离散数学第3次.docx
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离散数学第3次
第3次作业一、填空题（本大题共20分，共10小题，每小题2分）1.
是否可以画出一个简单的无向图，使得各点度数与一下序列一致。
（T or F）
（1）2，2，2，2，2，2； （）
（2）2，2，3，4，5，6； （）
（3） 1，2，3，4，4，5； （）
2.
在根树中，若从Vi到Vj可达，则称Vi是Vj的____________，Vj是Vi的__________
3.
设A={a,b},B={1,2,3}，判断下列集合是否是A到B的函数。
F_1={〈a,1〉,〈b,2〉},
F_2={〈a,1〉,〈b,1〉}，
F_3={〈a,1〉,〈a,2〉},
F_4={〈a,3〉}
4.
用列元法表示下列集合A={x|x∈N且x^2≤9}，则可表示为（ ）。
5.
设X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4,5}，且有f={,,,}，则domf为（ ）、R_f为 和f（x）为（ ）。
6.
判断下列命题正确与否：
（1）正整数集N上的小于等于关系“≤”是良序关系。
（ ）
（2）In={1,2,…,n}上的小于等于关系“≤”是良序关系。
（ ）
（3）整数集Z和实数集R上的小于等于关系“≤”是良序关系。
（ ）
7.
在由n个元素组成的集合上，可以有（ ）种不同的二元关系若集合A,B的元数分别为|A|=m,|B|=n,试问从A到B有（ ）种不同的二元关系
8.
设R_1和R_2是集合A上的二元关系，试判断下列命题是否正确
（ ）（ ）（ ）
9.
设R_1和R_2是非空集合A上的等价关系，下列各式哪些是A上的等价关系哪些不是A上的等价关系举例说明：
⑴A×A-R_1；（ ） ⑵R_1-R_2；（ ）
⑶R_1^2； （ ） ⑷r（R_1-R_2）； （ ）
⑸R_1∙R_2 （ ）
10.
对下述论断判断正确与否，在相应括号中键入“Y”或“N”。
设A={2,3,6,12,24,36}，A上的整除关系是一偏序关系，用“≤”表示。
（a）该偏序关系的哈斯图是
（ ）
（b）“≤”=
{〈2,2〉,〈2,6〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈6,6〉,〈6,12〉,〈12,12〉,〈12,24〉,〈24,24〉,〈36,36〉} （ ）
二、计算题（本大题共40分，共4小题，每小题10分）1.
试将公式化成等价的前束范式：
∀xF（x）→∃xQ（x）；
2.
z）R（x，y，z））z）Q（x，z）∨（∀x）（（∀∀x）P（x）→（∃求等价于下面wff的前束合取范式与前束析取范式：
（
3.
试将公式P∧（P→Q）化为析取范式和合取范式：
4.
设f：
R→R，f（x）=x^2-2；g：
R→R，g（x）=x+4。
（1）求g°f，f°g
（2）问g°f和f°g是否为单射、满射、双射
（3）求出f、g、g°f和f°g中的可逆函数的逆函数。
三、简答题（本大题共20分，共4小题，每小题5分）1.
设G是有两个奇度点的连通图,设计一个构造G的欧拉道路的算法。
2.
设X={2,3,4,5}，求集合上的关系“<”、dom<及ran<。
3.
设A={1,2,3,4,5},R={<1,2>,<1,5>,<2,2>,<3,2>,<3,1>,<4,3>}，画出R的关系图。
4.
给定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定义两种关系：
R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}，S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>，求R°S和S°R的矩阵。
四、证明题（本大题共20分，共2小题，每小题10分）1.
证明:
∀x∀y（P（x）→Q（y））=∃xP（x）→∀yQ（y）
2.
设是一个代数系统，*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有
a*b=a+b+a∙b,试证明：
0是幺元且是独异点。
答案：
一、填空题（20分，共10题，每小题2分）1.参考答案：
（1）T
（2）F （3）F
解题方案：
评分标准：
2.参考答案：
祖先；后代
解题方案：
评分标准：
3.参考答案：
F_1,F_2是函数，F_3,F_4不是函数。
解题方案：
若不强调是A到B的函数，则F_4是函数，其定义域为{a}。
评分标准：
4.参考答案：
{1,2,3}
解题方案：
评分标准：
5.参考答案：
{a,b,c,d} {1,3,4} f（a）=1,f（b）=3,f（c）=4,f（d）=4
解题方案：
评分标准：
6.参考答案：
正确 正确 错误
解题方案：
整数集Z和实数集R上的小于等于关系“≤”不是良序关系（因为Z或R本身无最小元）。
评分标准：
7.参考答案：
2^（n^2） 2^（m×n）
解题方案：
评分标准：
8.参考答案：
（1）命题正确
（2）命题正确
（3）命题不正确
解题方案：
评分标准：
9.参考答案：
（1）不是
（2）不是（3）是（4）不是 （5） 是
解题方案：
评分标准：
10.参考答案：
Y N
解题方案：
评分标准：
二、计算题（40分，共4题，每小题10分）1.参考答案：
∀xF（x）→∃xQ（x）=¬∀xF（x）∨∃xQ（x）=∃x¬F（x）∨∃xQ（x）=∃x（¬F（x）∨Q（x））
解题方案：
评分标准：
2.参考答案：
∀z）R（x，y，z））∀z）Q（x，z）∨（∃x）（（∀x）P（x）→（（
∀∀∀
z）R（x，y，z））z）Q（x，z）∨（∀x）（（∀x）P（x）∨（∃┐（∀
∀u）R（x，y，u））∀z）Q（x，z）∨（x）（（x）┐P（x）∨（∃（∃
∀u）R（x，y，u））z）Q（x，z）∨（x）（┐P（x）∨（∀（∃
u）（┐P（x）∨Q（x，z）∨R（x，y，u））∀z）（∀∃x）（（前束合取范式
u）（（┐P（x）∧Q（x，z）∧R（x，y，u））∨（┐P（x）∧Q（x，z）∧┐R（x，y，u））∨（┐P（x）∧┐Q（x，z）∧R（x，y，u））∨（┐P（x）∧┐Q（x，z）∧┐R（x，y，u））∨（P（x）∧Q（x，z）∧R（x，y，u））∨（P（x）∧Q（x，z）∧┐R（x，y，u））∨（P（x）∧┐Q（x，z）∧R（x，y，u）））z）（∀∃x）（∀（前束析取范式
解题方案：
评分标准：
3.参考答案：
┐（P∨Q）↔（P∧Q）
=（﹁（P∨Q）→（P∧Q））∧（（P∧Q）→┐（P∨Q））（等值律）
=（（P∨Q）∨（P∧Q））∧（┐（P∧Q）∨┐（P∨Q）） （蕴涵律）
=（P∨Q）∧（┐P∨┐Q） （分配律）合取范式
=（┐P∨P）∨（┐P∨Q）∨（┐Q∧P）∨（┐Q∧Q） （分配律）析取范式
解题方案：
评分标准：
4.参考答案：
（1）f°g={〈x,x^2+8x+14〉|x∈R}
g°f={〈x,x^2 +2〉|x∈R}
（2）g°f和f°g均是非单非满函数。
（3）因为g是双射，所以可逆，其逆函数为：
g^（-1）（x）=x-4。
解题方案：
评分标准：
三、简答题（20分，共4题，每小题5分）1.参考答案：
step1:
添加连接两个奇度点的边
Step2:
调用一般的欧拉回路的算法
Step3:
在回路中删除添加的边
解题方案：
评分标准：
2.参考答案：
<={<2,3>,<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>}
dom≤{2,3,4}
ran≤{3,4,5}
解题方案：
评分标准：
3.参考答案：
解题方案：
评分标准：
4.参考答案：
图R°S的矩阵
图S°R的矩阵
解题方案：
因为关系可用图形表示，所以复合关系也可用图形表示。
评分标准：
四、证明题（20分，共2题，每小题10分）1.参考答案：
∀x∀y（P（x）→Q（y））=∀x∀y（¬P（x）∨Q（y））=∀x¬P（x）∨∀yQ（y）=¬∃xP（x）∀yQ（y）=∃xP（x）→∀yQ（y）
解题方案：
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2.参考答案：
对任意∀a∈R，有
0*a=0+a+0∙a=a
a*0=a+0+a∙0=a
故0是幺元。
对任意∀a,b∈R，有
a*b=a+b+a∙b∈R
所以*是封闭的。
对任意∀a,b,c∈R，有
（a*b）*c=（a+b+a∙b）+c+（a+b+a∙b）∙c=a+b+c+a∙b+a∙c+b∙c+a∙b∙c
a*（b*c）=a+（b+c+b∙c）+a∙（b+c+b∙c）=a+b+c+a∙b+a∙c+b∙c+a∙b∙c
所以（a*b）*c=a*（b*c）
故*是可结合的。
综上所述，是独异点。
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