优秀参赛课件 《平均变化率》教案及说明.docx

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优秀参赛课件《平均变化率》教案及说明

平均变化率

一、教材：

苏教版《普通高中课程标准实验教科书（选修2—2）·数学》第1章。

二、地位和作用：

《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。

通过本章的学习，使学生对变量数学的思想方法有新的感悟，促进学生全面认识数学的价值（应用价值、科学价值、文化价值），从而进一步发展学生的数学思维能力。

新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：

平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

三、教学目标

✧通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；

✧理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

✧感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。

四、教学重点平均变化率概念

教学难点平均变化率概念的形成过程

五、教学方法与教学手段

✧启发式教学与探究式学习相结合。

通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。

这样学生不会感到突兀，并能进一步感受到数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，同时可以提高他们学习数学的主观能动性。

教师在教学中应遵循五“W”原则（who，what，why，when，how），尤其要关注其中的三个原则,即“谁在学？

为什么要学？

怎么学？

”

✧利用多媒体辅助教学，突出重点、突破难点，提高教学效率。

六、教学过程

✧问题情境，感受概念

情境1GDP“猛增”

胡锦涛同志在党的十七大报告中提出：

“增强发展协调性，努力实现经济又好又快发展。

转变发展方式取得重大进展，在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上，人均国内生产总值（GDP）到2020年比2000年翻两番”。

（2000年中国人均GDP为856美元，2020年约为3500美元．）

尤其令人振奋的是：

十六大以来，我国国民经济保持平稳快速发展，2002年我国人均GDP首次超过1000美元，达到1100美元，在短短的4年内于2006年又超过2000美元，达到2010美元。

我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列，标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。

时间x（年）

2000

2002

2006

2020

人均GDPy（美元）

856

1100

2010

3500

问题1如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP“猛增”？

情境2房价“暴涨”

南京龙江小区近十来年的房价变化如下图所示：

问题2如何从数学角度刻画房价“暴涨”？

情境3股指“跳水”

2007年9月25日沪市A股走势图

问题3如何从数学角度刻画股指“跳水”？

情境4气温“陡升”

现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载如下列图表所示：

时间t（d）

3月18日

4月18日

4月20日

日最高气温T（℃）

3.5℃

18.6℃

33.4℃

问题4如何从数学角度刻画气温“陡升”？

✧建立模型，形成概念

问题5用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度？

思考1你能给出函数f（x）在区间[x1，x2]上平均变化率的定义吗？

定义函数f（x）在区间[x1，x2]上平均变化率为

。

思考2平均变化率有怎样的几何意义？

平均变化率的几何意义就是函数f（x）图象上两点（x1,f（x1））、（x2,f（x2））所在直线的斜率。

✧探究活动，感悟概念

活动1

（1）在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，据此，你能评价甲、乙两人的

经营成果吗？

（2）甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，你能评价甲、乙两人的经营成果吗？

活动2试举出生活中与平均变化率有关的例子。

✧例题讲解，运用概念

例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

例2已知函数f（x）=2x+1，g（x）=－2x，分别计算在区间[－3，－1]、[0，5]上f（x）及g（x）的平均变化率。

想一想一次函数y=kx+b（k≠0）在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

例3求函数

在区间

上的平均变化率。

✧反馈练习，巩固概念

一运动质点的位移S与时间t满足S（t）=t2，分别计算S（t）在下列区间上的平均变化率。

（位移单位为m,时间单位为s）

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]；

（5）[1，1.0001]；（6）[0.999，1]；（7）[0.99，1]；（8）[0.9，1]。

思考3如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？

✧回顾反思，理解概念

定义：

函数

在区间[x1，x2]上的平均变化率为

。

七、分层作业

✧必做作业第7页2，3题

✧选做作业我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,

气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

✧思考作业一运动质点的位移S与时间t满足S（t）=t2,如何刻画t=1这一时刻质点运动的快

慢程度呢？

（位移单位为m,时间单位为s）

八、板书设计

关注概念生成过程，促进学生主动建构

一、创设情境，引导探索

【教学安排】四个情境提出问题：

如何刻画变量变化的快慢程度？

情境1：

师生合作，共同计算出平均每年增长的GDP；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的快慢程度。

情境2：

师生合作，共同计算出平均每年增长的房价；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。

情境3：

师生合作，共同计算出平均每分钟股指下跌的点数；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内股指变化的快慢程度。

情境4：

师生合作，共同计算出平均每天气温升高的度数；师生探究，得出“比值”反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。

【设计意图】

通过GDP“猛增”、房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”等贴近学生的实例，让学生感知客观世界存在着变化快慢不同的现象，而这种快慢程度可以用某种比值来刻画。

通过生活中的实例分析从而达到概念的自然形成，学生不会感到突兀，并能体会数学来源于生活，生活中处处蕴含着数学化的知识，有利于提高他们学习数学的主观能动性。

紧密联系实际，创设丰富情境，通过启发诱导，激发学生的求知欲，形成“认知冲突”，让学生尝试学习，并经历数学化的过程，体现数学素材与学生已有的知识和生活经验之间的密切联系，对发展学生从数学角度认识问题的能力，以及认识数学的应用价值和文化价值都十分重要。

二、分析归纳，建立概念

【教学安排】通过图表分析形式概念

【设计意图】

通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。

在讨论和研究中引导学生寻找一种数学模型来刻画函数值的“变化快慢程度”，即由特殊到一般得出函数f（x）的平均变化率的定义，解决原先提出的问题，并了解它的几何意义。

目的是充分发挥学生的学习主动性，经历和体验概念的建立过程。

三、辨析讨论，领会内涵

【教学安排】交流讨论，突出知识的理解过程

【设计意图】

通过这些活动，让学生用“平均变化率”模型解释生活中的数学问题，丰富了对“平均变化率”模型的认识，同时启发学生运用“平均变化率”概念探究新问题，提高了学生学习数学的主观能动性．使学生加深了对“平均变化率”的理解．再通过模仿举例，使学生进一步理解平均变化率概念在生活中的应用价值。

在得出“平均变化率”概念后，为了加深学生对概念内涵的理解和掌握．教师又安排了以下的交流讨论活动，从而使学生进一步理解“平均变化率”的概念，这其中活动1和活动2是由教材中的练习1改编而成。

四、例题讲解，尝试应用

【教学安排】讲解例题1，2，3

【设计意图】

数学概念形成之后，通过具体例子，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生

利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。

例题1问题尽管简单，但需要规范地表达，以培养学生好的解答习惯，同时师生合作，共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。

例题2可以运用概念计算得出结论，从“数”的角度理解“平均变化率”概念；同时也可从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答，两者殊路同归。

启发学生运用概念探究新问题，提高学习数学的主观能动性。

例题教学的过程加深了学生对平均变化率概念的认识，提高了学生运用概念解决问题的能力．例3是概念的代数形式的应用。

五、反馈练习，巩固提炼

【教学安排】学生练习

【设计意图】

利用几何画板进行数与形相结合教学，感悟瞬时变化率可以刻画质点在某一时刻运动的快慢程度．由区间长度的缩小，通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势，通过几何画板的演示，从形的角度进一步感悟变量数学的思想，通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作好铺垫，也达到承上启下的作用。

在师生共同完成例题教学后，教师提供思维拓展材料和变式训练，目的是为了提高学生的认知水平以及及时进行知识的反馈矫正，使学生始终面对适度的挑战，并进一步巩固所学的知识。

【教学安排】作业1，2，3

【设计意图】

设置必做题、选做题和拓展题目的是为了实施因材施教，选择不同层次的练习，有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力．教师通过这些练习和作业，及时回授评定的结果，以期有针对性地进行答疑和讲解，突出了知识的巩固过程，在此基础上，可以帮助学生克服思维障碍。

六、回顾反思，感悟升华

【教学安排】开放式小结

【设计意图】

通过开放式小结，使学生学会学习，培养学习的主动性。

这个小结意在提炼今天这节课的主要内容，通过回顾反思，关注了学生的情感态度价值观，也梳理了学生学习的情意过程。

七、教学效果分析：

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了数学的新时代，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。

由于新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变化率－瞬时变化率－导数的概念—导数的几何意义”这样的顺序来安排，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念。

作为本章的起始课，“平均变化率”这一课学生学得怎样，将对后续学习微积分产生重大影响。

本节课通过4个情境、3个思考、2个活动、3个例题、1个练习构成一个及时反馈的学习体系，不断调整和改善学生的学习进程。

从问题情境出发到数学概念的建立，通过应用再拓展概念，从而更深层次的理解概念，体现了从传统的讲授式教学向探究式教学的转变，从而使学生经历、体验、感悟概念，达到教学目的。

本课中，教师精选了大量丰富多彩的的问题情景，紧密联系生活实际，内容的选择和呈现关注现实意义和学生的经验及兴趣，使学生体会“平均变化率”知识的发生、发展过程，加深了学生对“平均变化率”的感受和理解。

本课中，教师对学生学习的评估上追求评价主体和方式的多样化，关注学生的学习过程，关注学生的感受、体验，关注学生参与活动的程度，如在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，在活动中表现出来的思维水平，如学生在活动中的投入程度以及学生在活动中思考问题的准确性、广阔性、灵活性等．大大增强了教学的情意性。

总之，突出学习过程可以为学生提供充分的机会，让学生亲历建构知识的过程，逐步掌握认识事物、发现真理的方法，对培养学生的创新意识、提高学生的数学素养确实具有重要意义。