全国1卷理科数学含答案.docx
《全国1卷理科数学含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国1卷理科数学含答案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
全国1卷理科数学含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x
1．
已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则（）
A．AB{x|x0}B．ABR
C．AB{x|x1}D．AB
2．
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的
中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
其中的真命题为（
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为（）
若f
（1）1，则满足1f（x2）1的x的取值范围是（
A．[2,2]
B．[1,1]
C．
[0,4]
D．[1,3]
162
6．（12）（1x）6展开式中x2的系数为（x
）
A．15
B．20
C．
30
D．35
5．函数f（x）在（,）递减，且为奇函数．
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A．10B．12C．14D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）
11．设x、y、z为正数，且2x3y5z，则（）
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1，1，2，1，2，4，1，
2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码
是（
、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=．
x2y1
14．设x，y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为．
xy0
22
15．已知双曲线C：
x2y21（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的ab
一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，
AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为．
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分．a2
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥
P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90．
1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测
量其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
2
N（,2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件数，求
P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
1161162116222经计算得xxi9.97，s（xix）（xi16x）0.212，其中xi为抽取的第i
16i116i1i16i1i
个零件的尺寸，i1,2,,16．
用样本平均数x作为的估计值?
，用样本标准差s作为的估计值?
，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？
剔除（?
3?
?
3?
）之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．
附：
若随机变量Z服从正态分布N（,2），则P（3Z3）0.9974，
0.9974160.9592，0.0080.09．
20．（12分）已知椭圆C：
a2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，2），P4（1，2）
中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：
l过定点．
2xx
21．（12分）已知函数f（x）ae2x（a2）exx．
（1）讨论f（x）的单调性；
2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4―4：
坐标系与参数方程］（10分）
x3cosxa4t
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）
ysiny1t
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a．
23．［选修4—5：
不等式选讲］（10分）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［–1，1］，求a的取值范围．
参考答案（理科数学）
、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
B
C
D
C
B
D
D
A
D
A
、填空题
13．2314．515．2316．415
3
三、解答题
由（1〉及已知可得O）,P（Q0,
所^PC=（-
（2丄O）,C（-2L-11,O）.
C8=（√2t0.0）,可=（半Q-半）,五=（0,1,0）.
√2忑-——x+VZ=O
2•2,
√2x=0
设W=（XJSZ）是平面PCS的法向量，则，
W-PC=O
UCB=O
可取λ=（0-1,-√2）.
.PA=Oy^∙>/^_∩
设m=（x,>∙,z）罡平面PM的法向量，则｛•一，即-l^2~x^2^z^
IW^=O[j=o
可取w=α9O,1）.
则cos=斗J=_£,所以二面角A-PB-C的余弦值为-E・IWIlWl33
19.【解析】
（1）抽取的一个零件的尺寸在S-3<7,"+3σ）之內的概率为0.9974,从而零件的尺寸在（"-3PIX>l）=l-P（X=O）=I-0.9974=0.0408.
X的始期望为£¥=16x0.0026=0.0416.
（2）（i）如果生产状态正常，一φ零件尺寸在（“一30,“+36之外的IK率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（“一36〃+3（7）之外的零件的概率只有0∙0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（H）由x=9.97.5≈0.212,得“的估计值为A=9.97,O•的估计值为<7=0.212,由样本数据可叹看出有一个零件的尺寸在（A-3σljα+3σ）之外,因此需对当夭的生产过程进行检查•
剔除（∕2-3σsp+3σ）Z外的数据9.22,剰下数据的平均数为1（16x9.97-9.22）=10.02,因此“的估计1・
tt⅛10∙02.
2x?
=16x0.2122+16x9.972«1591.134,剔除（2-3次〃+3&）N卜的数据9.22,剩下数据的样本方i-1
1I①
差为±（1591.134-9.222-15×10.02O≈0.008>
因此σ的佔计值为√0.008≈0.09.
20.【解析】⑴由于？
E两点关于A轴对称，故由题设知C经过厂E两虽
又由土+土>护拾知，C不经过点环所以点B在C上.
故C的方程为斗W=1.
4
⑵设直线PM与直线P出的斜率分别为4k2,
如果/与X轴垂直，设hχ≈t,由题设知心0,且∣r∣v2,可得定丿的坐标分别为<6^ΞΞ）,-则焙2呼一，得“2,神合题设.
从而可设/：
J-XX+w（/M≠l）.将y=Ax+加代入扌+F=I得（4λr+l）x2+8λm÷4∕w2-4=0由题设可知A≡46（4A-m2⅛l）>O
设定（X!
>1）,5（X：
旳力则XLX21B-鑰务，Xm■篇［：
•
而t卫=卩_1闪+汝-［、脏5-1阿匕+（加_1）（耳+乞）
IA"XiXzX】E耳乞
由题设ArI+k2≈-∖f故（2⅛+1）x,x2+（W-I）（Xl+x2）=0.
即（2*+l）4加:
一土+（牺_|）•亲牛=0.f⅛f[∏=-Zltl.4F+14/+12
当且仅当加>一1肘，△>（）,欲使/：
y≈-^-^-x+m,即y+1=-卑丄（X-2）,
所以/过定点（2,-1）21.【解析】
（1）/（x）K½义域为（Y'2）,∕,（x）=2^2z+（d-2>x-I=（^X-I×2^x+1）,
（i）若α≤0,MAX）<0,βτtλ∕（x）在（→o.炖）单调递减一
（Ii）S^>0,则由f（0=O得X=-IM.
当x∈（-∞,-ln<7）时’∕r（x）<0；当xG（-l∏α+oo）时，f∖x）>O,
所以/（X）在（Y∖-InCi）单调递减，在（-lnG÷∞）单调递増.
（2）（i）若α≤0,由⑴知,/（x）至多有一个零,点.
（ii）gα>O,由
（1）知，当X=Tnd时，∕*（x）取得最小值，最小值为/（-Ina）=I-I+lnα.a
1当Q=I时，由于/（-Ina）=0,故/（x）RW一个零点；
2当dG（l,g）时，由于I-丄+lz>0,即/（-lnα）>0,故/（x）没有零点：
a
3当αc（QD时，1一丄÷lnα<0,g∏∕（-lntj）a
又/（-2）=Qh÷（α-2）√+2>-2/+2>0,故/（x）在（→o,-lna）有一个零点.
3
设正整数％满足WO>ln（--1）；则/（«o）=出（卅：
+α-2）-％>eJn0>2Jn0>0・
a
3
由于1n（--l）>-lnα,因此/（x）在（Tna+∞）育一个雰点・
a
综上，4的取值范围为（0,1）.
22.【解析】⑴曲线C的普通方程为y+∕=l.
当“一1时，直线/的普通方程为x+4y—3=0.
x+4y-3=0&_3X=~—IJ
由工解得F=\或丿j5∙从而C与/的交点坐标为（3,0）,（-罠学）.
—+y=1J=O24252〉
IyI25
（2）直线/的普通方程为x+4p-α-4=0,故C上的点（3CoS^Sm^）到/的距离为匕J%8&+4警-°-4|.
综上，α=8或d=-16.
23.【解析】
（1）当Q=I时,不等式f（x）≥g（x）等价T√-x+∣x+l∣+∣x-l∣-4≤0.φ当X-I时，①式化为疋-3K0,无解；
当-ISxSlB寸，①式化为x3-x-2S0,从而-1Sx≤1;
⑵当x∈[-l.l]时，g（x）=2.
所以Tr（X）≥g（x）的辭集包含[-14],手价于当x∈[-lsl]H7∕（x）≥2.
又/（x）在卜11]的最小值必为八-1）与/
（1）之一，m∕（-l）>2B∕（l）≥2,得-l≤α≤l.所叹。
的取值范围为[-U]∙
升级会员 