离散数学 树.ppt

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第第1616章章树树离离散散数数学学中国地质大学本科生课程中国地质大学本科生课程本章说明本章说明本章说明本章说明q树是图论中重要内容之一。

树是图论中重要内容之一。

q本章所谈本章所谈回路均指初级回路（圈）或简单回路回路均指初级回路（圈）或简单回路，不含复杂回路（有重复边出现的回路）。

不含复杂回路（有重复边出现的回路）。

16.116.1无向树及其性质无向树及其性质16.216.2生成树生成树16.316.3根树及其应用根树及其应用（不讲）（不讲）本章小结本章小结习习题题作作业业本章说明本章说明本章说明本章说明16.116.1无向树及其性质无向树及其性质无向树及其性质无向树及其性质定义定义16.116.1无向树无向树连通无回路的无向图，简称树，用连通无回路的无向图，简称树，用T表示。

表示。

平凡树平凡树平凡图。

平凡图。

森林森林若无向图若无向图G至少有两个连通分支（每个都是树）。

至少有两个连通分支（每个都是树）。

树叶树叶无向图中悬挂顶点。

无向图中悬挂顶点。

分支点分支点度数度数大于或等于大于或等于22的顶点。

的顶点。

举例举例如图为九个顶点的树。

如图为九个顶点的树。

定定理理16.116.1设设G是是n阶阶m条条边边的的无无向向图图，则则下下面面各各命命题题是是等等价的：

价的：

（11）G是树。

是树。

（22）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。

中任意两个顶点之间存在唯一的路径。

（33）G中无回路且中无回路且mn11。

（44）G是连通的且是连通的且mn11。

（55）G是连通的且是连通的且GG中任何边均为桥。

中任何边均为桥。

（66）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

无向树的等价定义无向树的等价定义无向树的等价定义无向树的等价定义

（1）

（1）

（1）

（1）

（2）

（2）

（2）

（2）如果如果G是树是树，则，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径中任意两个顶点之间存在唯一的路径。

存在性。

存在性。

由由G的连通性及的连通性及定理定理14.514.5的推论的推论（在在n阶图阶图G中，若从顶点中，若从顶点vi到到vj（vivj）存在通路，则存在通路，则vi到到vj一定存在长度小于等于一定存在长度小于等于n-1-1的初级的初级通路通路（路径路径））可知，可知，u,vV，u与与v之间存在之间存在路径路径。

唯一性唯一性（反证法）。

（反证法）。

若路径不是唯一的，设若路径不是唯一的，设11与与22都是都是u到到v的路径，的路径，易知必存在由易知必存在由11和和22上的边构成的回路，上的边构成的回路，这与这与G中无回路矛盾。

中无回路矛盾。

（2）

（2）

（2）

（2）（3）（3）（3）（3）如果如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径中任意两个顶点之间存在唯一的路径，则则G中无回路且中无回路且mn-11。

首先证明首先证明G中无回路。

中无回路。

若若G中存在关联某顶点中存在关联某顶点v的的环环，则则v到到v存在长为存在长为00和和11的两条路经的两条路经（注意初级回路是路径的特殊情况注意初级回路是路径的特殊情况），这与已知矛盾。

这与已知矛盾。

若若G中存在长度大于或等于中存在长度大于或等于22的圈，的圈，则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径，则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径，这也与已知矛盾。

这也与已知矛盾。

（2）

（2）

（2）

（2）（3）（3）（3）（3）如果如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径中任意两个顶点之间存在唯一的路径，则则G中无回路且中无回路且mn-11。

其次证明其次证明mn-1-1。

（归纳法）（归纳法）n11时，时，G为为平凡图平凡图，结论显然成立。

，结论显然成立。

设设nk（k1）1）时结论成立，时结论成立，当当n=k+1+1时，设时，设e（u,v）为为G中的一条边，中的一条边，由于由于G中无回路，所以中无回路，所以G-ee为两个连通分支为两个连通分支G11、G22。

设设ni、mi分别为分别为Gi中的顶点数和边数，则中的顶点数和边数，则nik，i1,21,2，由归纳假设可知由归纳假设可知mini-1-1，于是于是mm11+m22+1+1n11-1+-1+n22-1+1-1+1n11+n22-1-1n-1-1。

只需证明只需证明G是连通的。

（采用反证法）是连通的。

（采用反证法）假设假设G是不连通的，由是不连通的，由s（s2）个连通分支个连通分支G1,G2,Gs组成组成，并且并且Gi中均无回路，因而中均无回路，因而Gi全为树全为树。

由由

（1）

（1）

（2）2）（3）3）可知可知，mini-1。

于是于是，由于由于s2，与与mn-1矛盾矛盾。

（3）（3）（3）（3）（4）（4）（4）（4）如果如果G中无回路且中无回路且mn-1-1，则则G是连通的且是连通的且mn-1-1。

如果如果G是连通的且是连通的且mn1，则则G是连通的且是连通的且G中任何边均为桥中任何边均为桥。

只需证明只需证明G中每条边均为桥中每条边均为桥。

eE，均有均有|E（G-e）|）|n-1-1n-2，由习题十四题由习题十四题49（若若G是是n阶阶m条边的无向连通图，则条边的无向连通图，则mn-1）可知可知，G-e已不是连通图已不是连通图，所以所以，e为桥为桥。

（4）（4）（4）（4）（5）（5）（5）（5）如果如果G是连通的且是连通的且G中任何边均为桥中任何边均为桥，则，则G中没有回路，但在任中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈一个含新边的圈。

因为因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图，变成不连通图，所以，所以，G中没有回路，也即中没有回路，也即G中无圈。

中无圈。

又由于又由于G连通，所以连通，所以G为树，由为树，由

（1）

（2）可知，可知，u,vV，且且uv，则则u与与v之间存在唯一的路径之间存在唯一的路径，则则（u,v）（（u,v）为加的新边为加的新边）为为G中的圈，中的圈，显然圈是唯一的。

显然圈是唯一的。

（5）（5）（5）（5）（6）（6）（6）（6）如果如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则，则G是树是树。

只需证明只需证明G是连通的。

是连通的。

u,vV，且且uv，则新边则新边（u,v）G产生唯一的圈产生唯一的圈C，显然有显然有C-（-（u,v）为为G中中u到到v的通路，故的通路，故uv，由由u,v的任意性可知，的任意性可知，G是连通的。

是连通的。

（6）（6）（6）（6）

（1）

（1）

（1）

（1）定理定理16.216.2设设T是是n阶非平凡的无向树，则阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。

中至少有两片树叶。

设设T有有x片树叶，由握手定理及定理片树叶，由握手定理及定理16.116.1可知，可知，证明证明由上式解出由上式解出x22。

无向树的性质无向树的性质无向树的性质无向树的性质例例例例16.116.116.116.1例例16.116.1画出画出66阶所有非同构的无向树。

阶所有非同构的无向树。

解答解答设设Ti是是66阶无向树。

阶无向树。

由由定理定理16.116.1可知，可知，Ti的边数的边数mi55，由由握手定理握手定理可知，可知，dTi（vj）1010，且且（Ti）11，（Ti）55。

于是于是Ti的度数列必为以下情况之一。

的度数列必为以下情况之一。

（1）1，1，1，1，1，5

（2）1，1，1，1，2，4（3）1，1，1，1，3，3（4）1，1，1，2，2，3（5）1，1，2，2，2，2（4）（4）对应两棵非同构的树，对应两棵非同构的树，在一棵树中两个在一棵树中两个22度顶点相邻，度顶点相邻，在另一棵树中不相邻，在另一棵树中不相邻，其他情况均能画出一棵非同构其他情况均能画出一棵非同构的树。

的树。

例例例例16.116.116.116.1q人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1-1的的n（n3）3）阶无向树为阶无向树为星形图星形图，称唯一的分支点为，称唯一的分支点为星心星心。

例例例例16.216.216.216.2例例16.216.277阶无向图有阶无向图有33片树叶和片树叶和11个个33度顶点，其余度顶点，其余33个顶点的度数个顶点的度数均无均无11和和33。

试画出满足要求的所有非同构的无向树。

试画出满足要求的所有非同构的无向树。

解答解答设设Ti为满足要求的无向树，则边数为满足要求的无向树，则边数mi66，于是于是d（vj）1212e+3+3+d（v44）+）+d（v55）+）+d（v66）。

由于由于d（vj）11d（d（vj）33，而且而且d（vj）11且且d（vj）66，j4,5,64,5,6，可知可知d（d（vj）22，j4,5,64,5,6。

于是于是Ti的度数列为的度数列为11，11，11，22，22，22，33由度数列可知，由度数列可知，Ti中有一个中有一个33度顶点度顶点vi，vi的的邻域邻域N（vi）中有中有33个顶个顶点，这点，这33个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：

个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：

1,1,21,1,21,2,21,2,22,2,22,2,2设它们对应的树分别为设它们对应的树分别为T11，T22，T33。

此度数列只能产生这三棵。

此度数列只能产生这三棵非同构的非同构的77阶无向树。

阶无向树。

例例例例16.216.216.216.2例题例题例题例题例例题题已已知知无无向向树树T中中，有有11个个33度度顶顶点点，22个个22度度顶顶点点，其其余余顶顶点点全全是是树树叶叶，试试求求树树叶叶数数，并并画画出出满满足足要要求求的的非非同同构构的无向树。

的无向树。

解答解答设有设有x片树叶，于是结点总数为片树叶，于是结点总数为n1+2+1+2+x3+3+x由握手定理和树的性质由握手定理和树的性质mn11可知，可知，22m2（2（n1）1）2（2+2（2+x）13+22+13+22+x解出解出x33，故故T有有33片树叶。

片树叶。

故故T的度数应为的度数应为11、11、11、22、22、33。

例题例题已知无向树已知无向树T有有5片树叶，片树叶，2度与度与3度顶点各度顶点各1个，其余顶点个，其余顶点的度数均为的度数均为4，求求T的阶数的阶数n，并画出满足要求的所有非同构并画出满足要求的所有非同构的无向树。

的无向树。

解答解答设设T的的阶阶数数为为n,则则边边数数为为n1，4度度顶顶点点的的个个数数为为n7。

由握手定理得由握手定理得2m=2（n1）=51+21+31+4（n7）解出解出n=8，所以所以4度顶点为度顶点为1个个。

故故T的度数列为的度数列为1、1、1、1、1、2、3、4。

例题例题例题例题小节结束小节结束例题例题例题例题16.216.216.216.2生成树生成树生成树生成树定义定义16.216.2设设G为无向图，为无向图，（11）T为为G的的树树T是是G的子图并且是树。

的子图并且是树。

（22）T为为G的的生成树生成树T是是G的生成子图并且是树。

的生成子图并且是树。

（33）e为为T的的树枝树枝设设T是是G的生成树，的生成树，eE（G），若若eE（T）。

（44）e为为T的的弦弦设设T是是G的生成树，的生成树，eE（G），若若eeE（T）。

（55）生成树）生成树T的的余树余树导出子图导出子图GE（G）-）-E（T）。

记作。

记作注意：

注意：

不一定连通，也不一定不含回路。

不一定连通，也不一定不含回路。

说明说明说明说明定理定理16.316.3无