应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第三章部分习题解答).ppt

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应用多元统计分析应用多元统计分析第三章习题解答第三章习题解答1第三章第三章多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3-13-1设设XNn（,22In）,）,A为对称幂等为对称幂等阵阵,且且rk（rk（A）=）=r（rn）,证明证明证明证明因因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非征值非00即即1,1,且只有且只有r个非个非00特征值，即存在正交特征值，即存在正交阵阵（其列向量其列向量ri为相应特征向量为相应特征向量），使，使2第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3其中非中心参数为其中非中心参数为第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验43-23-2设设XNNnn（,2In）,）,A，B为为n阶对称阶对称阵阵.若若AB00,证明证明XAX与与XBX相互独立相互独立.证明的思路：

证明的思路：

记记rk（rk（A）=）=r.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正交阵存在正交阵,使得使得A=diagdiag（1,1,r0,.,0）0,.,0）令令YX，则则YNn（,2In）,）,第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验且且5又因为又因为XBX=YBY=YHY其中其中H=B。

如果能够证明。

如果能够证明XBX可表示为可表示为Yr+1+1，,Yn的函数，即的函数，即H只是右只是右下子块为非下子块为非0的矩阵。

的矩阵。

则则XAX与与XBX相互独立。

相互独立。

第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验6证明证明记记rk（rk（A）=）=r.若若r=n,由由ABO,知知BOnn,于是于是XAX与与XBX独立；独立；若若r=0=0时时,则则A0,0,则两个二次型也是独则两个二次型也是独立的立的.以下设以下设00rn.因因A为为n阶对称阵阶对称阵,存在正存在正交阵交阵,使得使得第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验7其中其中i00为为A的特征值的特征值（i=1,=1,r）.）.于是于是令令r第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验由由ABO可得可得DrH1111O，DrH1212O.因因Dr为满秩阵为满秩阵,故有故有H1111Orr，H1212Or（n-r）.由于由于H为对称阵，所以为对称阵，所以H2121O（n-r）r.于是于是8由于由于Y11，,Yr,Yr+1,Yn相互独立，故相互独立，故XAX与与XBX相互独立相互独立.第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令YX，则则YNNn（,2In）,）,且且9设设XNNp（,）,0,0,A和和B为为p阶对称阵阶对称阵,试证明试证明（X-）A（X-）与与（X-）B（X-）相互相互独立独立AB00pp.第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-310由由“1.1.结论结论6”6”知知与与相互独立相互独立第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验11性质性质44分块分块Wishart矩阵的分布矩阵的分布:

设设X（）Np（0,）（1,n）相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验试证明试证明Wishart分布的性质分布的性质（4）和和T2分布的性质分布的性质（5）.3-412第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验证明证明:

设设记记,则则即即13第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验当当12=O时时,对对1,2,n,相互相互独立独立.故有故有W11与与W22相互独立相互独立.由定义由定义3.1.4可知可知14性质性质5在非退化的线性变换下在非退化的线性变换下,T2统计量保持统计量保持不变不变.证明证明:

设设X（）（1,n）是来自是来自p元总体元总体Np（,）的随机样本的随机样本,X和和Ax分别表示正态总分别表示正态总体体X的样本均值向量和离差阵的样本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验令令其中其中C是是pp非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p1常向量。

常向量。

则则15第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以所以16第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-5对单个p维正态总体Np（,）均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:

=0（=0已知）的似然比统计量及分布.解解:

总体总体XNNpp（,（,00）（）（000）,0）,设设X（）（=1,=1,n）（）（np）为来自为来自p维正态总体维正态总体X的样本的样本.似然比统计量为似然比统计量为P66当当=0已知已知的检验的检验17第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验18第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验19第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因因所以由所以由3“一一2.的结论的结论1”可知可知20第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-6（均值向量各分量间结构关系的检验均值向量各分量间结构关系的检验）设总体设总体XNNpp（,）（,）（0）,0）,X（）（1,1,n）（）（np）为来自为来自p维正态总体维正态总体XX的样本，记的样本，记（11,p）.）.C为为kp常常数数（kp）,rank（）,rank（C）=）=k,r为已知为已知k维向量维向量.试给出检验试给出检验HH00:

C:

Cr的检验统计量及分布的检验统计量及分布.解：

解：

令令则则Y（）（1,1,n）为来自为来自k维正态总体维正态总体Y的样本，且的样本，且21第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验检验这是单个这是单个k维正态总体均值向量的检验问维正态总体均值向量的检验问题题.利用利用3.2当当y=CC未知未知时均均值向量向量的的检验给出的出的结论,取取检验统计量量:

22第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-7设总体设总体XNp（，）（0）,X（）（1,n）（np）为来为来自自p维正态总体维正态总体X的样本，样本均值为的样本，样本均值为X，样本离差阵为样本离差阵为A.记记（11,pp）.为检验为检验H00:

11=22=pp,H11:

11,22,pp至至少有一对不相等少有一对不相等.令令则上面的假设等价于则上面的假设等价于H00：

C=0p-1,H11：

C0p-1试求检验试求检验H0的似然比统计量和分布的似然比统计量和分布.解：

解：

至少有一对不相等至少有一对不相等.23第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验利用利用3-6的结果知，检验的结果知，检验H0的似然比统计量及分的似然比统计量及分布为：

布为：

其中其中（注意注意:

3-6中的中的k在这里为在这里为p-1）24第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-8假定人体尺寸有这样的一般规律假定人体尺寸有这样的一般规律:

身高身高（X1）,胸围胸围（X2）和上半臂围和上半臂围（X3）的平均尺寸比例是的平均尺寸比例是641.假设假设X（）（1,n）为来自总体为来自总体X=（X1,X2,X3）的随机样的随机样本本.并设并设XN3（,），试利用表试利用表3.5中男婴这一组数中男婴这一组数据检验三个尺寸据检验三个尺寸（变量变量）是否符合这一规律是否符合这一规律（写出假设写出假设H0,并导出检验统计量并导出检验统计量）.解：

解：

检验三个尺寸检验三个尺寸（变量变量）是否符合这一规律的问是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题题可提成假设检验问题.因为因为其中其中注意注意:

25第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验的假设检验的假设H0为为利用利用3-6的结论，取检验统计量为：

的结论，取检验统计量为：

由男婴测量数据由男婴测量数据（p=3,n=6）计算可得计算可得T2=47.1434,F=18.8574,p值值=0.0091950未未知知.检验检验H0似然比统计量为似然比统计量为记记其中其中30第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中A=A1+A2称为组内离差阵称为组内离差阵.B称为组间离差阵称为组间离差阵.31第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验因为因为似然比统计量似然比统计量32第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验所以所以33第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验由定义由定义3.1.5可知可知由由或或由于由于34第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验可取检验统计量为可取检验统计量为检验假设检验假设H0的否定域为的否定域为35第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-11表表3.5给出给出15名名2周岁婴儿的身高周岁婴儿的身高（X1），胸围，胸围（X2）和上半臂围和上半臂围（X3）的测量数据的测量数据.假设男婴的测量数据假设男婴的测量数据X（）（1,6）为来自总体为来自总体N3

（1），）的随机样本的随机样本.女婴女婴的测量数据的测量数据Y（）（1,9）为来自总体为来自总体N3

（2），）的随机样本的随机样本.试利用表试利用表3.5中的数据检验中的数据检验H0:

（1）=

（2）（=0.05）.解解:

这是两总体均值向量的检验问题这是两总体均值向量的检验问题.检验统检验统计量取为计量取为（p=3,n=6,m=9）:

36第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验其中其中故检验统计量为故检验统计量为用观测数据代入计算可得用观测数据代入计算可得:

故故H0相容相容.显著性概率值显著性概率值37第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验3-123-12在地质勘探中，在在地质勘探中，在AA、BB、CC三个地区采集了一些岩石，三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表测其部分化学成分见表3.6.3.6.假定这三个地区岩石的成分遵从假定这三个地区岩石的成分遵从NN33（ii），ii）（）（i11，22，3）（=0.05）.3）（=0.05）.

（1）

（1）检验检验H0H0：

112233；H1H1：

11,22,33不全等不全等;

（2）

（2）检验检验H0H0：

（1）

（1）

（2）

（2）,H1,H1：

（1）

（1）

（2）

（2）;（3）（3）检验检验H0:

H0:

（1）

（1）

（2）

（2）（3）（3）,H1:

H1:

存在存在ijij,使使（i）（i）（j（j）;（4）（4）检验三种化学成分相互独立检验三种化学成分相互独立.解解:

（4）设来自三个总体的样本为设来自三个总体的样本为（p=3,k=3）检验检验H0的似然比统计量为的似然比统计量为38第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分子为似然比统计量的分子为39第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验称为合并组内离差阵称为合并组内离差阵.40第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验41第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验似然比统计量的分母为似然比统计量的分母为42第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验检验检验H0的似然比统计量可化为的似然比统计量可化为:

43第三章第三章多元正态总体参数的检验多元正态总体参数的检验Box证明了，在证明了，在H0成立下当成立下当n时，时，=-blnV2（f），其中其中V=0.7253,=-blnV=3.2650,因因p=0.35250.05.故故H0相容，即随机向量的三个分量相容，即随机向量的三个分量（三种三种化学成分化学成分）相