优秀参赛课件 《平均变化率》教案及说明.docx
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优秀参赛课件《平均变化率》教案及说明
平均变化率
一、教材:
苏教版《普通高中课程标准实验教科书(选修2—2)·数学》第1章。
二、地位和作用:
《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的,它既是对函数知识的补充和完善,也为今后进一步学习微积分奠定基础。
通过本章的学习,使学生对变量数学的思想方法有新的感悟,促进学生全面认识数学的价值(应用价值、科学价值、文化价值),从而进一步发展学生的数学思维能力。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化,它不介绍极限的形式化定义及相关知识,也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式,而是按照:
平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排,用“逼近”的方法定义导数,这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解,突出了导数概念的本质。
平均变化率是是本章的一个重要的基本概念,本节课是《导数及其应用》的起始课,对导数概念的形成起着奠基作用。
三、教学目标
✧通过丰富的实例,让学生经历平均变化率概念的形成过程,体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型;
✧理解平均变化率的概念,了解平均变化率的几何意义,会计算函数在某个区间上的平均变化率;
✧感受数学模型在刻画客观世界的作用,进一步领会变量数学的思想,提高分析问题、解决问题的能力。
四、教学重点平均变化率概念
教学难点平均变化率概念的形成过程
五、教学方法与教学手段
✧启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例,引导学生分析和归纳,让学生在已有认知结构的基础上建构新知识,从而达到概念的自然形成,进而从数学的外部到数学的内部,启发学生运用概念探究新问题。
这样学生不会感到突兀,并能进一步感受到数学来源于生活,生活中处处蕴含着数学化的知识,同时可以提高他们学习数学的主观能动性。
教师在教学中应遵循五“W”原则(who,what,why,when,how),尤其要关注其中的三个原则,即“谁在学?
为什么要学?
怎么学?
”
✧利用多媒体辅助教学,突出重点、突破难点,提高教学效率。
六、教学过程
✧问题情境,感受概念
情境1GDP“猛增”
胡锦涛同志在党的十七大报告中提出:
“增强发展协调性,努力实现经济又好又快发展。
转变发展方式取得重大进展,在优化结构、提高效益、降低消耗、保护环境的基础上,人均国内生产总值(GDP)到2020年比2000年翻两番”。
(2000年中国人均GDP为856美元,2020年约为3500美元.)
尤其令人振奋的是:
十六大以来,我国国民经济保持平稳快速发展,2002年我国人均GDP首次超过1000美元,达到1100美元,在短短的4年内于2006年又超过2000美元,达到2010美元。
我国已经由低收入国家步入了中等收入国家行列,标志着我国在向全面建设小康社会的进程中又迈出了坚实的一步。
时间x(年)
2000
2002
2006
2020
人均GDPy(美元)
856
1100
2010
3500
问题1如何从数学角度刻画2002年至2006年这4年我国人均GDP“猛增”?
情境2房价“暴涨”
南京龙江小区近十来年的房价变化如下图所示:
问题2如何从数学角度刻画房价“暴涨”?
情境3股指“跳水”
2007年9月25日沪市A股走势图
问题3如何从数学角度刻画股指“跳水”?
情境4气温“陡升”
现有某市2004年3月和4月某天日最高气温记载如下列图表所示:
时间t(d)
3月18日
4月18日
4月20日
日最高气温T(℃)
3.5℃
18.6℃
33.4℃
问题4如何从数学角度刻画气温“陡升”?
✧建立模型,形成概念
问题5用怎样的数学模型刻画函数值变化的快慢程度?
思考1你能给出函数f(x)在区间[x1,x2]上平均变化率的定义吗?
定义函数f(x)在区间[x1,x2]上平均变化率为
。
思考2平均变化率有怎样的几何意义?
平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))所在直线的斜率。
✧探究活动,感悟概念
活动1
(1)在经营某商品中,甲挣到10万元,乙挣到2万元,据此,你能评价甲、乙两人的
经营成果吗?
(2)甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,你能评价甲、乙两人的经营成果吗?
活动2试举出生活中与平均变化率有关的例子。
✧例题讲解,运用概念
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
例2已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1]、[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率。
想一想一次函数y=kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?
例3求函数
在区间
上的平均变化率。
✧反馈练习,巩固概念
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率。
(位移单位为m,时间单位为s)
(1)[1,3];
(2)[1,2];(3)[1,1.1];(4)[1,1.001];
(5)[1,1.0001];(6)[0.999,1];(7)[0.99,1];(8)[0.9,1]。
思考3如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢?
✧回顾反思,理解概念
定义:
函数
在区间[x1,x2]上的平均变化率为
。
七、分层作业
✧必做作业第7页2,3题
✧选做作业我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,
气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
✧思考作业一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,如何刻画t=1这一时刻质点运动的快
慢程度呢?
(位移单位为m,时间单位为s)
八、板书设计
关注概念生成过程,促进学生主动建构
一、创设情境,引导探索
【教学安排】四个情境提出问题:
如何刻画变量变化的快慢程度?
情境1:
师生合作,共同计算出平均每年增长的GDP;师生探究,得出“比值”反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的快慢程度。
情境2:
师生合作,共同计算出平均每年增长的房价;师生探究,得出“比值”反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。
情境3:
师生合作,共同计算出平均每分钟股指下跌的点数;师生探究,得出“比值”反映了在某一时间段内股指变化的快慢程度。
情境4:
师生合作,共同计算出平均每天气温升高的度数;师生探究,得出“比值”反映了在某一时间段内气温变化的快慢程度。
【设计意图】
通过GDP“猛增”、房价“暴涨”、股指“跳水”、气温“陡升”等贴近学生的实例,让学生感知客观世界存在着变化快慢不同的现象,而这种快慢程度可以用某种比值来刻画。
通过生活中的实例分析从而达到概念的自然形成,学生不会感到突兀,并能体会数学来源于生活,生活中处处蕴含着数学化的知识,有利于提高他们学习数学的主观能动性。
紧密联系实际,创设丰富情境,通过启发诱导,激发学生的求知欲,形成“认知冲突”,让学生尝试学习,并经历数学化的过程,体现数学素材与学生已有的知识和生活经验之间的密切联系,对发展学生从数学角度认识问题的能力,以及认识数学的应用价值和文化价值都十分重要。
二、分析归纳,建立概念
【教学安排】通过图表分析形式概念
【设计意图】
通过生活中的实例,引导学生分析和归纳,让学生在已有认知结构的基础上建构新知识,从而达到概念的自然形成,并建立数学概念,进而从数学的外部到数学的内部,启发学生运用概念探究新问题。
在讨论和研究中引导学生寻找一种数学模型来刻画函数值的“变化快慢程度”,即由特殊到一般得出函数f(x)的平均变化率的定义,解决原先提出的问题,并了解它的几何意义。
目的是充分发挥学生的学习主动性,经历和体验概念的建立过程。
三、辨析讨论,领会内涵
【教学安排】交流讨论,突出知识的理解过程
【设计意图】
通过这些活动,让学生用“平均变化率”模型解释生活中的数学问题,丰富了对“平均变化率”模型的认识,同时启发学生运用“平均变化率”概念探究新问题,提高了学生学习数学的主观能动性.使学生加深了对“平均变化率”的理解.再通过模仿举例,使学生进一步理解平均变化率概念在生活中的应用价值。
在得出“平均变化率”概念后,为了加深学生对概念内涵的理解和掌握.教师又安排了以下的交流讨论活动,从而使学生进一步理解“平均变化率”的概念,这其中活动1和活动2是由教材中的练习1改编而成。
四、例题讲解,尝试应用
【教学安排】讲解例题1,2,3
【设计意图】
数学概念形成之后,通过具体例子,说明概念的内涵,认识概念的“原型”,引导学生
利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用,是数学概念教学的一个重要环节,此环节操作的成功与否,将直接影响学生的对数学概念的巩固,以及解题能力的形成。
例题1问题尽管简单,但需要规范地表达,以培养学生好的解答习惯,同时师生合作,共同感悟平均变化率这个数学模型的实际意义。
例题2可以运用概念计算得出结论,从“数”的角度理解“平均变化率”概念;同时也可从“形”的角度通过平均变化率的几何意义得出解答,两者殊路同归。
启发学生运用概念探究新问题,提高学习数学的主观能动性。
例题教学的过程加深了学生对平均变化率概念的认识,提高了学生运用概念解决问题的能力.例3是概念的代数形式的应用。
五、反馈练习,巩固提炼
【教学安排】学生练习
【设计意图】
利用几何画板进行数与形相结合教学,感悟瞬时变化率可以刻画质点在某一时刻运动的快慢程度.由区间长度的缩小,通过计算从数的角度观察相应的平均变化率变化的趋势,通过几何画板的演示,从形的角度进一步感悟变量数学的思想,通过逼近的思想方法为瞬时变化率的学习作好铺垫,也达到承上启下的作用。
在师生共同完成例题教学后,教师提供思维拓展材料和变式训练,目的是为了提高学生的认知水平以及及时进行知识的反馈矫正,使学生始终面对适度的挑战,并进一步巩固所学的知识。
【教学安排】作业1,2,3
【设计意图】
设置必做题、选做题和拓展题目的是为了实施因材施教,选择不同层次的练习,有利于不同层次的学生巩固知识,提升思维能力.教师通过这些练习和作业,及时回授评定的结果,以期有针对性地进行答疑和讲解,突出了知识的巩固过程,在此基础上,可以帮助学生克服思维障碍。
六、回顾反思,感悟升华
【教学安排】开放式小结
【设计意图】
通过开放式小结,使学生学会学习,培养学习的主动性。
这个小结意在提炼今天这节课的主要内容,通过回顾反思,关注了学生的情感态度价值观,也梳理了学生学习的情意过程。
七、教学效果分析:
微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了数学的新时代,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
由于新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识,而是按照“平均变化率-瞬时变化率-导数的概念—导数的几何意义”这样的顺序来安排,用形象直观的“逼近”方法定义导数。
学生通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念。
作为本章的起始课,“平均变化率”这一课学生学得怎样,将对后续学习微积分产生重大影响。
本节课通过4个情境、3个思考、2个活动、3个例题、1个练习构成一个及时反馈的学习体系,不断调整和改善学生的学习进程。
从问题情境出发到数学概念的建立,通过应用再拓展概念,从而更深层次的理解概念,体现了从传统的讲授式教学向探究式教学的转变,从而使学生经历、体验、感悟概念,达到教学目的。
本课中,教师精选了大量丰富多彩的的问题情景,紧密联系生活实际,内容的选择和呈现关注现实意义和学生的经验及兴趣,使学生体会“平均变化率”知识的发生、发展过程,加深了学生对“平均变化率”的感受和理解。
本课中,教师对学生学习的评估上追求评价主体和方式的多样化,关注学生的学习过程,关注学生的感受、体验,关注学生参与活动的程度,如在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度,在活动中表现出来的思维水平,如学生在活动中的投入程度以及学生在活动中思考问题的准确性、广阔性、灵活性等.大大增强了教学的情意性。
总之,突出学习过程可以为学生提供充分的机会,让学生亲历建构知识的过程,逐步掌握认识事物、发现真理的方法,对培养学生的创新意识、提高学生的数学素养确实具有重要意义。