答。
（一）必考题：
60分。
17.在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】剖析：
（1）依据正弦定理能够获得，依据题设条件，求得，联合角的
范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）依据题设条件以及第一问的结论能够求得，以后在中，用余弦定理获得
所知足的关系，从而求得结果.
详解：
（1）在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以.
（2）由题设及
（1）知，.
在中，由余弦定理得
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.
所以.
点睛：
该题考察的是有关解三角形的问题，波及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、引诱公式
以及余弦定理，在解题的过程中，需要时辰关注题的条件，以及开方时对于正负号的弃取要从题的条件中
找寻角的范围所知足的关系，从而正确求得结果.
18.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点抵达点的
地点，且.
（1）证明：
平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】
（1）证明看法析.
（2）.
【分析】剖析：
（1）第一从题的条件中确立相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为，利用
线面垂直的判判定理能够得出BF⊥平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判判定理证得平面PEF⊥
平面ABFD.
（2）联合题意，成立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与
平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，能够求得，获得结果.
详解：
（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又
，所以BF⊥平面PEF.
又
平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作
⊥，垂足为.由
（1）得，⊥平面.
PHEF
H
PH
ABFD
以
H
为坐标原点，
的方向为
y
轴正方向，
为单位长，成立以下图的空间直角坐标系
-
.
Hxyz
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由
（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得.
则为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为，则.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
点睛：
该题考察的是有关立体几何的问题，波及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，
属于惯例题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判判定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以
要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值能够借助于平面的法
向量来达成，注意相对应的等量关系即可.
19.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：
.
【答案】
（1）AM的方程为或.
（2）证明看法析.
【分析】剖析：
（1）第一依据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A
的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；
（2）分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种状况证明，特别状况比较简单，也
比较直观，对于一般状况将角相等经过直线的斜率的关系来表现，从而证得结果.
详解：
（1）由已知得，l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为或.
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（2）当l与x轴重合时，.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直均分线，所以.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为.
由得
.
将代入得
.
所以，.
则.
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.
综上，.
点睛：
该题考察的是有关直线与椭圆的问题，波及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆订交的综合问题、对于角的大小用斜率来权衡，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应当是两个，对于第二问，在做题的时候需要先将特别状况说明，一般状况下，波及到直线与曲线订交都需要联立方程组，以后韦达定
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