期末复习四边形.docx

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期末复习四边形

第一讲平行四边形

一、课标要求：

1、掌握平行四边形有关概念、性质及判定。

2、探索并掌握平行四边形的对边相等，对角相等对角线互相平分的性质。

3、运用性质及判定证明。

二、知识疏理

1、温故知新：

（1）、平行四边形的定义：

2组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作：

□ABCD，读作平行四边形ABCD.

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

（2）、平行四边形的性质：

①平行四边形的对边平行；

②平行四边形的对边相等；

③平行四边形的对角相等；

④平行四边形的对角线互相平分。

（3）、平行四边形的判定：

①2组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③2组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、教材解读：

1．平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝120o，则∠D的度数是.

2．

ABCD中，∠B=30°，AB＝4cm，BC=8cm，则四边形ABCD的面积是_____.

3．平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是.

4.如图,D,E,F分别在△ABC的三边BC,AC,AB上,且DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是__________________________________.

5.已知平行四边形的周长是100cm,AB:

BC=4:

1,则AB的长是________________.

6.如图，在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CA⊥AB,则∠B=______度,

∠CAD=______度.

7、□ABCD中，∠A比∠B大20°,则∠C的度数为___.

8、□ABCD中,AB:

BC＝1:

2，周长为24cm,则AB＝_____cm,AD＝_____cm．

3、典型例题解析

1、如图，在□ABCD中，E，F分别是CD，AB上的点，且DE＝BF.求证：

AE＝CF

2、如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F。

试探求OE与OF是否相等，并且说明理由。

3、如图，

ABCD中，AB=4，BC=6，CE是∠BCD的角平分线，交BA的延长线于点E，交AD于F，求AF的长．

、

4、如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，四边形AECF是平行四边形吗？

为什么？

5、如图，已知：

□ABCD中，

的平分线

交边

于

，

的平分线

交

于

，交

于

．求证：

．

6、

（1）如图,平行四边形ABCD中,AB=5cm,BC=3cm,∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E,求AE,EF,BF的长?

（2）上题中改变BC的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F重合,点E,F重合时BC长多少?

求AE,BE的长.

（3）由

（1）,

（2）题,你想到了什么?

请写下来与你同伴交流.

7.在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？

8.已知：

如图，分别以△ABC的三边为其中一边，在BC的同侧作三个等边三角形：

△ABD、△BCE、△ACF。

求证：

AE、DF互相平分。

四、实战演练（课堂练习）

1、已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.

2、在平行四边形ABCD中,∠A:

∠B=3:

2,则∠C=_________度,∠D=_____________度.

3、用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:

2,则它的边长为________短边长为__________.

4．如图，在平行四边形

ABCD中，DB＝DC，

∠Ｃ＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝

　　　度．

5．平行四边形ABCD中，∠A:

∠B:

∠C:

∠D的值可以是（）

A．1:

2:

3:

4B.3:

4:

4:

3

C.3:

3:

4:

4D.3:

4:

3:

4

6、已知，如图：

梯形ABCD中，AB∥CD，以AD和AC为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F。

求证：

EF＝FB。

第二讲特殊的平行四边形

（1）

一、课标要求：

1．掌握矩形、菱形概念，知道矩形、菱形与平行四边形的关系．

　　2．理解并掌握矩形、菱形的定义及性质；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算矩形、菱形的面积．

　　3．通过运用矩形、菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

　　4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

二、知识疏理

知识要点一：

（1）、矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。

（2）、矩形的性质：

①矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。

③矩形的对角线相等；

④矩形的四个角都是直角。

（3）、矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有3个角是直角的四边形是矩形。

2、典型例题解析

1.（判断）下列各句判定矩形的说法是否正确？

为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）

（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）

（4）对角线相等的四边形是矩形；（）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形（）

（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形（）

2、已知：

如图

（1），

ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．

求证：

四边形EFGH是矩形．

3、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点．

（1）求证：

△ADE≌△BCF；

（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长．

4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3

，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．

（1）求BE、QF的长．

（2）求四边形PEFH的面积．

5、如图,先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①和图②中，点B的坐标为_________，点C的坐标为________．

①②

知识要点二

1、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：

①菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；

②菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。

③菱形的四条边相等；

④菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3、菱形的判定：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②四边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4、菱形的面积：

S菱形=

AC·BD

2、教材解读：

1、填空：

（1）对角线互相平分的四边形是；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．

2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：

四边形OCED是菱形。

3、四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

典型例题解析

1、 已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：

∠AFD=∠CBE．

2、已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

3、已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．

求证：

四边形CEHF为菱形．

5、（2006年青岛市）如图，在

ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？

并证明你的结论．

实战演练（课堂练习）

1、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为________．

2、一个平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成的两个三角形的周长都是18cm，则这条对角线的长为______cm．

3．菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，此菱形的边长为______cm，周长为_____cm．

4．在

ABCD中，对角线AC，BD相交于O，若AC=10，BD=6，则AB的长的取值范围是（）

A．2

5、已知菱形的周长为40cm，两对角线长的比是3∶4，则两对角线的长分别是（）

A.6cm，8cmB.3cm，4cmC.12cm，16cmD.24cm，32cm

6、

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定

ABCD是菱形的是（）

A.AB=ADB.AC⊥BDC.∠A=∠DD.CA平分∠BCD

7、下列命题中，真命题是（）

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.有一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的矩形是菱形

D.菱形的对角线相等

8、在

ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，则能通过旋转达到重合的三角形有（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

9、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，那么∠EAF等于（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

11、如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.

（1）猜想：

AD与CF的大小关系；

（2）请证明上面的结论.

13.（2008年黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．

求证：

四边形ACEF为菱形．

第三讲特殊的平行四边形

（二）

一、课标要求：

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

3.重点：

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

4.难点：

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

二、知识疏理

1.特殊的平行四边形的之间的关系

2.特殊的平行四边形的判别条件

要使ABCD成为矩形，需增加的条件是____________；

要使ABCD成为菱形，需增加的条件是____________；

要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是__________；

要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是__________.

3.特殊的平行四边形的性质

边

角

对角线

矩形

菱形

正方形

三、教材解读：

1、若正方形的一条对角线的长为4cm，则这个正方形的面积为．

2、矩形的两条对角线的一个交角为60o，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为

Cm.

3、下列结论：

（1）正方形具有平行四边形的一切性质；

（2）正方形具有矩形的一切性质；（3）正方形具有菱形的一切性质；（4）正方形具有四边形的一切性质，其中正确结论有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

5、下列命题中，真命题是（）

A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等的四边形是矩形

C．对角线垂直且相等的四边形是正方形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形

6、平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）

A．AB＝BCB.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD

7、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一

动点，则DN+MN的最小值为（）．

A8B．8C．2D．10

4、典型例题解析

例1、如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE＝2∠DAM。

求证：

AE＝BC＋CE。

例2：

△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）求证：

EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论。

例3：

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG．

⑴观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；

⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？

若存在，请说明旋转过程；若不存在，请说明理由．

例4、已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE=OF．

分析：

要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：

5、实战演练

1、已知正方形的对角线为2cm，则正方形的面积为cm2．

2、在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_____________

3、如图，把矩形

沿

对折后使两部分重合，若

，则

=（）

A．110°

B．115°

C．120°

D．130°

4、如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.

（1）猜想：

AD与CF的大小关系；

（2）请证明上面的结论.

5、已知：

如图，Ｄ是⊿ABC的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证：

（１）⊿ABC是等腰三角形　

（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的判断结论.

思考：

已知：

在正方形ABCD中，

，∠1=∠2．

求证：

AE=FE

变式思考：

如果点E为BC上任意一点，结论AE=EF仍然成立吗？