集合与关系.docx
《集合与关系.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《集合与关系.docx(32页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
集合与关系
第三章集合与关系
3.1第2题
(2)(3)(5),
第3题
(2)(4),(广义并,广义交)第4题
(1)(4)(5),第5题
(1)
(2)(3),
第8题
(2)(4),
3.2第11题,第12题
3.3第19题,第20题,第23题,
第26题,第27题,第31题
(2)(5)
3.4
第33
题,第37
题,
3.5
第47
题,第49
题
(2)
3.6
第53
题,第54
题,第57题
3-1
2.设有集合A={x|x是小于等于6的质数}B={x|4≤x≤12,x是偶整数
C={x|x=1,4,5,7,8},并设全集为A∪B∪C。
求下列集合表达式的结果。
}
解:
根据题目所给的集合,先求得集合
A={2,3,5},B={4,6,8,10,12},C={1,4,5,7,8}
(2)(B∩C)–(A∪B)
=({4,6,8,10,12}∩{1,4,5,7,8})–({2,3,5}∪{4,6,8,10,12})
={4,8}-{2,3,4,5,6,8,10,12}
=
(3)(A⊕B)–(A⊕C)
=({2,3,5}⊕{4,6,8,10,12})–({2,3,5}⊕{1,4,5,7,8})
={2,3,4,5,6,8,10,12}-{1,2,3,4,7,8}={5,6,10,12}
(5)A∪~(C∩B)
={2,3,5}
∪~({1,4,5,7,8}∩{4,6,8,10,12})
={2,3,5}
∪~{4,8}
={1,2,3,5,6,7,10,12}
3.设A={{1,2},{1},{1,0}},B={{1,3},{2,3},{1,0}},计算下列并集和交集。
(2)∩∪A
(4)∩∪B
解:
(2)
∩∪A
=∩{0,1,2}
=
(4)
∩∪B
=∩{}
=
4.求下列集合的幂集,并用下标子集表示。
(1)
(4)2
(5){x,y,z}
解:
(1)设A=,A的幂集为{},ρ(A)的下标子集表示为{A0}。
(4)设A=2,A是空集的幂集{},A的幂集ρ(A)为{,{}},
ρ(A)的下标子集表示为{A0,A1}。
(5)设A={x,y,z},A的幂集ρ(A)为{,{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{x,y,z}},
ρ(A)的下标子集表示为{A0,A4,A2,A1,A6,A5,A3,A7}。
5.设集合A有5个元素,根据子集的下标,写出子集的列举表示。
(1)A12
(2)A23
(3)A0
解:
设A={a,b,c,d,e},则
A12=A01100={b,c}
A23=A10111={a,c,d,e}
A0=A00000=
8.设A,B,C都是集合,证明下列命题。
(2)如果对一切集合A都有A∪B=A,那么必有B=
(3)如果AB那么ρ(A)Aρ(B)
(4)ρ(A)∩ρ(B)=ρ(A∩B)
证明:
(2)反证法:
∵已知BA∪B,A∪B=A∴BA对一切集合A成立,假定B不等于,
那么必有B的非空真子集C,CBA,由于C是集合,满足
C∪B=C(替换已知条件中的A),由定理六可得BC,此与CB矛盾。
由反证法可得B=。
直接证法:
构造式子(A∪B)∩(~A∪B)由已知A∪B=A可得:
=A∩~A
=
而(A∪B)∩(~A∪B)=(A∩~A)∪B,由已知条件得
=B
所以:
(A∪B)∩(~A∪B)=(A∩~A)∪B=B=
(3)任取αρ(A),得αA,
由于AB,则αAB,由包含关系的传递性知α是B的子集,可得αρ(B),
故ρ(A)ρ(B)。
(4)一方面,由(3)的结果可得:
如果A∩BA和A∩BB
那么有ρ(A∩B)ρ(A)和ρ(A∩B)ρ(B)
(由AB,CD可得A∩CB∩D)
于是得ρ(A∩B)ρ(A)∩ρ(B)
另一方面,任取αρ(A)∩ρ(B),得αρ(A)且αρ(B),
即αA且αB,于是得αA∩B,αρ(A∩B),故得
ρ(A)∩ρ(B)ρ(A∩B)
综合此两方面
∴ρ(A)∩ρ(B)=ρ(A∩B)
3-2
11.200名学生中有120人选网络课程,130名选人工智能课程,110人选多媒体制作
课程。
已知同时选网络课程和人工智能课程的有80人,同时选媒体制作课程与网络课的有
90人,同时选人工智能和多媒体制作的人有70人,同时选三门课的学生有60人。
是否能
算出一门课都没有选的人数?
解:
根据包含排斥原理,
设选网络课程的同学组成A集合,|A|=120
设选人工智能课程的同学组成B集合,|B|=130
设选多媒体制作课程的同学组成C集合,|C|=110
设没选任何课程的同学组成D集合,|D|=y
|A∩B|=80
|C∩B|=70
|A∩C|=90
|A∩B∩C|=60
如果200人中有y个人没选课
200=120+130+110-80-70-90+60+y
y=20
12.证明:
任意n个连续的整数中,必存在一个整数能被n整除。
证明:
反证法:
设a1,a2,,an是任意n个连续的整数,每个数被n整除的余数只能是
0,1,2,,n-1中之一。
如果这n个数中不存在任何数被n整除,那么余数的选择
范围就在1,2,,n-1之中。
根据鸽巢原理则必有两个数被n除时余数相同,不妨设
为ai,aj,1≤ian,
此与aj≤an矛盾,
所以必存在一个整数能被n整除。
3-3
19.设A={0,1},
求A×A,A3。
A×A={<0,0>
,<0,1>
,<1,0>
,<1,1>},
A3={<0,0,0>
,<0,0,1>
,<0,1,0>
,<0,1,1>
,<1,0,0>
,<1,0,1>
,<1,1,0>
,
<1,1,1>}
20.设有A={0,1,2},构造一个所有两位三进制码的集合。
解:
根据
A×A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1><2,2>}
构造所有两位三进制码的集合为{00,01,02,10,11,12,20,21,22}
23.设集合A={0,1,,9},A上的二元关系R={x,y|x,yA,x=y+2n,nI}
写出关系R的关系集合,关系矩阵,画出R的关系图
关系矩阵MR=
关系图GR
24.设
A={a,b},R={x,y|x,y
ρ(A),x
y}写出关系
R的关系集合,关系矩阵,画
出R的关系图。
25.设A={1,2,,26},B={a,h,j,p,t},R={
x,y
|x
A,y
B,x是
y在
字母表中的次序
}
写出关系
R的关系集合,关系矩阵,画出
R的关系图。
求出
dom(R),ran(R),fld(R)。
解:
R={<1,a>,<8,h>,<10,6>,<16,p,>,<20,t>}
dom(R)={1,8,10,16,20},ran(R)=B,fld(R)={1,8,10,16,20,a,h,j,p,t}。
矩阵是26行5列阵
图是从A到B的对射图。
略
26.
解:
集合A={0,1,,6},A上的二元关系R={x,y|x,y
写出关系R的关系集合,关系矩阵,画出R的关系图。
根据R的入集条件,写出关系R如下:
R={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3,>,<3,6>,<5,5>}
A,x
是y
的质因子
}
27.对习题23,24,25,26所述的关系R讨论其关系性质。
解:
23题是等价关系,R具有自反性,对称性,传递性。
24题诗篇序关系,R具有自反性,反对称性,传递性。
25题的R关系是A到B的关系,且A与B不相等,所以不能讨论R的关系性质。
26题从关系集合可以看出,R不是自反的,不是反自反的,不是对称的,是反对称的,是传递的,不是反传递的。
31.设A是给定的集合,R是A上的二元关系,证明以下命题。
(2)如果R既是对称的又是反对称的,那么
R是恒等关系IA的子集。
(5)如果R满足对传递性,那么
R1是传递的。
证明:
(2)已知R既是对称的又是反对称的,那么
由对称性知
对任取a,b
R必有b,a
R,由反对称性知a=b,
即任取a,b
R必得a=b,
所以RIA。
(5)已知R具有传递性,即对任意取的
a,b
R,b,c
R,有
a,c
R。
根据逆关系的定义,可以得到
对任意取的a,b
R-1,b,c
R-1,有b,a
R,c,b
R,,
由R是传递的可得任取
c,aR,于是得到
a,c
R-1
可见R-1
具有传递性。
3-4
33.设
A={1,2,3},B={a,b,c,d}
,C={4,5,6},
对下列关系,求复合关系
R?
S的关系集合与
关系矩阵。
(1)R={
(2)R={
1,b
1,a
2,d,2,d
3,c,3,c
};
2,bS={
};
a,4
S={b,5,d,4
a,4,c,6
d,6,b,5
}
}
(3)R={<1,c>,<2,b>,<3,c>,<2,d>,<1,a>};
S={,,,}
解:
(1)R?
S={<1,5>,<2,6>,<2,5>}
(2)R?
S={<1,4>,<2,4>,<3,6>}
(3)R?
S={<1,6>,<2,6>,<3,6>,<2,5>,<1,4>}
37.设A是给定的集合,R,S,T是A上的二元关系,举出反例说明以下事实。
(1)如果R?
SIA,那么,未必有S=R-1。
(2)
如果R,S都是对称的,那么
R?
S未必是对称的。
(3)
如果R,S都是反对称的,那么
R?
S未必是反对称的。
(4)
如果R,S都是传递的,那么
R?
S未必是传递的。
(5)如果R?
S=R那么S未必是恒等关系。
(6)如果R?
R=R,那么R未必是自反的。
解:
设A={a,b,c}
(1)R={};S={},R?
S={}
R?
SIA但S≠R-1
(2)R={};S={},R,S都对称,
R?
S={}
R?
S不是对称的。
(3)R={};S={,}
R,S都反对称,
R?
S={,,},R?
S不是反对称的。
(4)R={};S={,},R,S都传递,
R?
S={,<.b,a>,}R?
S不传递
(5)
R={};S={},
R?
S=R,但S不是恒等关系。
(6)
R={},R?
R=R,
但S不是自反的。
3-5
47.举出反例说明下列事实。
(1)
如果R,S是集合A上的等价关系,那么
R?
S未必是等价关系。
(2)
如果R,S是集合A上的等价关系,那么
R∪S未必是等价关系。
(3)
如果R,S是集合A上的相容关系,那么
R?
S未必是相容关系。
(4)
如果R,S是集合A上的相容关系,那么
R-S未必是相容关系。
解:
设集合A={1,2,3}
(1)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,};S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}
R?
S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>},不对称,不是等价关系。
(2)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>};
S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}
R∪S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}不传递,不是等价关系。
(3)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>};S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}
R?
S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>}不对称,不是相容关系。
(4)R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>};S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>}
R-S={<1,2>,<2,1>}不自反,不是相容关系。
49.设有集合A={1,2,3,4},对以下完全覆盖给出其对应的相容关系图。
(2)B={{1,2,4},{3,2,4}}
解:
根据三结点的完全多边形图可以划出对应相容关系的简图:
3-6
53.设有一个偏序集合的HASS图如下图所示,对给出的子集填写表格。
集合
最大元
最小元
极大元
极小元
上界
上确界
下界
下确界
{e,d}
无
无
e,d
e,d
h,f
f
b
b
{d,f,h}
h
d
h
d
h
h
b,c,d
d
{e,f,g}
{a,b,c}
无
无
无
无
f,g
a,b,c
e
a,b,c
h
f,h
h
f
b
无
b
无
54.根据下列偏序关系图,画出其HASS图。
解:
根据(a),(b),(c),(d)图中的盖住关系。
分别划出对应的HASSE图如下:
57.设A={0,1,···8},D={[x]a|x,y
A,y
[x]a,x≡y(moda),a是9的整因子}∪{
},
其中[x]a是模a同余的等价类。
画出
D,
的HASS图。
解:
先把关系D中的元素搞清楚,再根据包含关系划出
HASSE图。
9的因子有1,3,
9,D集合中有三个等价类和一个空集。
D={[x]1,[x]3
,[x]9,},其中是空集。
[x]1=A
[x]3={3,6}
[x]9={0}
根据包含关系,科的
hasse图如下:
58.证明:
良序关系一定是全序关系。
证:
设A,≤为任意给定的良序集,任取
x,yA,x≠y,{x,y}
是
A的子集。
由良序
集的定义,知必有x≤y或y≤x之一成立,故良序关系一定是全序关系。
59.证明:
设有良序集
A,≤
,对任意的
SA,S是非空子集,则
S,≤仍是良序
集合。
证:
取S的任意子集C,CS,CSA。
由A的任一子集总是存在最小元素,所
以C作为A和S的任意子集也存在最小元,根据良序集的定义知S,≤仍是良序集
合。