17.2勾股定理的逆定理(第一课时).ppt

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第十七章第十七章勾股定理勾股定理17.117.1勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理（第一课时）（第一课时）一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？

一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢？

还有没有其他还有没有其他的方法呢？

的方法呢？

有一个角是直角；有一个角是直角；有两个角的和是有两个角的和是9090.新课导入新课导入据说据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：

把一根长绳打上古埃及人曾用下面的方法画直角：

把一根长绳打上等距离的等距离的13个结，然后以个结，然后以3个结间距，个结间距，4个结间距、个结间距、5个结间距个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？

你认为结论正确吗？

（1）

（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）如果三角形的三边分别如果三角形的三边分别为为3，4，5，这些数满足，这些数满足关系：

关系：

32+42=52，围成的，围成的三角形是直角三角形三角形是直角三角形探究新知探究新知勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理下面的两组数分别是一个三角形的三边长下面的两组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：

2.52.5，66，6.56.5；66，88，1010。

画出图形画出图形,它们都是直角三角形吗？

它们都是直角三角形吗？

用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数想一想想一想想一想想一想这三组数都满足这三组数都满足a22+b22=c22吗？

吗？

画一画画一画画一画画一画量一量量一量量一量量一量如何证明这如何证明这样的结论呢？

样的结论呢？

命题命题22：

如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a22+b22=c22，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.已知已知:

在在ABCABC中，中，AB=AB=c，BC=BC=a，CA=CA=b且且a22+b22=c22求证求证:

ABC:

ABC是直角三角形是直角三角形.AABBCC证明思路：

证明思路：

先画一个先画一个RtARtABBCC,使使CC=90=90BBCC=a,C,CAA=babAABBCCBBCCAA证明证明:

画一个画一个AABBCC,使使CC=90=90,B,BCC=a,C,CAA=bAABB=c=c边长取正值边长取正值AABB22=c22a22+b22=c22CC=90=9000AABB22=a22+b22在在ABCABC和和AABBCC中中BC=BC=a=B=BCCCA=CA=b=C=CAAAB=AB=c=A=ABBABCAABCABBCC（SSSSSS）C=CC=C=9090则则ABCABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三角形的定义）勾股定理的逆定理：

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a22+b22=c22，那么这，那么这个三角形是直角三角形个三角形是直角三角形.直角三角形直角三角形的判定定理的判定定理探究新知探究新知逆命题、逆定理逆命题、逆定理命题命题22如果三角形的三边长如果三角形的三边长a,b,c满足满足a22+b22=c22,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.我们看到，命题我们看到，命题22与上节的命题与上节的命题11的题设、结论正好相反的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫如果把其中一个叫做做原命题原命题,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆命题逆命题.例如，如果把命题例如，如果把命题11当成原命题，那么命题当成原命题，那么命题22是命题是命题11的逆命题的逆命题.逆定理：

逆定理：

如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆题也可称为原定理的逆定理一个定理和它的逆定理是互逆定理定理是互逆定理.11如果两个命如果两个命题的的题设、结论正好相反，那么正好相反，那么这两个命两个命题称称为互逆命互逆命题，如果把其中一个叫做原命，如果把其中一个叫做原命题，那么，那么另一个叫做它的逆命另一个叫做它的逆命题（11）“题设、结论正好相反正好相反”是指：

第一个命是指：

第一个命题的的题设是第是第二个命二个命题的的结论；第一个命；第一个命题的的结论是第二个命是第二个命题的的题设（22）“互逆命互逆命题”是是说明两个命明两个命题之之间的关系，两个命的关系，两个命题的的地位可以互地位可以互换；两者可以确定其中任何一个；两者可以确定其中任何一个为原命原命题，另一个，另一个为逆命逆命题【知识简析知识简析】22如果一个定理的逆命如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也明是正确的，那么它也是一个定理，称其是一个定理，称其为原定理的逆定理，原定理的逆定理，这两个定理称两个定理称为互逆定理互逆定理每个命每个命题都有逆命都有逆命题；但每个定理不一定有逆定理；但每个定理不一定有逆定理；只有当定理的逆命只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称明是正确的，才能称这个逆个逆命命题为逆定理逆定理33注意注意：

判断一个命判断一个命题是真命是真命题需要需要证明；而判断一个明；而判断一个命命题是假命是假命题，只需，只需举一个反例即可一个反例即可例例1说出下列命题的逆命题说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题是真命题吗？

这些命题的逆命题是真命题吗？

（22）如果）如果a22=b22，那么，那么a=b；（33）等腰三角形的两底角相等）等腰三角形的两底角相等假命题假命题逆命题：

如果逆命题：

如果a=b，那么，那么a22=b22.真命题真命题逆命题：

有两个角相等的三角形是等腰三角形逆命题：

有两个角相等的三角形是等腰三角形.真命题真命题任何一个命题都有逆任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题逆命题不一定是真命题写出逆命写出逆命题的关的关键是分清楚原命是分清楚原命题的的题设和和结论，然后将它的然后将它的题设和和结论交交换位置就得到位置就得到这个命个命题的逆的逆命命题判断一个命判断一个命题是真命是真命题需要需要进行行逻辑推理，判推理，判断一个命断一个命题是假命是假命题只需要只需要举出一个反例就可以了出一个反例就可以了【点评点评】1.1.说出下列命出下列命题的逆命的逆命题.这些逆命些逆命题成立成立吗？

（11）两条直两条直线平行，内平行，内错角相等；角相等；（22）如果两个如果两个实数相等，那么它数相等，那么它们的的绝对值相等；相等；（33）全等三角形的全等三角形的对应角相等；角相等；（44）在角的内部，到角的两在角的内部，到角的两边距离相等的点在角距离相等的点在角的平分的平分线上上.练一练练一练2.2.下列下列说法正确的是法正确的是（）AA每个定理都有逆定理每个定理都有逆定理BB每个命每个命题都有逆命都有逆命题CC原命原命题是假命是假命题，则它的逆命它的逆命题也是假命也是假命题DD真命真命题的逆命的逆命题是真命是真命题例例11判断由线段判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直组成的三角形是不是直角三角形：

角三角形：

（11）a=15=15，b=17=17，c=8=8；（22）a=13=13，b=15=15，c=14=14；分析：

分析：

根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方于最大边长的平方探究新知探究新知勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用解：

（解：

（11）151522+8+822=289=289；171722=289=289151522+8+822=17=1722，这个三角形是直角三角形，这个三角形是直角三角形.例例22如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，EE是是BCBC的中点，的中点，FF是是CDCD上一点，且上一点，且CF=CD,CF=CD,求证：

求证：

AEF=90AEF=90.AABBCCDDEEFF证明：

设正方形证明：

设正方形ABCDABCD的边长为的边长为a，则则BE=CE=BE=CE=a，CF=CF=a,DF=,DF=a，在在RtABERtABE中，中，AEAE22=AB=AB22+BE+BE22,在在RtADFRtADF中，中，AFAF22=AD=AD22+DF+DF22,在在RtCEFRtCEF中，中，EFEF22=CE=CE22+CF+CF22,AEAE22=a22+a22=a22AFAF22=AE=AE22+EF+EF22,AEF=90AEF=90.AFAF22=a22+a22=a22EFEF22=a22+a22=a22例例33如图，已知点如图，已知点AA（-1,0-1,0）和点）和点BB（1,21,2），在坐标），在坐标轴上确定点轴上确定点PP，使得，使得ABPABP为直角三角形，则满为直角三角形，则满足这样条件的点足这样条件的点PP共有（）共有（）A.2A.2个个B.4B.4个个C.6C.6个个D.7D.7个个（33）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，有关，一般通一般通过计算得出三算得出三边的数量关系的数量关系（即即a22b22c22）来判来判断，看是否符合断，看是否符合较短两短两边的平方和等于最的平方和等于最长边的平方的平方【点评点评】判断一个三角形是不是直角三角形有判断一个三角形是不是直角三角形有三三种方法：

种方法：

（11）利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角）利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；形的内角和定理判断；（22）利用定理：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，）利用定理：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；那么这个三角形是直角三角形；1如果三条如果三条线段段长a，b，c满足足a2=c2b2，这三三条条线段段组成的三角形是不是直角三角形？

成的三角形是不是直角三角形？

为什么？

什么？

练一练练一练2.（2.（20162016南京南京）下列下列长度的三条度的三条线段能段能组成成钝角三角形角三角形的是的是（）AA33，44，4B4B33，44，55CC33，44，6D6D33，44，77在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可3.3.在在ABCABC中，中，AA，BB，CC的的对边分分别为a，b，c，且且（ab）（）（ab）c22，则（）AAAA为直角直角BBBB为直角直角CCCC为直角直角DDABCABC不是直角三角形不是直角三角形【点评点评】例例44“远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开港口，各自号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，沿一固定方向航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行1616海里，海里，“海天海天”号每小时航行号每小时航行1212海里。

它们离开港口海里。

它们离开港口一