清华大学运筹学课件(完整课件).ppt
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第一章第一章线性规划与单纯形法线性规划与单纯形法11线性规划问题及其数学模型线性规划问题及其数学模型1.11.1问题的提出问题的提出eg.1生产计划问题问:
产品、各生产多少件,使利润最大?
限制设备台时128台时材料A4016kg材料B0412kg利润23分析:
设:
产品生产x1件,产品生产x2件。
这里z为利润函数,maxz:
表示求z的最大值。
目标函数:
maxz=2x1+3x2约束条件:
1x1+2x284x1164x212x1,x201eg.2污水处理问题环保要求河水含污低于2,河水可自身净化20%。
问:
化工厂1、2每天各处理多少污水,使总费用最少?
分析:
化工厂1处理污水x1万m3,化工厂2处理污水x2万m3。
minz=1000x1+800x2(2-x1)/5002/1000(1-0.2)(2-x1)+1.4-x2/(500+200)2/1000x12x21.4x1,x20这里minz:
表示求z的最小值。
200万m3500万m32万m31.4万m3化工厂1化工厂21000元/万m3800元/万m32线性规划的数学模型:
线性规划的数学模型:
max(min)z=c1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxn(=,)b1a21x1+a22x2+a2nxn(=,)b2am1x1+am2x2+amnxn(=,)bmx1,x2,xn03说明:
(1)决策变量:
x1,x2,xn。
一组决策变量表示为问题的一个方案;
(2)目标函数:
max(min)zz为决策变量的线性函数;(3)约束条件一组线性不等式。
cj为价值系数,bi为资源,aij为技术系数(i=1,m;j=1,n).41.21.2图解法图解法eg.eg.33用图解法求用图解法求eg.eg.11。
maxmaxzz=2x2x11+3x3x221x1x11+2x2x22884x4x1116164x4x221212xx11,xx2200解:
(1)建立xx11-xx22坐标;x2x1
(2)约束条件的几何表示;Q1Q2Q3Q4(3)目标函数的几何表示;*zz=2x2x11+3x3x22o435首先取z=0,然后,使z逐渐增大,直至找到最优解所对应的点。
*可见,在Q2点z取到最大值。
因此,Q2点所对应的解为最优解。
Q2点坐标为(4,2)。
即:
x1=4,x2=2由此求得最优解:
xx11*=4x4x22*=22最大值:
maxmaxzz=zz*=2x2x11+3x3x22=14(14(元元)x2x1Q1Q2(4,2)Q3Q4*436讨论:
(1)唯一最优解maxmaxzz=zz*时,解唯一,如上例。
(2)无穷多最优解eg.4对eg.1,若目标函数zz=2x2x11+4x4x22,此时表示目标函数的直线与表示条件的直线平行,最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
x2x1Q1Q2(4,2)Q3(2,3)Q4o43*7(3)无界解eg.5maxz=2x1+3x24x116x1,x20则x2,z。
即存在无界解。
在实际问题中,可能是缺少约束条件。
o2248(4)无可行解eg.6maxz=2x1+3x22x1+4x28x1+x21x1,x20无公共部分,无可行域。
即无可行解。
在实际问题中,可能是关系错。
1124x1x291.31.3线性规划的标准型线性规划的标准型1、标准型maxz=c1x1+c2x2+cnxna11x1+a12x2+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2am1x1+am2x2+amnxn=bmx1,x2,xn010用向量表示11用矩阵描述为:
maxz=CXAX=bX0其中:
X=(x1,x2,xn)TC=(c1,c2,cn)b=(b1,b2,bm)T1222、标准型的化法标准型的化法
(1)
(1)minmaxminzminmaxminz=cxcx=-max(-z)-max(-z)max(-z)max(-z)=-minz-minz=-cxcx令令zz=-z-z则则maxzmaxz=-cxcx
(2)
(2)不等式不等式(,)对对于于“”情情况况:
在在“”“”左左边边加加上上一一个个松松弛弛变变量量(非非负负),变为等式;变为等式;对对于于“”“”情情况况:
在在“”“”左左边边减减去去一一个个剩剩余余变变量量(非非负负),变为等式。
,变为等式。
注意:
松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为注意:
松弛变量、剩余变量在目标函数中的价值系数为00。
(3)(3)无约束变量无约束变量令令xxkk=xxkk-xxkk”,xxkk,x,xkk”00,代入即可。
代入即可。
13eg.eg.77将下述问题化为标准型将下述问题化为标准型minzminz=-x-x11+2x+2x22-3x-3x33xx11+x+x22+x+x3377xx11-x-x22+x+x3322-3x-3x11+x+x22+2x+2x33=55xx11,x,x2200,xx33无约束无约束解:
令解:
令xx33=xx33-x-x33”,xx33,x,x33”00;式加上一个松弛变量式加上一个松弛变量xx44;式减去一个剩余变量式减去一个剩余变量xx55;令令zz=-z-zmaxzmaxz=xx11-2x2x22+3(x3(x33-xx33”)+0x0x44+0x0x55xx11+xx22+(x+(x33-xx33”)+xx44=77xx11-xx22+(x+(x33-xx33”)-xx55=22-3x-3x11+xx22+2(x2(x33-xx33”)=55xx11,x,x22,x,x33,x,x33”,x,x44,x,x5500141.41.4线性规划解的概念线性规划解的概念设线性规划为maxmaxzz=CXCXAXAX=bbXX00AA为为mmnn矩阵矩阵,nnm,Rankm,RankAA=m(Am(A为行满秩矩阵)为行满秩矩阵)11、可行解:
满足条件、可行解:
满足条件、的的XX;22、最、最优解:
解:
满足足条件条件的可行解;的可行解;33、基:
取、基:
取BB为AA中的中的mmmm子矩子矩阵,RankRankBB=mm,则称称BB为线性性规划划问题的一个基。
的一个基。
取取BB=(p(p11,p,p22,p,pmm)ppjj=(a(a1j1j,a,a2j2j,a,amjmj)TT则称则称xx11,x,x22,x,xmm为基变量,其它为非基变量。
为基变量,其它为非基变量。
1544、基解:
取、基解:
取BB=(p(p11,p,p22,p,pmm)aa1111,a,a1m1mxx11aa1m+11m+1,a,a1n1nxxm+1m+1bb11+=aam1m1,a,ammmmxxmmaamm+1mm+1,a,amnmnxxnnbbmm基基基变量基变量非基非基非基变量非基变量令令xxm+1m+1=xxnn=0(0(非基变量为非基变量为0)0)则则BXBXBB=bb165、基可行解满足式要求的基解。
如右图所示,各边交点O,QO,Q11,Q,Q22,Q,Q33,Q,Q44均为基可行解;而其延长线的交点Q5为基解,但不是基可行解。
O(0,0)O(0,0)QQ11(4,0)(4,0)QQ22(4,2)(4,2)QQ44(0,3)(0,3)QQ33(2,3)(2,3)QQ55(4,3)(4,3)6、可行基基可行解对应的B为可行基。
可行解可行解基可行解基可行解非可行解非可行解基解基解1722线性规划问题的几何意义线性规划问题的几何意义2.12.1基本概念基本概念11、凸集:
设、凸集:
设KK为为EEnn(n(n维欧式空间维欧式空间)的一点集,的一点集,XX
(1)
(1)KK,XX
(2)
(2)KK。
若若XX
(1)
(1)+(1-)X+(1-)X
(2)
(2)KK,则称则称KK为凸集。
(为凸集。
(0011)非凸集XX
(1)
(1)XX
(1)
(1)XX
(2)
(2)XX
(2)
(2)凸集XX
(1)
(1)XX
(2)
(2)XX
(2)
(2)XX
(1)
(1)1822、顶点:
、顶点:
XXKK,XX
(1)
(1)KK,XX
(2)
(2)K(K(任意两点任意两点)。
若。
若XX不能用不能用XX
(1)
(1)+(1-)X+(1-)X
(2)
(2)表示,则称表示,则称XX为为KK的一个顶点。
的一个顶点。
(0(01)1)注:
顶点所对应的解是基可行解。
注:
顶点所对应的解是基可行解。
33、凸组合:
设、凸组合:
设XX(i)(i)EEnn,若存在若存在00ii11,ii=1,2,1,2,k,k,使使,则称则称XX为为XX(i)(i)(i=1,2,(i=1,2,k),k)的凸组合。
的凸组合。
2.22.2基本定理基本定理11、定理、定理11若线性规划存在可行域,则若线性规划存在可行域,则:
可行域可行域DD=X|AXX|AX=b,Xb,X00为凸集。
为凸集。
19证明:
证明:
设设XX
(1)
(1)=(=(x11
(1)
(1),x22
(1)
(1),xnn
(1)
(1)TTDD;XX
(2)
(2)=(=(x1
(2)
(2),x22
(2)
(2),xnn
(2)
(2)TTDD;(X(X
(1)
(1)XX
(2)
(2)有有AXAX
(1)
(1)=bb,AXAX
(2)
(2)=bb令令XX=XX
(1)
(1)+(1(1-)X)X
(2)
(2)(0(0010100XX00,即即DD为凸集为凸集2、定理2线性规划的基可行解对应于可行域的顶点。
3、定理3若线性规划有解,则一定存在基可行解为最优解。
2033单纯形法单纯形法基本思路:
基本思路:
从可行域的一个顶点到另一个顶点迭代求最优解。
3.13.1初始基可行解的确定初始基可行解的确定1、松弛基(松弛变量对应的B)eg.8maxz=x1+3x2x1+2x232x1+3x24x1,x20maxz=x1+3x2+0x3+0x4x1+2x2+x3=32x1+3x2+x4=4x1,x2,x3,x40化标准型取x3、x4为基变量,令非基变量x1=x2=0初始基可行解:
X(0)=(0034)T212、观察法eg.9maxz=x1+3x2+2x3+x4x1+2x2+3x3=33x2+x3+x4=4x1,x2,x3,x40选XB=(x1x4)T令x2=x3=0则初始基可行解:
X(0)=(3004)T223、人工基eg.10maxz=x1+2x2+3x3x1+3x2+2x3=32x1+x2+x3=4x1,x2,x30分析:
A=132211找不到单位矩阵基引入人工变量为初始基变量(2个)233.23.2最优性的检验与解的判别最优性的检验与解的判别24则25解的判别:
1.若,则此时的基可行解为最优解;2.若存在某个非基变量的检验数,且,则该线性规划问题具有无界解(或称无最优解);3.若所有,又,对于某个非基变量有,则该线性规划问题具有无穷多最优解。
263.33.3基变换基变换273.43.4旋转运算(消元运算)旋