天津市河北区高三数学二模文试题解析版.docx
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天津市河北区高三数学二模文试题解析版
2018年天津市河北区高三数学二模（文）试题（解析版）
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为R，集合
，则集合
等于（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析：
先求出
，再求
即可得到结论．
详解：
∵
，
∴
，
∴
．
故选B．
点睛：
本题考查集合的补集和交集运算，属于容易题，主要考查学生的运算能力和运用数形结合解题的能力．
2.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：
先由三视图得到几何体，并分析出几何体的特征，然后再求出其体积．
详解：
由三视图可得该几何体为三棱柱，且底面为边长是2的等边三角形，高为1，故其体积为
．
故选A．
点睛：
（1）在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．
（2）在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．
3.命题
的否定
为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：
根据含有量词的命题的否定求解即可．
详解：
由题意得，命题
的否定
为：
．
故选C．
点睛：
全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
4.从数字1，2，3，4，5中任取2个组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】可以构成的两位数的总数为20种,因为是“任取”两个数,所以每个数被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的两位数有以4开头的:
41,42,43,45共4种;以5开头的:
51,52,53,54共4种.所以所求概率为
.
本题选择B选项.
5.己知点A（-1，0）、B（1，0）分别为双曲线
的左、右顶点，点M在双曲线上，且△ABM是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线的方程为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：
由条件可得
，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中，
且
，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得
，故可得曲线方程．
详解：
由题意得
，故双曲线的方程为
．
设点M在双曲线的右支上且在第一象限，
则在等腰△ABM中，有
且
，
∴点M的横坐标为
，纵坐标为
，
∴点M的坐标为
．
又点
在双曲线上，
∴
，解得
，
∴双曲线的方程为
．
故选D．
点睛：
对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．
6.若函数
在
上单调递减，则
的取值不可能为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】试题分析：
∵函数
在
上单调递减，
．
在
上单调递减，
求得
，故选D．
考点：
正弦函数的单调性
【名师点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属中档题．解题时利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得
的减区间，结合条件可得，
，由此求得
的范围，从而得出结论．
7.若正数a，b满足
，则
的最小值为（）
A.1B.6C.9D.16
【答案】B
【解析】分析：
由
得
，由此可得
，
，将
代入所求值的式子中，利用基本不等式可求得最小值．
详解：
∵正数
满足
，
∴
，解得
．
同理
．
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立．
∴
的最小值为6．
故选B．
点睛：
利用基本不等式求最值的类型及方法
（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：
“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
8.已知函数
，若存在互不相等的实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m.则以下三个结论：
①m∈[l，2）；②a+b+c+d∈
，其中e为自然对数的底数；
③关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解。
正确结论的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
画出函数图像如图所示，显然当
时方程
存在互不相等实根，
，，
，则
（1）正确；
（2）当
时，
，即
；当
时，
，故
（2）正确；
（3）求函数
与
交点的个数，当
时，
yu
恰有四个不等实根．故（3）错误
故选C
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为_________.
【答案】19
【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，
∴样本组距为56÷4=14，
则5+14=19，
即样本中还有一个学生的编号为19.
10.执行如图所示的程序框图，则输出S的值是_________.
【答案】30
【解析】分析：
依次执行所给框图中的程序可得输出结果．
详解：
执行程序框图中的程序，可得：
①
，满足条件
，继续运行；
②
，满足条件
，继续运行；
③
，不满足条件
，停止运行．输出30．
点睛：
对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图想要实现的最终功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．
11.若复数
为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为_________.
【答案】1
【解析】分析：
将复数
化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出的值即可．
详解：
由题意得
，
∵复数
是纯虚数，
∴
且
，
解得
．
点睛：
本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．
12.若点
在以F为焦点的抛物线
上，则
等于_________.
【答案】4
【解析】分析：
由题意先求出点
的坐标，然后再根据抛物线的定义求解可得
．
详解：
∵点
在抛物线
上，
∴
，解得
，
∴点
的坐标为
．
又抛物线的准线方程为
，
∴
．
13.已知函数
，若
，则实数的取值范围是_________.
【答案】
或
【解析】分析：
先判断函数
为偶函数，结合函数的性质可将不等式变形为
，然后利用偶函数的性质解不等式即可．
详解：
由题意得函数
为偶函数，且当
时函数单调递减，当
时函数单调递增．
原不等式可化为
，
∴
，
两边平方整理得
，
解得
或
．
∴实数的取值范围是
．
点睛：
（1）偶函数具有性质
，利用此性质可将偶函数的问题转化到同一区间上去研究．
（2）解不等式时，可根据函数的单调性和对称性求解，根据不等式的大小关系将问题转化为变量到对称轴的距离的大小来处理．
14.在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD上一点，且满足
，则的值为_________.
【答案】
【解析】分析：
根据条件建立平面直角坐标系，得到相关点的坐标后根据向量的数量积的运算求解即可．
分析：
以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
由
可得
，
∴
．
又
，
∴
，
整理得
，
解得
或
（舍去）
∴
．
点睛：
求两个向量的数量积有三种方法：
利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．解题时可根据所给的条件选择适合的方法进行求解，已达到最佳的效果．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2C，2b=3c.
（I）求cosC的值
（II）求sin（2C+
）的值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】分析：
（Ⅰ）由2b=3c及正弦定理可得
，然后将B=2C代入后整理可得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，故得
，于是可求得
，最后根据两角和的正弦公式求解．
详解：
（Ⅰ）由2b=3c及正弦定理可得
，
又B=2C，
∴
．
∴
∵
，
∴
．
∴
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，
∴
，
∴
，
．
∴
．
点睛：
解三角形的问题和三角变换常常综合在一起考查，解题时要根据所给出的条件利用正弦定理、余弦定理将边角之间进行合理的转化，然后再根据题意进行求解，进行变换时要注意对所用公式的选择．
16.某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A产品x吨，B产品y吨.
（I）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；
（II）该公司每天需生产A，B产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨可获得最大利润，最大利润为14000元.
【解析】分析：
（Ⅰ）由题意得到变量x，y满足的条件即可得到所求，然后在坐标系内画出图形即可．（Ⅱ）由题意的利润z=300x+200y，然后据线性规划的有关知识解题可得所求．
详解：
（I）设该公司一天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则x，y满足条件的数学关系式为
．
画出该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如下图所示．
（II）设利润为z元，由题意得z=300x+200y，
可得
，
平移直线
，结合图形可得当直线
经过可行域上的点A时，截距
最大，此时z页最大．
解方程组
得
，即
．
∴
=300x+200y=14000．
答：
该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨时可获得最大利润，且最大利润为14000元．
点睛：
解线性规划应用题的步骤
（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题；
（3）作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
17.如图，在三棱柱
中，点P，G分别是
，
的中点，已知
⊥平面ABC，
=
=3，
=
=2.
（I）求异面直线
与AB所成角的余弦值；
（II）求证：
⊥平面
；
（III）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】分析：
（Ⅰ）由题意得
∥AB，故∠G
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