层次分析法模型.ppt

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层次分析法模型层次分析法模型赵立强赵立强2005年年7月月简介简介层次分析法层次分析法（TheAnalyticHierarchyProcess即即AHP）是由美国运筹是由美国运筹学家、匹兹堡大学教授学家、匹兹堡大学教授TISaaty于于20世纪世纪70年代创立的一种系统分年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人们的思维过程的基础上析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人们的思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。

提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。

AHP的主的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人们的判断转化为若干因素两两要特点是通过建立递阶层次结构，把人们的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上面，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的之间重要度的比较上面，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。

在许多情况下，决策者可以直接使用重要度的比较上面。

在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总的排序。

整个过程体现了人决策思维的基本特征，即分解、重要度的总的排序。

整个过程体现了人决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其它方法回避决策者主观判断的缺点。

本节将为判断、综合，克服了其它方法回避决策者主观判断的缺点。

本节将为读者介绍读者介绍AHP建模步骤、建模步骤、AHP的有关理论，并用一个具体例子说明的有关理论，并用一个具体例子说明AHP在复杂系统决策中的应用。

在复杂系统决策中的应用。

层次分析法的基本方法与步骤层次分析法的基本方法与步骤运用层次分析法进行决策，大体上可分为四个步骤：

运用层次分析法进行决策，大体上可分为四个步骤：

（1）分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构；构；

（2）对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。

进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。

（3）由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验。

进行一致性检验。

（4）计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。

计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。

实现方法（实现方法

（1）-递阶层次结构的建递阶层次结构的建立立复杂问题的决策因涉及的因素比较复杂，通常是比较困难的，应用复杂问题的决策因涉及的因素比较复杂，通常是比较困难的，应用AHP的第一步就是将问题涉及的因素条理化、层次化，构造出一个有层次的的第一步就是将问题涉及的因素条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。

在这个模型下，复杂问题的组成因素被分成若干组成部分，结构模型。

在这个模型下，复杂问题的组成因素被分成若干组成部分，称之为元素。

这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元称之为元素。

这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元素对下一层次的有关元素起支配作用，这些层次可以分为三类。

素对下一层次的有关元素起支配作用，这些层次可以分为三类。

最高层：

又称目标层。

这一层次的元素只有一个。

一般它是分析问题最高层：

又称目标层。

这一层次的元素只有一个。

一般它是分析问题的预定目标或理想结果。

的预定目标或理想结果。

中间层：

又称准则层。

这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，中间层：

又称准则层。

这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干层次组成，包括所需考虑的准则和子准则。

它可以由若干层次组成，包括所需考虑的准则和子准则。

最低层：

又称方案层。

这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措最低层：

又称方案层。

这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施，决策方案等。

施，决策方案等。

上述层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，上述层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素，而仅支配其中的部分元素，这种自上它并不支配下一层次的所有元素，而仅支配其中的部分元素，这种自上而下的支配关系所形成的层次结构称为递阶层次结构。

一个典型的层次而下的支配关系所形成的层次结构称为递阶层次结构。

一个典型的层次结构如图结构如图71所示。

所示。

实现方法（实现方法

（1）-递阶层次结构的建递阶层次结构的建立立决策目标决策目标准则准则1准则准则2准则准则m1子准则子准则1子子准则准则2子子准则准则m2方案方案1方案方案2方案方案n递阶层次结构示意图递阶层次结构示意图目标层目标层准则层准则层方案层方案层实现方法（实现方法

（1）-递阶层次结构的建递阶层次结构的建立立在递阶层次结构中层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关，在递阶层次结构中层次数与问题的复杂程度及需分析的详尽程度有关，一般层次不受限制，每一层次中各元素所支配的元素不要超过一般层次不受限制，每一层次中各元素所支配的元素不要超过9个。

因为个。

因为支配元素过多会给两两比较判断带来困难，如果超过支配元素过多会给两两比较判断带来困难，如果超过9个，可以考虑合并个，可以考虑合并一些因素或增加层次数。

无论哪种情况，都要在对问题进行深入研究的一些因素或增加层次数。

无论哪种情况，都要在对问题进行深入研究的情况下进行，以便使之具有一定的合理性。

情况下进行，以便使之具有一定的合理性。

一个递阶层次结构应具有以下特点：

一个递阶层次结构应具有以下特点：

（1）从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。

除目标层外，每从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示。

除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配。

除最后一层外，每个元素至少支配个元素至少受上一层一个元素支配。

除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素，上下层元素的联系比同一层次强，以避免同一层次下一层次一个元素，上下层元素的联系比同一层次强，以避免同一层次中不相邻元素存在支配关系；中不相邻元素存在支配关系；

（2）整个结构中，层次数不受限制；整个结构中，层次数不受限制；（3）最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过9个，个，元素过多时可进一步分组；元素过多时可进一步分组；（4）对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。

对某些具有子层次的结构可引入虚元素，使之成为递阶层次结构。

实现方法（实现方法

（2）-构造两两比较判断矩阵构造两两比较判断矩阵层次分析法的特点之一是定性分析与定量计算相结合，定性问题定量化，第二层次分析法的特点之一是定性分析与定量计算相结合，定性问题定量化，第二步就是要在已有层次结构的基础上构造两两比较的判断矩阵。

在这一步中，决策步就是要在已有层次结构的基础上构造两两比较的判断矩阵。

在这一步中，决策者要反复回答问题，针对准则者要反复回答问题，针对准则C，两个，两个C所支配的元素所支配的元素ui与与uj哪个更重要，重要哪个更重要，重要程度如何，并按程度如何，并按19标度对重要程度赋值。

表标度对重要程度赋值。

表7l给出了给出了19标度的含义。

这样标度的含义。

这样对于准则对于准则C，几个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵，几个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵A（aij）nxn，其中，其中，aij就是元素就是元素ui与与uj相对于相对于C的重要度比值。

的重要度比值。

标度度含含义1ui与与uj具有相同的重要性具有相同的重要性3ui比比uj稍重要稍重要5ui比比uj重要重要7ui比比uj强强烈重要烈重要9ui比比uj极端重要极端重要2，4，6，8ui与与uj重要性之比界于以上相重要性之比界于以上相邻两者之两者之间倒数倒数若若ui与与uj重要性之比重要性之比为aij，则uj与与ui之比之比为aiji=1/aij；实现方法（实现方法

（2）-构造两两比较判断矩阵构造两两比较判断矩阵判断矩阵具有性质：

判断矩阵具有性质：

aijo，aij1/ajiaii=1，i,j=1,2,n具有这种性质的矩阵具有这种性质的矩阵A称为正互反矩阵。

由判断矩阵所具有称为正互反矩阵。

由判断矩阵所具有的性质知，一个的性质知，一个n阶判断矩阵只需给出其上三角或下三角的阶判断矩阵只需给出其上三角或下三角的n（n-1）/2个元素就可以了，即只需作个元素就可以了，即只需作n（n-1）/2次两两比较判断。

次两两比较判断。

若判断矩阵若判断矩阵A同时具有性质：

对任意同时具有性质：

对任意i，j，k，aij=aik*akj，则称，则称A为一致性矩阵。

并不是所有的判断矩阵都具有一为一致性矩阵。

并不是所有的判断矩阵都具有一致性。

事实上，致性。

事实上，AHP中多数判断矩阵中多数判断矩阵（三阶以上三阶以上）不满足一致不满足一致性。

一致性及其检验是性。

一致性及其检验是AHP的重要内容。

的重要内容。

实现方法（实现方法（3）单一准则下元素相对权重计算）单一准则下元素相对权重计算及一致性检验及一致性检验这一步要在第二步的基础上，从给出的每一判断矩阵中求出被比较元素这一步要在第二步的基础上，从给出的每一判断矩阵中求出被比较元素的排序权重向量，并通过一致性检验确定每一判断矩阵是否可以接受。

的排序权重向量，并通过一致性检验确定每一判断矩阵是否可以接受。

（1）权重计算方法权重计算方法根法根法（几何平均法几何平均法）：

将：

将A的各个列向的各个列向量采用几何平均然后归一化，得到的列量采用几何平均然后归一化，得到的列向量近似作为加权向量。

向量近似作为加权向量。

和法：

取判断矩阵和法：

取判断矩阵n个列向量个列向量（针对针对n阶判断矩阵阶判断矩阵）的归一化后算术平均值近的归一化后算术平均值近似作为权重向量，即有似作为权重向量，即有实现方法（实现方法（3）单一准则下元素相对权重计算）单一准则下元素相对权重计算及一致性检验及一致性检验特征根法特征根法（EM）：

求判断矩阵的最大特征根及其对应的右特征向量，分求判断矩阵的最大特征根及其对应的右特征向量，分别称为主特征根与右主特征向量，然后将归一化后的右主特征向量作为别称为主特征根与右主特征向量，然后将归一化后的右主特征向量作为排序权重向量。

排序权重向量。

特征根法的原理和算法特征根法的原理和算法特征根法是特征根法是AHP中提出最早，也最为人们所推崇的方法。

中提出最早，也最为人们所推崇的方法。

除以上方法外还有对数最小二乘法，最小偏差法，梯度特征向量法除以上方法外还有对数最小二乘法，最小偏差法，梯度特征向量法等。

等。

特征根法的原理和算法特征根法的原理和算法设设w0（w1,w2,wn）是是n阶判断矩阵阶判断矩阵A的排序权重向量，当的排序权重向量，当A为一致性为一致性矩阵时，显然有矩阵时，显然有可以验证：

可以验证：

Aw=nw且且n为矩阵为矩阵A的最大特征根，的最大特征根，A的其余的其余特征根为特征根为0，A的秩为的秩为1。

对一般的正。

对一般的正互反矩阵，根据正矩阵的互反矩阵，根据正矩阵的Perron定理定理可知，其最大特征根为正，且它对应可知，其最大特征根为正，且它对应的右特征向量为正向量，最大特征根的右特征向量为正向量，最大特征根max为为A的单特征根，因而它所对应的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。

特征根法是借用数值分析中计一的。

特征根法是借用数值分析中计算正矩阵的最大特征根和特征向量的算正矩阵的最大特征根和特征向量的幂法实现的。

幂法实现的。

一致性检验一致性检验在判断矩阵的构造中，并不要求判断矩阵具有一致性，这是客观事物的复杂性在判断矩阵的构造中，并不