整理等差数列等比数列相关性质和公式及数列求和方法.docx

1、整理等差数列等比数列相关性质和公式及数列求和方法等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记： an an 1 d （d为公差）（ n 2 ， n N * ）注：下边全部波及 n ， n N * 省略，你懂的。2、等差数列通项公式：an a1 ( n 1)d ， a1 为首项， d 为公差推行公式：an am (n m) d变形推行：dan amn m3、等差中项（ 1）假如 a ，A ，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：Aa b 或 2 A a

2、b2（ 2）等差中项：数列 an是等差数列2anan -1an 1 (n 2)2an 1anan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1an )na1n(n 1)dSn22d n2(a11 d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d0时， Sn是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，an1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1 a2n 12n1 an 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于 数乘以中 ）5、等差数列的判断方法（ 1）定 法：若 an an1 d 或 an 1and ( 常数 n N )an 是等差数列（ 2

3、）等差中 ：数列 an 是等差数列2anan-1an 1 (n 2)2an 1anan 2（3）数列 an 是等差数列（4）数列 an 是等差数列6、等差数列的 明方法an kn b （此中 k,b 是常数）。Sn An2 Bn , （此中 A、B是常数）。定 法：若 an an 1 d 或 an 1 an d ( 常数 n N )an 是等差数列7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通 公式及前 n 和公式中，波及到 5 个元素： a1 、d 、 n 、 an 及 Sn ，此中 a1 、d 称作 基本元素。只需已知 5 个元素中的随意 3 个，即可求出其他2 个，即知 3 求 2。（ 2）

4、 技巧：一般可 通 an a1(n 1)d奇数个数成等差，可 ，d ）；偶数个数成等差，可 ，a 2d , a d , a, a d , a 2d （公差a 3d ,a d , a d , a 3d , （注意；公差 2 d ）8、等差数列的性 ：（1）当公差 d0 ，等差数列的通 公式 an a1 (n 1)d dn a1 d是 关 于 n 的 一 次 函 数 ， 且 斜 率公 差 d ； 前 n 和Sn na1 n(n 1)dd n2(a1d )n 是对于 n 的二次函数且常数 2220。（2）若公差 d 0 ， 增等差数列，若公差 d 0 ， 减等差数列，若公差 d 0 ， 常数列。（

5、3）当 m n p q , 有 am an a p aq ，特 地，当 m n 2 p ， 有 am an 2ap 。（注： a1 an a2 an 1 a3 an 2 ，）自然 充到3 、4 都是能够的，但要保 等号两 数同样，下 系数之和相等。（4） an 、 bn 等差数列， an b ， 1an 2bn 都 等差数列(5) 若 an 是等差数列， Sn , S2n Sn , S3n S2n ，也成等差数列(6)数 列 an等 差 数 列 , 每 隔 k(kN * )取 出 一( am , am k , am 2 k , am 3 k , )仍 等差数列（7） an 、 bn 的前 n

6、和分 An 、 Bn ， anA2 n 1bnB2 n 1（8）等差数列 an 的前 n 和 Smn ，前 m 和 Snm ， 前 m+n 和 Sm nm n ，自然也有 an m, amn ， am n0(9)求 Sn 的最 法一：因等差数列前 n 和是对于n 的二次函数，故可 化 求二次函数的最 ，但要注意数列的特别性n N * 。法二：（1）“首正” 的 减等差数列中，前 n 和的最大 是全部非 之和即当 a10，d 0， 由 an0可得 Sn 达到最大 的 n an 10（2） “首 ”的 增等差数列中，前 n 和的最小 是全部非正 之和。即 当 a10， d 0， 由 an0可得 S

7、n 达到最小 的 n an10或求 an中正 分界 法三：直接利用二次函数的 称性：因为等差数列前 n 和的 像是 原点的二次函数， 故n取离二次函数 称 近来的整数 ， Sn 取最大 （或最小 ） 。若 Sp = S q 其 称 n p q2注意： Sn Sn 1 an (n 2) ，对于任何数列都合用， 但求通项时记着议论当 n 1的状况。解决等差数列问题时，往常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转变为对于 a1 和 d 的方程；奇妙运用等差数列的性质， 一般地运用性质能够化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明， 不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的有关公式

8、和性质1、等比数列的定义：2、通项公式：anq q 0 n 2， q 为公比an 1ana1qn1 ， a1 为首项，q 为公比推行公式： ann m， 进而得 qn manamqam3、等比中项（ 1）假如 a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：A2ab 或 Aab注意： 同号的两个数才有等比中项，而且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（ 2）数列 an 是等比数列 an 2 an 1 an 14、等比数列的前 n 项和 Sn 公式：(1)当 q 1 时， Sn na1(2) 当 qa11qnaa q1 时， Sn1n1q1qa1a1qnA A B

9、nA BnA（A, B, A , B 为常数）1q1 q5、等比数列的判断方法（1）用定 ： 随意的n,都有an 1qan或an 1 anq( q为常数，an0) an 等比数列（2） 等比中 ：an2an 1an 1 （ an 1 an 10） an 等比数列（3） 通 公式：anA BnA B0 an 等比数列（4） 前 n 和公式：Sn A A Bn或Sn A Bn A A, B, A , B 为常数 an 等比数列6、等比数列的 明方法依照定 ：若anan 1q q0 n2, 且 nN *或 an 1qan an 等比数列7、等比数列有关技巧：（ 1）等比数列的通 公式及前 n 和公式

10、中，波及到 5 个元素： a1 、q 、 n 、an 及 Sn ，此中 a1 、 q 称作 基本元素。只需已知 5 个元素中的随意 3 个，即可求出其他 2 个，即知 3 求 2。（ 2） 减少运算量，要注意 的技巧，一般可 通 ：aa qn 1n1如奇数个数成等比，可 ，aa2（公比 q ，中 q2 ,q, a, aq, aq用 a 表示）；注意 含条件公比 q 的正 8、等比数列的性 ：(1) 当 q 1等比数列通 公式 an a1qn 1a1 qnA B n A B 0 是对于 n 的 有系q数的 指数函数，底数 公比q前 n 项和Sna1 1 qna a qnaa1 qnA A BnA

11、 BnA ，系1 q111111qqq数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,nN * ,在等比数列 an 中,有 anamqn m ,特其他 ,当 m=1 时,便获得等比数列的通项公式。所以,此公式比等比数列的通项公式更拥有一般性。(3) 若 mnst ( m, n, s,tN * ),则 anamas at 。特其他 ,当 mn2k时,得 an amak2注： a1 ana2 an 1a3an 2(4) 列 an , bn 为等比数列 ,则数列 k, kk , k an bn an(k为an , anbnan非零常数 ) 均为等比数列。(5)数 列 an 为 等

12、 比 数 列 , 每 隔 k(kN * ) 项 取 出 一 项( am , am k , am 2 k , am 3 k , )仍为等比数列(6)假如 an 是各项均为正数的等比数列 ,则数列 log a an 是等差数列(7)若 an 为等比数列 ,则数列 Sn ， S2 n Sn ， S3 nS2 n ,，成等比数列(8)若 an 为 等 比 数 列 , 则 数 列 a1 a2an , an 1an 2a2 n ,a2 n 1a2 n 2a3n 成等比数列(9)当 q1 时，当 0q1时，a1 0，则 an 为递加数列a10，则 an 为递减数列 a1 0，则 an 为递减数列 , a10

13、，则 an 为递加数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摇动数列。(10)在等比数列 an 中, 当项数为 2n (nN * )时, S奇1 ,。S偶q(11)若 an 是公比为 q 的等比数列 ,则 Sn mSn qn Sm注意：在含有参数的数列时，假如等比数列，必定要考虑到公比 q 1 的特别状况。解决等比数列问题时，往常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转变为对于 a1 和 q 的方程；奇妙运用等比数列的性质， 一般地运用性质能够化繁为简，减少运算量。对于等差、等比两个引申：ankan 1 b 模式（此中 k, b为常数，n2）； anpan1

14、 pn 模式（此中 p 为常数， n2 ）在这里我们以详细的例子给出，使其更简单理解：例 1已知数列an，有 an3an 14 （ n2 ），则求该数列的通项公式解题大概思路： 先设 anb3(an 1b) ，则对于 an3an 1 4an23(an 1 2) ，那么我们就能够结构数列an2 为等比数列， 利用等比的有关性质去解决，注意：结构新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当n1 的这类状况了吗？例 2已知数列bn，有 bn2bn 12n （ n2 ），求该数列的通项公式解题的大概思路：bn2bn 1n2 ）bn2bn 11bnbn 11，相信你已2 （ n2nn2n2n12经知道结

15、构什么数列了吧，这两个模式考试中喜爱考，也比较基础， 自然也希望经过这两个模式能让你意识到求数列中的结构 思想。第三节：数列的乞降方法（引用他人的，略加改良）一、教课目的： 1、娴熟掌握等差数列与等比数列的乞降公式；2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行乞降运算；3、熟记一些常用的数列的和的公式二、教课要点： 特别数列乞降的方法三、教课过程：（一）主要知 ：1、直接法 ：即直接用等差、等比数列的乞降公式乞降。（1）等差数列的乞降公式：Snn(a1an )na1n( n1) d22na1 (q 1)（2）等比数列的乞降公式Sna1 (1q n )1)（切 ：公比含参数 必定要

16、 ）1q(qn22222 n( n 1 ) ( 2n1 )2、公式法 ：k123nk 16（ 明利用立方差公式，(n 1)3 n33n23n1 ，将 n用1,2,3n替代 ， 位相消即可整体得出）nk3132333n3n(n1)2k 12（ 明利用4 方差，原理同上）3、 位相减法 ：比方 an等差 , bn等比 ,求 a1 b1a2 b2a nbn的和 .4、裂 相消法 ：把数列的通 拆成两 之差、正 相消剩下首尾若干 。1111111常拆公式 ：n(n1)nn1；n(n(n)2) 2n 211)1 (111)n n! (n 1)! n!(2n 1)(2n22n2n15、分 乞降法：把数列的

17、每一 分红若干 ，使其 化 等差或等比数列，再乞降。6、归并乞降法：如求 100299298 297 22212 的和。7、倒序相加法：如求 sin 2 1sin2 2sin 2 3sin 2 89 的和。8、其他乞降法：如 猜想法，奇偶法等等（二）主要方法：1、求数列的和注意方法的 取：关 是看数列的通 公式；2、乞降 程中注意分 思想的运用；3、 化思想的运用；（三）例 剖析：例 1乞降： Sn111 111111n个 S(x1 ) 2( x21 ) 2(x n1 ) 2nxx 2x n求数列 1， 3+4， 5+6+7 ，7+8+9+10 ，前 n 和 Sn思路剖析：通 分 ，直接用公式

18、乞降。解： ak11111010210k1 (10k1)k个9S1(10 1)(1021)(10n1)1(1010210n )nn991 10(10 n1)n10n19n109981 Sn( x 212) ( x412)( x2 n12)x2x4x 2n(x 2x4x2 n )( 111) 2nx2x 4x2 n（1）当 x1 ， Snx2 ( x2n1)x 2 ( x2n1)2n( x2 n1)( x2n 21)x21x 21x 2n (x 21)2n（2）当 x时Sn1,n4ak( 2k1)2k(2k1)( 2k1)(k1)k( 2k 1)(3k2) 5 k 23 k222Sna1a2an5 (1222n 2 )3 (1 2n)5 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)2