建模教案层次分析.docx
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建模教案层次分析
数学建模——层析分析法
一、层次分析法定义（AHP）
二、层次分析法基本步骤
1、建立层次结构模型
例1、（购物模型）某顾客在购买空调时，看好了A,B.C三种空调，举棋不定。
他的目的是从中选出一个最称心的商品来。
它主要考虑五种因素：
价格、耗电量、售后服务、噪音、款式。
下面建立层次结构模型。
由上到下依次为：
目标层、准则层、方案层。
例2、（旅游模型）某人假期要外出游玩，想去D,D,D三个景点之一。
考虑标准主要有：
景色、费用、居住条件、饮食、交通条件。
构造层次结构模型。
由上到下依次为：
目标层、准则层、方案层。
练习：
（就业模型）某大学生毕业在即，有四个单位A,B,C,D可供选择。
假设她主要考虑如下因素：
1、单位工资待遇；2、单位所在城市；3、继续深造条件；4、发展条件；5、专业爱好。
试建立层次结构模型。
2、构造成对比较矩阵。
*目的：
比较同意层因素对上一层因素的影响，从而确定他们在上层因素中占的权重。
（即他们在你心目中哪个更重要）
*方法：
设有n个因素对上一层目标有影响。
每次取两个因素与比较，用表示与对上层目标的影响比。
*定义1、成对比较矩阵：
，其中。
定义2、正互反矩阵：
n阶成对比较矩阵，其性质：
。
例3、在旅游模型中，设景色、费用、居住、饮食、交通五个因素分别为，某人根据自己的情况，对五个因素逐对金星比较，比较他们对目标层——选择旅游地的重要程度。
令，表示费用与景色对选择旅游地之一目标的重要之比是2；
，表示景色与饮食对选择旅游地这一目标的重要之比是3
依此做下去，一共比较次，矩阵得出这10哥比较结果即可算出整个矩阵。
于是所得到准则层对目标层（第二层对第一层）的正互反矩阵为
。
#
例4、在旅游模型中，设方案层D,D,D各因素对准则层的5个因素分别做比较，可等到5个3阶正互反矩阵。
三个方案分别为，逐对比较它们对景色这一准则的重要程度。
令，即，表示方案D对方案D对景色之一准则的重要之比是1：
2，即方案1的景色更好。
令，即，表示方案D对方案D对景色之一准则的重要之比是1，即方案2与方案3的景色同样好。
依此做下去，于是得到正互反矩阵；
同理可得到方案D,D,D对费用的正互反矩阵；
可得到方案D,D,D对居住的正互反矩阵；
可得到方案D,D,D对饮食的正互反矩阵；
可得到方案D,D,D对交通的正互反矩阵。
*权重的取法
尺度
含义
1
与的影响之比相同
3
与的影响之比梢强
5
与的影响之比强
7
与的影响之比明显的强
9
与的影响之比非常的强
2、4、6、8
与的影响之比在上述两个相邻等级之间
与的影响之比为上面的互反数
3、一致性的相关概念
*定义3：
如果一个正互反矩阵A满足，则称A为一致矩阵，简称一致阵。
例如是一个一致阵。
*阶一致阵的性质：
（1）一致阵的秩一定是1。
它的唯一非零特征根为；
（2）一致阵的任一列（行）向量都是对应于特征根的特征向量。
*判断一致阵的方法：
计算矩阵的最大特征根即可。
若，则B不是一致阵，
且越大，不一致程度越高。
*定义4：
设为一个正向量，称为
的标准化向量。
*计算最大特征根的方法：
，求得为最大特征根，任一列（行）
向量都是对应于特征根的特征向量。
例5、求的最大特征根，特征向量及标准化向量。
解：
，整理得，解得，
故最大特征根是，于是为其特征向量，为标准化向量。
若非一致阵，求最大特征根的方法不变，解，求出的为相应于的特征向量，再标准化成为标准权向量。
（此处可用matlab软件求解）
4、层次单排序和一致性检验
*最终目标：
通过成对比较矩阵，找出各因素对上层某目标的重要性的一个权排序值（权重值大的优先）
列向量标准化
一致矩阵得到的向量为各因素对上一层目标的权向量
成对比较矩阵
若在容许范围内则计算最大特征根及特征向量标准化，令它为权向量
非一致阵
看不一致程度
若不一致程度严重则重新做成对比较矩阵
*一致性检验（看不一致程度）：
设A为n阶成对比较矩阵。
令为一致性矩阵。
当时，A为一致阵；
当越大，A的不一致程度越严重。
*不一致程度的容许范围：
看一致性比率：
当时，A的不一致程度在容许范围内。
其中RI可通过查表得到。
附表1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0.58
0.9
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
例6、检验旅游模型中的准则层对目标层的成对比较矩阵的一致性，并选出其权向量。
解：
的最大特征根，A为非一致阵。
一致阵指标，由，得。
一致性比率，通过了一致性检验。
求出相应于的特征向量并标准化为
，可作权向量。
按照前面做出的成对比较矩阵计算出他们各自的最大的特征根，权向量和一致性指标。
景色
费用
居住
饮食
交通
1
2
3
4
5
0.595
0.082
0.429
0.633
0.166
0.277
0.236
0.429
0.193
0.166
0.129
0.682
0.142
0.175
0.668
3.005
3.002
3
3.009
3
0.003
0.001
0
0.005
0
0.052
0.002
0
0.009
0
均小于0.1，通过了一致性检验。
5、计算组合权向量
方案在准则层中的权向量为
而准则层对目标层的权向量为，于是方案在目标层的组合权重应为，即
；
故各方案对目标的权向量，即组合权向量为
在选择旅游地重要性占0.456%，远大于，，所以选择方案。
6、组合权向量的一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，吃了对每个成对比较矩阵进行一致性检验外，还要常常进行所谓组合一致性检验，以确定组合拳向量是否作为最终的决策依据。
组合权向量检测可逐层进行。
若第p层的一致性指标为，（n是第p-1层因素的数目），随机一致性检验指标为，定义
则第p层的组合一致性比率为
第p层通过组合一致性检验的条件为
定义最下层（第s层）对第一层的组合一致性比率为
对于重大项目，仅当适当地小时，才认为整个层次的比较判别通过一致性检验。
例如，若决策是三层的，第三层一致性指标为，随即一致性指标为，为第二层对第一层的权向量，定义
则第三层对第二层的组合的组合一致性比率为
当时，认为组合权向量通过一致性检验；
第三层对第一层的组合一致性比率为，最后看这一值是否小于0.1
例7、检验上述旅游模型的组合权向量是否通过了一致性检验。
解：
而，故，
组合权向量通过了一致性检验，故可作为最终的决策依据。
总结：
层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型
2、构造成对比较矩阵
3、计算权向量并做一致性检验
4、计算组合权向量并作组合一致性检验。
练习：
你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。
你选择的标准主要有：
价格、耗油量、舒适程度和外表美观。
经反复思考比较，构造了他们之间的成对比较矩阵
三种车型（记为a,b,c）的价格、耗油量、舒适程度和外表美观的成对比较矩阵为
（价格）（耗油量）（舒适）（外表）
（1）根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请按由重到轻的顺序将它们排出。
答：
价格>耗油量>舒适度>美观
（2）你认为哪辆车最便宜、哪辆车最省油、哪辆车最舒适、哪辆车最漂亮。
答：
a车最便宜；b车耗油量最小；a车最舒适；b车最漂亮
（3）用层次分析法确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）。
思路：
1、计算准则层对目标层的最大特征值与特征向量，并进行一致性检验：
，，，，
通过了一致性检验，相应的标准特征向量为
2、计算准则层对目标层的最大特征值与特征向量，并进行一致性检验：
价格
耗油量
舒适
外表
1
2
3
4
0.5397
0.1666
0.6267
0.1884
0.297
0.7396
0.2797
0.7306
0.1633
0.0938
0.0936
0.081
3.0092
3.0143
3.0857
3.065
0.0046
0.0072
0.04285
0.0325
0.008
0.012
0.074
0.056
均通过了一致性检验。
3、计算组合权向量：
，其中
即组合权向量为
4、组合权向量的一致性检验：
，，
而，故，
组合权向量通过了一致性检验，故可作为最终的决策依据。
即b车为最佳选择。
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