整理等差数列等比数列相关性质和公式及数列求和方法.docx

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整理等差数列等比数列相关性质和公式及数列求和方法

等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法

第一节：

等差数列的公式和有关性质

1、等差数列的定义：

对于一个数列，假如它的后一项减去前一

项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：

anan1d（d

为公差）（n2，nN*）注：

下边全部波及n，nN*省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：

ana1（n1）d，a1为首项，d为公差

推行公式：

anam（nm）d

变形推行：

d

anam

nm

3、等差中项

（1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：

A

ab或2Aa

b

2

（2）等差中项：

数列an

是等差数列

2anan-1

an1（n2）

2an1

an

an2

4、等差数列的前n项和公式：

n（a1

an）

na1

n（n1）

d

Sn

2

2

dn2

（a1

1d）nAn2

Bn

2

2

（此中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是对于n的二次式且常数

项为0）

特别地，当项数为奇数

2n

1时，an

1是项数为2n+1的等差数列的

中间项

2n1

a1a2n1

2n

1an1（项数为奇数的等差数列的各项

S2n1

2

和等于数乘以中）

5、等差数列的判断方法

（1）定法：

若anan

1d或an1

an

d（常数nN）

an是

等差数列．

（2）等差中：

数列an是等差数列

2anan-1

an1（n2）

2an1

anan2

（3）数列an是等差数列

（4）数列an是等差数列

6、等差数列的明方法

anknb（此中k,b是常数）。

SnAn2Bn,（此中A、B是常数）。

定法：

若anan1d或an1and（常数nN）

an是等差

数列．

7、等差数列有关技巧：

（1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到5个元素：

a1、

d、n、an及Sn，此中a1、d称作基本元素。

只需已知

5个元素中

的随意3个，即可求出其他

2个，即知3求2。

（2）技巧：

①一般可通ana1

（n1）d

②奇数个数成等差，可⋯，

d）；③偶数个数成等差，可⋯，

a2d,ad,a,ad,a2d⋯（公差

a3d,ad,ad,a3d,⋯（注意；

公差2d）

8、等差数列的性：

（1）当公差d

0

，等差数列的通公式ana1（n1）ddna1d

是关于n的一次函数，且斜率公差d；前n和

Snna1n（n1）

d

dn2

（a1

d）n是对于n的二次函数且常数

2

2

2

0。

（2）若公差d0，增等差数列，若公差d0，减等差数列，若公差d0，常数列。

（3）当mnpq,有amanapaq，特地，当mn2p

，有aman2ap。

（注：

a1ana2an1a3an2，）自然充

到3、4⋯⋯都是能够的，但要保等号两数同样，下系数之和相等。

（4）an、bn等差数列，anb，1an2bn都等差数列

（5）若{an}是等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n，⋯也成等差数

列

（6）

数列{an}等差数列,每隔k（k

N*）取出一

（am,amk,am2k,am3k,）仍等差数列

（7）an、{bn}的前n和分An、Bn，an

A2n1

bn

B2n1

（8）等差数列{an}的前n和Sm

n，前m和Sn

m，前m+n

和Smn

mn，自然也有anm,am

n，amn

0

（9）求Sn的最

法一：

因等差数列前n和是对于

n的二次函数，故可化求

二次函数的最，但要注意数列的特别性

nN*。

法二：

（1）“首正”的减等差数列中，前n和的最大是全部

非之和

即当a1

0，d0，由an

0

可得Sn达到最大的n．

an1

0

（2）“首”的增等差数列中，前n和的最小是全部

非正之和。

即当a1

0，d0，由an

0

可得Sn达到最小的n．

an

1

0

或求an

中正分界

法三：

直接利用二次函数的称性：

因为等差数列前n和的像

是原点的二次函数，故n取离二次函数称近来的整数，Sn取最大（或最小）。

若Sp=Sq其称npq

2

注意：

SnSn1an（n2），对于任何数列都合用，但求通项时记着议论当n1的状况。

解决等差数列问题时，往常考虑两类方法：

①基本量法：

即运用条件转变为对于a1和d的方程；

②奇妙运用等差数列的性质，一般地运用性质能够化繁为简，减少运算量。

（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）

第二节：

等比数列的有关公式和性质

1、等比数列的定义：

2、通项公式：

an

qq0n2

，q为公比

an1

an

a1qn

1，a1为首项，

q为公比

推行公式：

an

nm

，进而得q

nm

an

amq

am

3、等比中项

（1）假如a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：

A2

ab或Aab

注意：

同号的两个数才有等比中项，而且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列an是等比数列an2an1an1

4、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q1时，Snna1

（2）当q

a1

1

qn

a

aq

1时，Sn

1

n

1

q

1

q

a1

a1

qn

AABn

A'Bn

A（'

A,B,A',B'为常数）

1

q

1q

5、等比数列的判断方法

（1）用定：

随意的

n,都有

an1

qan或

an1an

q（q为常数，

an

0）

{an}

等比数列

（2）等比中：

an

2

an1an1（an1an1

0）

{an}等比数列

（3）通公式：

an

ABn

AB

0

{an}

等比数列

（4）前n和公式：

SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}等比数列

6、

等比数列的明方法

依照定：

若

an

an1

qq

0n

2,且n

N*

或an1

qan

{an}

等比数列

7、等比数列有关技巧：

（1）等比数列的通公式及前n和公式中，波及到5个元素：

a1、

q、n、an及Sn，此中a1、q称作基本元素。

只需已知

5个元素中

的随意3个，即可求出其他2个，即知3求2。

（2）减少运算量，要注意的技巧，一般可通：

a

aqn1

n

1

如奇数个数成等比，可⋯，

a

a

2

⋯（公比q，中

q

2,

q

a,aq,aq

用a表示）；注意含条件公比q的正

8、等比数列的性：

（1）当q1

①等比数列通公式ana1qn1

a1qn

ABnAB0是对于n的有系

q

数的指数函数，底数公比

q

②前n项和

Sn

a11qn

aaqn

a

a

1q

n

AAB

n

A'B

n

A'，系

1q

1

1

1

1

1

1

q

q

q

数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

q

（2）对任何m,n

N*,在等比数列{an}中,有an

amqnm,特其他,当m=1时,

便获得等比数列的通项公式。

所以

此公式比等比数列的通项公式更

拥有一般性。

（3）若m

n

s

t（m,n,s,t

N*）,则an

am

asat。

特其他,当m

n

2k

时,

得anam

ak

2

注：

a1an

a2an1a3an2

（4）列{an},{bn}为等比数列,则数列{

k

{k

k

},{kanbn}{

an

}

（k

为

}

an},{an

bn

an

非零常数）均为等比数列。

（5）

数列{an}为等比数列,每隔k（k

N*）项取出一项

（am,amk,am2k,am3k,）仍为等比数列

（6）

假如{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列

（7）

若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3n

S2n,

，成等比数列

（8）

若{an}为等比数列,则数列a1a2

an,an1

an2a2n,

a2n1

a2n2

a3n成等比数列

（9）

①当q

1时，

②当0

1时，

a10，则{an}为递加数列

a1

0

，则{an}为递减数列

{a10，则{an}为递减数列,

{a1

0

，则{an}为递加数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）

;

④当q<0时,该数列为摇动数列。

（10）在等比数列{an}中,当项数为2n（n

N*）时,S奇

1,。

S偶

q

（11）若{an}是公比为q的等比数列,则Snm

SnqnSm

注意：

在含有参数的数列时，假如等比数列，必定要考虑到公比q1的特别状况。

解决等比数列问题时，往常考虑两类方法：

①基本量法：

即运用条件转变为对于a1和q的方程；

②奇妙运用等比数列的性质，一般地运用性质能够化繁为简，减少运算量。

对于等差、等比两个引申：

an

kan1b模式（此中k,b为常数，

n

2）；an

pan

1pn模式（此中p为常数，n

2）

在这里我们以详细的例子给出，使其更简单理解：

例1

已知数列

an

，有an

3an1

4（n

2），则求该数列的通项公式

解题大概思路：

先设an

b

3（an1

b），则对于an

3an14

an

2

3（an12），

那么我们就能够结构数列

an

2为等比数列，利用等比的有关性质去解决，

注意：

结构新

数列的首项和公比分别是多少？

还有你考虑到当

n

1的这类状况了吗？

例2

已知数列

bn

，有bn

2bn1

2n（n

2），求该数列的通项公式

解题的大概思路：

bn

2bn1

n

2）

bn

2bn1

1

bn

bn1

1，相信你已

2（n

2

n

n

2

n

2

n

1

2

经知道结构什么数列了吧，

这两个模式考试中喜爱考，

也比较基础，自然也希望经过这两个

模式能让你意识到求数列中的

结构思想。

第三节：

数列的乞降方法（引用他人的，略加改良）

一、教课目的：

1、娴熟掌握等差数列与等比数列的乞降公式；

2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行乞降运

算；

3、熟记一些常用的数列的和的公式．

二、教课要点：

特别数列乞降的方法．

三、教课过程：

（一）主要知：

1、直接法：

即直接用等差、等比数列的乞降公式乞降。

（1）等差数列的乞降公式：

Sn

n（a1

an）

na1

n（n

1）d

2

2

na1（q1）

（2）等比数列的乞降公式

Sn

a1（1

qn）

1）

（切：

公比含参数必定要）

1

q

（q

n

2

2

2

2

2n（n1）（2n

1）

2、公式法：

k

1

2

3

n

k1

6

（明利用立方差公式，

（n1）3n3

3n2

3n

1，将n用1,2,3

n替代，位相消即可整体得出）

n

k3

13

23

33

n3

n（n

1）

2

k1

2

（明利用

4方差，原理同上）

3、位相减法：

比方an

等差,bn

等比,求a1b1

a2b2

anbn的和.

4、裂相消法：

把数列的通拆成两之差、正相消剩下首尾若干。

1

1

1

1

1

1

1

常拆

公

式：

n（n

1）

n

n

1

；

n（n

（

n

）

2）2

n2

1

1）

1（

1

1

1

）

nn!

（n1）!

n!

（2n1）（2n

2

2n

2n

1

5、分乞降法

：

把数列的每一分红若干，使其化等差或等比数列，再乞降。

6、归并乞降法

：

如求1002

992

982

972

22

12的和。

7、倒序相加法

：

如求sin21

sin22

sin23

sin289的和。

8、其他乞降法：

如猜想法，奇偶法等等

（二）主要方法：

1、求数列的和注意方法的取：

关是看数列的通公式；

2、乞降程中注意分思想的运用；

3、化思想的运用；

（三）例剖析：

例1．乞降：

①Sn

1

11111

11

1

n个

②S

（x

1）2

（x2

1）2

（xn1）2

n

x

x2

xn

③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，⋯前n和Sn

思路剖析：

通分，直接用公式乞降。

解：

①ak

11

1

1

10

102

10k

1（10k

1）

k个

9

S

1[（101）

（102

1）

（10n

1）]

1[（10

102

10n）

n]

n

9

9

1[10（10n

1）

n]

10n

1

9n

10

9

9

81

②Sn

（x2

1

2）（x4

1

2）

（x2n

1

2）

x2

x4

x2n

（x2

x4

x2n）（1

1

1

）2n

x2

x4

x2n

（1）当x

1，Sn

x2（x2n

1）

x2（x

2n

1）

2n

（x2n

1）（x

2n2

1）

x2

1

x2

1

x2n（x2

1）

2n

（2）当x

时

S

n

1

n

4

③

ak

（2k

1）

2k

（2k

1）

[（2k

1）

（k

1）]

k[（2k1）

（3k2）]5k2

3k

2

2

2

Sn

a1

a2

an

5（12

22

n2）

3（12

n）

5n（n1）（2n1）3n（n1）

2