对面积的曲面积分.ppt

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111.411.4对面积的对面积的曲面积分曲面积分第十章第十章第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法2实例实例解解第一步第一步:

将将分为许多分为许多极其微小的子域极其微小的子域,以以dS为为代表代表,dS的质量为的质量为:

第二步第二步:

求和取极限求和取极限则则取取所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.光滑光滑的的,它的面密度为连续函数它的面密度为连续函数求它的质量求它的质量.对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入31.定义定义函数函数f（x,y,z）在在上上任意取定的点任意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在这和式的极限存在,则则的最大值的最大值对面积的曲面积分对面积的曲面积分二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义第第i小块曲面的面积小块曲面的面积）,作乘积作乘积设曲面设曲面是光滑的是光滑的,同时也表示同时也表示有界有界.把把任意分成任意分成n小块小块4或或记为记为即即如曲面是如曲面是曲面元素曲面元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成积分曲面积分曲面称称极限为函数极限为函数对面积的曲面积分对面积的曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分.闭曲面闭曲面,对面积的曲面积分对面积的曲面积分52.存在条件存在条件在光滑曲面在光滑曲面上上今后今后,假定假定的曲面积分存在的曲面积分存在.对面积对面积连续连续,对面积的曲面积分对面积的曲面积分3.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质6补充：

第一类面积分对称性补充：

第一类面积分对称性设分片光滑的设分片光滑的x的奇函数的奇函数x的偶函数的偶函数其中其中则则曲面曲面关于关于yOz面对称面对称,对面积的曲面积分对面积的曲面积分74.对面积的曲面积分的几何意义对面积的曲面积分的几何意义空间曲面空间曲面的面积的面积:

5.对面积的曲面积分的物理意义对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数面密度为连续函数的质量的质量M为为:

对面积的曲面积分对面积的曲面积分8则则按照曲面的不同情况分为以下三种：

按照曲面的不同情况分为以下三种：

思想是思想是:

化为二重积分计算化为二重积分计算.

（1）对面积的曲面积分对面积的曲面积分三、三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法9则则则则

（2）（3）对面积的曲面积分对面积的曲面积分10确定投影域并写出确定投影域并写出然后算出曲面面积元素然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入最后将曲面方程代入被积函数被积函数,对面积的曲面积分时对面积的曲面积分时,首先应根据首先应根据化为二化为二曲面曲面选好投影面选好投影面,曲面曲面的方程的方程,重积分进行计算重积分进行计算.对面积的曲面积分对面积的曲面积分11例例解解投影域投影域:

所截得的部分所截得的部分.故故对面积的曲面积分对面积的曲面积分二二重重积积分分的的对对称称性性对称性对称性12解解依依对称性对称性知知例例抛物面抛物面有有对面积的曲面积分对面积的曲面积分被积函数被积函数为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.13极极坐坐标标投影域：

投影域：

对面积的曲面积分对面积的曲面积分积分曲面积分曲面14例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面.对面积的曲面积分对面积的曲面积分15解解投影域投影域对面积的曲面积分对面积的曲面积分例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面.对对称称性性16（左右两片投影相同左右两片投影相同）将将投影域投影域选在选在注注分成左、右两片分成左、右两片对面积的曲面积分对面积的曲面积分对对称称性性17计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面解解的方程的方程方程是方程是:

方程是方程是:

投影域投影域记记上半球面上半球面为为下半球面下半球面为为不是单值的不是单值的.的值的值.对面积的曲面积分对面积的曲面积分18对对上半球上半球得得对对下半球下半球是球面是球面对面积的曲面积分对面积的曲面积分19所以所以极坐标极坐标对面积的曲面积分对面积的曲面积分20计算计算其中其中为球面为球面之位于平面之位于平面曲面曲面的方程的方程在在xOy面上的面上的投影域投影域解解上方的部分上方的部分.对面积的曲面积分对面积的曲面积分21因曲面因曲面于是于是x3是是x的奇函数，的奇函数，x2y是是y的奇函数的奇函数.关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称;对面积的曲面积分对面积的曲面积分22例例解解积分曲面方程积分曲面方程轮换轮换对称对称提示提示即三个变量轮换位置方程不变即三个变量轮换位置方程不变.具有具有轮换对称性轮换对称性,中的变量中的变量x、y、z对面积的曲面积分对面积的曲面积分25对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分对面积的曲面积分四、小结四、小结四步四步:

分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限思想思想:

化为化为二重积分计算二重积分计算;对面积的曲面积分的几何意义与物理意义对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程三种形式的计算公式曲面方程三种形式的计算公式