圆的对称性垂径定理.ppt

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圆对称性圆对称性

（1）

（1）垂径定理垂径定理九年级数学九年级数学（下下）第三章第三章圆圆3.23.23.23.2圆的对称性圆的对称性复习提问：

复习提问：

11、什么是轴对称图形？

我们在直线形中学过哪、什么是轴对称图形？

我们在直线形中学过哪些轴对称图形？

些轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形正方形l圆是轴对称图形吗？

圆是轴对称图形吗？

如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?

你能找到多你能找到多少条对称轴？

少条对称轴？

你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的?

l圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线,它它有无数条对称轴有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.3.23.2圆的对称性圆的对称性OACBNMD圆是轴对称图形圆是轴对称图形，经过经过圆心圆心的的每一条每一条直线直线都是它的对称轴。

OACBNMD或或：

任意一条任意一条直直径所在的直线径所在的直线都是都是圆的对称轴圆的对称轴。

任意一条直径任意一条直径都是都是圆的对称轴（圆的对称轴（）练习练习1.判断题判断题

（1）直径是弦直径是弦.

（2）过圆心的线段是直径过圆心的线段是直径.（3）半圆是弧半圆是弧.（4）两个半圆是等弧两个半圆是等弧.（5）面积不等的两圆不是等圆面积不等的两圆不是等圆.（6）长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧.ACEFGH弧长FE=3.84cm弧长HG=3.84cm（）（）（）（）（）（）看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=BM,垂径定理垂径定理lAB是是O的一条弦的一条弦.l你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?

与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?

如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?

ABCDMAmBn由由CD是是直直径径CDAB可推得可推得AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论l如图如图,小明的理由是小明的理由是:

l连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论

（1）直径）直径

（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧垂径定理垂径定理三种语言三种语言l定理定理:

垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.l老师提示老师提示:

l垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧如图，已知在如图，已知在O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求O的半径。

的半径。

E.ABO解：

连结解：

连结OA.过过O作作OEAB，垂足为垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。

AB8厘米厘米AE4厘米厘米在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米O的半径为的半径为5厘米厘米练习练习课题：

垂直于弦的直径

（2）垂径定理的推论垂径定理的推论MOACBN直线直线MN过过圆心圆心AC=BCMNAB弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索一探索一：

结论结论：

推论推论1.

（1）平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

弦所对的两条弧。

OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。

垂直。

因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。

不一定成立。

推论推论1.

（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

弦所对的两条弧。

CDMOACBNMNABAC=BC直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索二探索二：

推论推论1:

（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBNMNABAC=BC弧弧AM=弧弧BM直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AN=弧弧BN探索三探索三：

推论推论1:

（3）（3）平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径,垂直平垂直平分弦分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。

的另一条弧。

CDABMTEFGHNP错在错在哪里哪里？

等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。

作AB的垂直平分线CD。

作ATBT的垂直平分线EFGHn你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?

l如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:

只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDMCD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理的的逆定理逆定理垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论命命题题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理的推论垂径定理的推论22l如果圆的如果圆的两条弦互相平行两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗那么这两条弦所夹的弧相等吗?

l老师提示老师提示:

这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:

OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM已知：

已知：

O中弦中弦ABCD.求证：

求证：

ACBD.MCDABON讲解讲解如果圆的两条弦互相平如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹行，那么这两条弦所夹的弧相等的弧相等.证明：

作直径证明：

作直径MNAB.ABCD，MNCD.则则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。

的弧相等。

挑战自我画一画l如如图图,M,M为为OO内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMCDABE例：

例：

平分已知弧平分已知弧ABAB已知：

弧已知：

弧AB作法：

作法：

连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线CD，交弧交弧AB于点于点E.点点EE就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。

的中点。

求作：

弧求作：

弧AB的中点的中点挑战自我画一画CDABEFG变式变式一一：

求弧求弧ABAB的四等分点。

的四等分点。

mnCABE变式变式二二：

你能确定你能确定弧弧ABAB的圆心吗？

的圆心吗？

mnDCABEmnO你你能能破镜重破镜重圆圆吗？

吗？

ABACmnO作作弦弦ABABACAC及它们的垂直平分及它们的垂直平分线线mmnn，交于交于OO点；以点；以OO为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。

为半径作圆。

破镜重破镜重圆圆ABCmnO弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

并且平分弦所对的两条弧。

作图依据：

判断判断垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧（）弦所对的两弧中点的连线弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦垂直于弦,并且经过圆心并且经过圆心（）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分（）平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（圆内两条非直径的弦不能互相平分（）挑战自我挑战自我填一填填一填（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。

）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。

（7）平分弦的直线，必定过圆心。

）平分弦的直线，必定过圆心。

（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。

条直线垂直这条弦。

ABCDO

（1）ABCDO

（2）ABCDO（3）挑战自我挑战自我填一填填一填（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径弦的垂直平分线一定是圆的直径.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCO（4）ABCDO（5）ABCDO（6）E挑战自我挑战自我填一填填一填l2.已知：

如图已知：

如图,O中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:

.挑战自我挑战自我填一填填一填l3、已知：

如图，已知：

如图，O中，中，AB为为弦，弦，C为为弧弧AB的中点，的中点，OC交交AB于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求O的半径的半径OA.挑战自我挑战自我做一做做一做l4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGHMN挑战自我挑战自我做一做做一做5.5.已知：

已知：

ABAB和和CDCD是是OO内的两条平行弦，内的两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=8cm，OO的半径为的半径为5cm5cm，（11）请根据题意画出符合条件的图形）请根据题意画出符合条件的图形（22）求出）求出ABAB、与、与CDCD间的距离。

间的距离。

（1）

（2）挑战自我挑战自我做一做做一做解：

（解：

（1）OAB+AOC=90AC=CB，OC是半径（已知）是半径（已知）OCAB（如果圆的直径平