定积分应用平面图形面积例题及习题解答docx.docx
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定积分应用平面图形面积例题及习题解答docx
定积分应用
1、直角坐标系下平面图形面积的计算
1连续】11|线y=f（x）（f（x）>O）Rx=aJx=h及兀轴所围成的平而图形而积为
^f（x）dx
2设平而图形山上下两条曲线）=广上⑴与）=f心）及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积
元素为[ffr（x）]dx,于是平而图形的而积为：
S=W-.Af（x）]dx.
3连续曲线兀=久刃（0（y）»0）及y=c,y=d及V轴所围成的平iM图形面积为
A=[0（y）〃y
4由方程X=01（y）与X=02（歹）以及y=y=d所围成的平面图形面积为
A=f”（y）—0（y）〕dy翎>©）
例1计算两条抛物线y=0与兀=y2所围成的而积.
要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:
解求解而积问题，一般需要先画一草图（图3）,我们要求的是阴影部分的而积.需y=x2
x=y2
得交点（0,0）和（1,1）.选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式
（1）,所求的面积为
3lo3
—•般地，求解而积问题的步骤为：
（1）作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.
（2）写出积分公式.
（3）计算定积分.
例2计算抛物线r=2v与直线）=x-4所围成的图形的面积.
解
（1）画图.
（2）确定在y轴上的投影区间：
L-2,4J.
（3）确定左右曲线:
0左（刃=如2,0右（y）=y+4.
⑷计算积分
s=匸。
+4-号y2）dy二母y2+4）一”,3］役=］8.
例3求在区间［丄，2］上连续|11|线y=lnx,x轴及二直线x=-，与x二2所围成平面区22
域（如图2）的面积o
解：
已知在［$2］上，in淀°;在区间
［1,2］上，Inx$0，则此区域的面积为:
Ji|lnx^/x=
2
1
二-（x\nx-x）i+T
4ln2-
1
•
2
9
例4求抛物线y=x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
解：
该平而图形如图所示.先求出抛物线与肓线的交点P仃，-1）与Q（9,3）.用x=l把图形分为左、右两部分，应用公式
（1）分别求的它们的面积为：
木题也可把抛物线方程和肓线方程改写成:
X二/二gi（y）,x=2y+3二g2（y）2（y），y©［T,3］.
并改取积分变量为y,便得：
A二［Ig2（刃-g1（刃\dy=£（2y+3-）/）dy=¥•
oX
例5求由两条曲线y二x,y二一和直线y=l围成的平面区域（如图5）的面
4
积.
解法一：
此区域关于y轴对称，其而积是第一象限那部分面积的二倍。
在第
9x2
—象限中,直线y=l与曲线y=x与y=——的交点分别是（1,1）与（2,1）.
4
此区域的面积为：
A二2（fX1dx+|Jx-J—dx）-—.
解法二将y轴看作是自变数。
在第一彖限的那部分区域是由曲线x=4y，X=2*和直线尸1所围成（y作自变数）。
此区域的面积为:
4二2［（277_77呛=2』77狞=y
例6求下列I1U线所I韦I成的图形的面积
（1）抛物线y2=-与直线x-2y=4f
（2）圆%2+y2=lax.
解
（1）先画图，如图所示，
'2_£
并由方程{y一3，求出交点为（2,-I）,（8,2）.兀_2歹=4
解一取y为积分变量,y的变化区间为［-1,2］,
在区间［-1,2］上任取一子区间［y,y+dy］,
则面积微元dA=（2y+4—2y2）dy,
则所求面积为
A=『（2y+4—2y2）dy=（}J2+4y-|-y3）：
=9.丿一13
解二取X为积分变量，X的变化区间
为［0,8］,由图知，若在此区间上任取子区间，需分成［0,2］,［2,8］两部分完成.
在区间［（）,2］上任取一了区间［尢，x+dx］,
在区间［2,8］上任取一了区间［x,x+dr］,
则面积微元心硝冷（—）2,
丁是得
+2x]2=9.
•・•所围区域D表达为X-型:
（或D表达为Y-型：
\°2*vxvy
Sf（y/~x—x）clx—（_x2—%2）
32
（Sd=f（y_），）dy=*）
2.求在区间［0,龙/2］上，曲线y二sin兀与岚线兀二0、y=l所围图形的面积
J=--lo2
|y2=-x+4
■•2
图6-2-3
・・・》订（1-sinx）dx=（x+cosx）
f71
（SD=Iarcsinydy=1）
2
★★3.求由曲线）"=兀与y2=-x+4所围图形的面积
思路：
由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解:
见图6-2-3
・•・》訂：
（4-y2_y2）d）,=（4）£）,3）=导
m3_运3
（山于图形关于X轴对称，所以也可以解为：
S厂2『（4W）妇2（4），-討）广=芈@）do孑
4.求由曲线y-丄与巨线y=x4=2所围图形的而积
X
思路：
由于所围图形表达为X•型,解法较简单，所以用X■型做解：
见图625
两条曲线y=丄和y=x的交点为（1,1）、
X
（・1,・1）,乂这两条线和x=2分别交于（2冷）、（2,2）
・••所围区域Q表达为X■型：
1\1,
—5.抛物线y2=2x分圆x2+/=8的面积为两部分，求这两部分的面积
思路：
所围图形关于X轴对称，而」L在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解:
见图6-2-6,设阴影部分的而积为Sg，剩余而积为Sg
・・•两条曲线宀2无、x2+y2=8的交于
（2,±2）（舍去x=-4的解）,
・・・所围区域卩表达为Y■型：
-2r~~；又图形关于x轴对称,
—S®=2f（78^-^）Jj=2（f78Z/-y）=2S+2-扣2龙+专
fii~y=2>/2sin/£__1+COE2f
（其中I^8-y2dy=^2V2cosrx2V2cos^t/r=r=龙+2）
）2
44
/•Sn=tt8—2tt—=6/r—
633
★★★7.求由曲线y=护、y=£*与直线兀=1所围图形的面积
思路：
由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做
解:
见图6-2-7
・・•两条曲线y=ev和y=的交点为（0,1）,乂这两条线和x=1分别交于
（1,◎和（1,厂）
・••所围区域D表达为X-型:
0e~xJ
:
.SD=^（ex-e~x）dx=（ex+厂）|：
之+"_2
★★★8.求由llll线y-lnx与直线y=\na及y-lnb所围图形的面积（b>a>0）
思路：
由于所围图形表达为Y・型时，解法綾简单，所以用Y■型做解：
见图6-2-8
图6-2-8
★★★9.求通过（0,0）,（1,2）的抛物线，要求它具有以下性质:
（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；
（2）它与x轴所围图形面积最小
解：
由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0,0）,所以可设抛物线方程为y=ax2-^bx,
（由于下弯，所以6/<0）,将（1,2）代入y=ax2^bx,得到a+b=2,因此
y—ax+（2-a）x
该抛物线和X轴的交点为x=0^x=纟二^,
S；（°）=-[a'2x3（a-2）2+（a-2）3x（-2^~3）]=-a~\a-2）2（a+4）
66
得到唯一极值点：
d=-4,・•・所求抛物线为：
y=-4x2+6x
★★★★10.求位于Illi线y二护下方，该Illi线过原点的切线的左方以及x轴上方Z间的图形的面积
思路：
先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：
y=ex=>yf=ex,:
.在任一点x=x（）处的切线方程为y-eXi>=ex（>（x-x（））
而过（0,0）的切线方程就为：
y-e=e（x-\）,即y-ex
所求图形区域为D=D}^D29
11.设直线y二ax与抛物线y=/所圉成的面积为耳，它们与直线x=l所围成的
图形面积为$2,并aad1111
解：
（1）当0〈a〈l时，$=J（ax-/）dx+J（兀2-ax）〃x=—/——a+—.033
a
4
]11
/=J（a兀一F）dx+j（x2-ax）dx=a2一^•=（）,得a=^^,s"
o1|||
勻a50H寸,s=J（6/x—x~）dx+J（x~—cix）dx——ci—ci~\—.
a0623
/=-丄亍一丄<0,$单调减少，故d=o时，$取最小值，此时S二丄223
12.已知二次函数/（x）=3*-3兀,直线厶:
x=2和<2:
y=3饥（其中f为常数，且0直线Z与函数于（兀）的图象以及直线1\、Z与函数于（兀）的图象所围成的封闭图形
如图屮阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为S（J
（D求函数S（f）的解析式；
（ID定义函数
h（x）=S（x\xeR若过点4（1,加）（加北4）可作曲线y=/2（x）（xwR）的三条切线，求实
（II）依据定义,h（x）=（x4-1）3-6x+2,xgR,WJ/z'Cx）=3（x+1）2-6.
因为加工4,则点A（l,加）不在曲线y=/i（x）±.过点A作曲线y=加兀）的切线，设切点为M（x（）,y（））,则3（心+1）L。
*°一碍*2f,
兀。
-1
化简整理得2球-6x（）+m=0有三个不等实根.
设g（x°）=2xl-6x0+加,则g'Oo）=6对一6.9分
由8©0）>0‘得兀0>1弧（）<一1・
所以g（兀°）在区间（-汽-1）,（1,+8）上单调递增，在上单调递增.
所以，当无。
=-1时,函数go。
）取极大值;当兀。
=-1时,函数g（x°）取极小值;因此，关
于力的方程2总-6x0+加=0有三个实根的充要条件是f【°
g（l）<0
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