初中数学教学论文数学教学复习课点线面锥式的教学设计与实践.docx
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初中数学教学论文数学教学复习课点线面锥式的教学设计与实践
初中数学复习课“点、线、面、锥”式的教学设计与实践
本文摘要：
本文在大量复习课研究的基础上，总结出复习课“点、线、面、锥”教学设计法，即四种复习课的基本模式──“点”式复习课、“线”式复习课、“面”式复习课、“锥”式复习课，对四种复习课相应的操作策略加以阐述，并对复习课的有效性进行探讨和展望。
本文关键词：
初中数学复习课教学行为
经常有学生会感觉到这样的困惑：
老师的每一节课他都能听懂，可就是在考试的时候不会做，那么如果我们在复习阶段（包括单元复习、章节复习、阶段复习、中考总复习等）能够有意识的从教师的教学行为方面作出调整，帮助学生建立良好的知识体系，他们的成绩是否会有较大的提升。
基于“知识的遗忘理论”和“思维的最近发展区理论”，我们近两年精心研究复习课，并从教师层面做了一些有益的实践和探索，以下是我们的研究。
一：
当前初中数学复习课的弊端
1、复习课中的学习行为
针对当前初中数学复习课中存在的一种普遍现象：
“注意力不容易集中，对老师的讲课不感兴趣，或者干脆埋头做讲义”等，我们进行了调查与分析。
2、问卷分析
笔者对我校初一、初二、初三年级进行了抽样调查，方式为：
各抽取成绩居中的两个班级，以不记名形式填写调查问卷，问卷全部回收，我们加以认真的分析后得出以下重要结论：
结论一：
抽样调查表明，287名被调查学生中，对数学复习课有兴趣的占51％，其中有直接兴趣的47人，占15％；有间接兴趣的85人，占30％；原来不感兴趣，后因更换老师等原因而产生兴趣的17人，占6％；对数学复习课不感兴趣或兴趣软弱的占49％，其中直接不感兴趣的20人，占7％，原来有兴趣，后来兴趣减退的118人，占42％。
结论二：
数学复习课兴趣比较淡薄的学生数学学习成绩也比较差，可见学习成绩与学习兴趣有着密切的联系。
结论三：
“对数学复习课有兴趣”的51％的同学中，几乎都表现出了对数学老师的教学水平的认同，“原来不感兴趣，后因更换老师等原因而产主兴趣”的6％的同学更是给了我们一个重要提示──学生的数学学习能力往往是与教师的教学能力成正比的。
3、座谈分析
结合问卷分析的基础我们认为有必要与学生开展交流座谈以找出学生“数学复习兴趣淡薄”的主要原因，如果能找到这些原因，那么在学习行为中所表现出来的“难以听懂、学会”的根本也就找到了。
经过座谈我们总结出以下结论：
结论一：
无效重复多。
结论二：
效率低。
结论三：
教师组织教学不得当。
二：
初中数学“点、线、面、锥”式复习课的设计
以往的复习课，基本模式都是──老师首先用几分钟复习概念，接下来就是大量题目的罗列，对于学生而言，整整一个章节甚至一个学期的知识突然以综合重整的面孔出现，学生由于知识的遗忘规律已经将知识大量遗忘，面对无休止的题海折磨，他们谈何成功？
谈何愉悦？
我们思考：
在复习阶段，如果我们能够有意识的去从教师的教学行为方面作出相应的调整，帮助学生建立良好的知识体系，他们的成绩一定会有较大的提升，让复习阶段的效率“事半功倍”。
为此，我们大量研究复习课，总结出复习课“点、线、面、锥”教学设计法，即四种复习课的基本模式──“点”式复习课、“线”式复习课、“面”式复习课、“锥”式复习课。
下面笔者就四种复习课分别加以阐述。
（一）点式复习课
1、点式复习课的定义：
把每一单元或每一章节的具有典型意义的基础知识、基本技能的习题进行集中复习，是一种以追求双基的覆盖性、典型性，让学生从“会”到“对”（技能性）、从“大概”到“肯定”（概念性）的强化性认知体验（或训练）的教学模式，旨在提高双基落实的有效性。
2、“点”式复习课的设计原则：
（1）覆盖性原则：
“点”式复习课意在呈现每一个独立的知识点，因而课前教师要梳理必须掌握的基础知识和必须掌握的基本技能，在复习的过程中应该将所复习的基础内容中的每一个知识点都尽量覆盖到，力争无遗漏。
（2）典型性原则：
复习课例题的选择，应是最有代表性和最能说明问题的典型习题，应能突出重点，反映大纲最主要、最基本的内容和要求，通过复习课学生会清楚知道哪些内容是必须掌握的知识。
（3）公平性原则：
人人都能参与，都能得到及时反馈。
3、“点”式复习课的习题特征：
“点”式习题课习题尽量选择由单个或两个知识点组成的题目，或者对落实双基具有典型意义的例题或习题。
并且标题中有明确的知识指向性，提示学生要注意的问题，让全体学生轻松把好“基础关”。
4、“点”式复习课的教学策略：
上好“点”式复习课遵循“短频快”策略：
即完成习作或思考有时间限制要求并即时进行反馈、检测。
具有反复性或螺旋性的过程，注意错误率比较集中的问题，做好改错反思：
错误是最好的老师，我们要认真的纠正错误，当然，更重要的是寻找错因，及时进行总结，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
5、案例描述
“点”式复习课课例分析
课例内容：
因式分解的基本方法复习
内容说明：
本内容取自浙教版7下第6章“因式分解”，教学时间安排在期末复习阶段，共有两课时复习这一内容，第一课时主要用来复习“因式分解的基本方法”，第二课时安排“因式分解的综和提升”。
本课例是第一个课时的安排。
设计方法：
本节内容采用分解知识点的方法，呈现每一个独立的知识点，选择典型例题，让学生通过训练，准确掌握基本概念和基本方法，并及时加以反馈，通过训练提高双基水平。
设计过程：
为阅读方便，本案例用表格来完成阐述。
复习内容
知识点
例题（略）
因式分解的概念
1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？
哪些不是？
2、利用因式分解与整式乘法的互逆关系求未知数
提取公因式法
1、会找公因式
2、会用提取公因式法分解因式
3、能考虑后续分解
4、用整体法分解因式
5、计算
6、填括号
用平方差公式分解因式
1、会根据公式特点判断一个整式是否可用平方差公式分解因式
2、用平方差公式分解因式
3、与其它分解法共同使用
4、整体法
5、计算
6、用图形法解释平方差公式分解因式
用完全平方公式分解因式
1、会根据公式特点判断一个整式是否可用完全平方公式分解因式
2、用完全平方公式分解因式
3、完全平方式的判定
4、与其它分解法共同使用
5、计算
6、用图形法解释完全平方公式分解因式
因式分解的简单应用
1、多项式除以多项式
2、解方程
3、其它
说明：
以上的每个小环节结束马上进行及时反馈，以“短频快”策略促进复习效率。
（二）线式复习课
1、“线”式复习课的定义：
把某一个知识，沿着知识结构的纵向分布及递进的脉络进行例题（习题）设计，是一种以追求基础知识、基本技能向纵深拓展，让学生对某个知识的重点、难点从“一般掌握”到“熟练掌握”、“一般认识”到“深刻认识”的认知体验与过程的教学模式。
2、“线”式复习课的设计原则：
（1）发散性原则：
注重题目的发散性，善于将例题变式：
从单个知识点向多个知识点发散，对例题进行分析和解答，发挥例题以点带面的作用，有意识有目的地在例题的基础上作系列的变化，达到能挖掘问题的内涵和外延、在变化中巩固知识、在运动中寻找规律的目的，实现复习的知识从量到质的转变。
（2）聚向性原则：
注重习题的本质属性，善于将习题归类──考查同一知识点，可以从不同的角度，采用不同的数学模型，作出多种不同的命题，往往多个答案聚向一个方法。
教师在复习时要善于引导学生将习题归类，集中精力解决同类问题中的本质问题，总结出解这一类问题的方法和规律。
（3）链接性或结构性原则：
在进行“线”式复习课的教学设计时还要注重纵向拓展的知识链不能断,注重思维的最佳选择，善于选择解题思路。
在数学复习时，不仅注意解题的多样性，还重视引导学生分析比较各种解题思路和方法，提炼出最佳解法，从而达到优化复习过程，优化解题思路的目的。
3、“线”式复习课的习题特征:
“线”是复习课注重知识的纵向分布──教师遵循由浅入深，由易到难的一般规律，例题或习题要注重知识的归类、变式、优化。
这样前后连贯，可以使学生在复习过程中对知识的生成与发展重新加以理解，梳理知识，形成网络，对思维的发展起定向作用。
4、“线”式复习课的教学策略：
“线”式复习课要注重变式教学的研究，即题目表达方式不同，但本质基本相同，数量关系，解答方法基本一样。
通过这样的归类训练，学生便能在平时的学习中，注意做有心人，加强方法的积累和归纳，并能分析异同，把知识从一个角度迁移到另一个角度，最终达到常规图形能熟悉、常规结论要记忆、类同方法全套用、独创解法受启发的层次，提高举一反三、触类旁通的能力。
5、案例描述
“线”式复习课课例分析
课例内容：
因式分解的综合复习
内容说明：
同样是“因式分解”复习，但是教学时间安排在了中考总复习阶段，那就要注重知识的纵向分布，注重知识的归类、变式、优化。
设计方法：
尽管本节知识出现在初一年级，但却是初中阶段代数计算的重要工具，因而本节内容采用知识的纵向分布，注重因式分解的后续应用。
设计过程：
为阅读方便，本案例用表格来完成阐述。
复习内容
例题（略）
因式分解的基本方法
因式分解在整式化简中的应用
因式分解在分式化简中的应用
因式分解在解方程中的应用
因式分解的图形表达
（三）“面”式复习课
从认知数学来看，把握数学思想和数学方法是认知的最高境界（层面），因为数学思想“是人们对数学理论和内容的本质的认识”，数学方法“是数学思想的具体化形式”。
数学思想是内隐的，而数学方法是外显的，两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题”。
总之，欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的。
因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法。
笔者把数学思想方法根据教学的需要，分成三个层次（面）：
第一层面，方程思想、函数思想、整体思想、分类思想、数形结合思想、模型思想、统计思想、符号思想等。
第二层次（面）：
类比法、联想法、归纳法、演绎法、猜想法等等。
第三层次（面）：
换元法、待定系数法、配方法、判别式法等等。
1、“面”式复习课的定义：
按数学思想方法的某个层面（主要是指以上三个层面）展开例题（习题）设计，旨在追求让学生正确（较好）把握数学思想方法，是以数学思想方法为载体的一种教学模式。
2、“面”式复习课的设计原则
（1）综合性原则:
“面”式复习课比较适用于综合复习阶段，这种类型的复习应该力求将知识的概念、内涵和外延全部呈现。
不但注重知识的章节内容本身，更要重视知识的迁移使用。
（2）开放性原则:
开放性问题的本质是问题本身所具有的不确定性，其特征是对问题只有原则性的要求，这类问题是依赖于解决问题者的水平转化为确定性问题的，开放性问题应蕴含多个确定性问题。
（3）探究性原则:
重视对学生理解能力和探究能力的相互配合训练、协调发展，注重预感、尝试、归纳、猜想等问题的训练，让学生获得数学探索的经历和体验。
3、“面”式复习课的习题特征
“面”式复习课并不是对以前所教的知识进行简单的回忆和再现。
最主要的是要通过对知识系统复习，抓住基础，使每一章节中的各个知识点联系起来，
找出习题的变化规律、对性质相似之处及不同点等加以概括从而形成完整的知识体系，达到以点成线，以线成面的目的，只有这样学生才能把所学的知识融会贯通。
4、“面”式复习课的教学策略
“面”式复习课的中，要注重合作学习、演讲式学习等多种学习方法的使用，并且题目涉及的知识点要尽量覆盖复习的内容，具有一定的综合性，能体现“通性通法”，并注重一题多解，一题多变，针对性、典型性、灵活性要强．例题教学的目的不是为了求得解答结果，而是通过题目的解答过程为学生掌握分析问题和解决问题的方法提供原型和模式，教学中应重视题目分析过程的作用，引导学生思考题目特点，探索解题思路．例题解答之后，要引导学生反思思考过程，总结解题的经验教训，对一些常用的数学思想方法、解题策略要予以归纳概括，提示学生今后注意运用．
5、案例描述
“面”式复习课课例分析
课例内容：
新情景应用问题
内容说明：
本内容的教学时间安排在中考总复习阶段，本节课注重数学的思想方法的使用，在数学思想方法的指导下，突破问题情境，提炼数学本质，建立数学模型，解决问题。
设计方法：
本节课以“某老师的猪年计划”为教学情境，通过对房价、噪音、采光、绿化、装修等问题的研究，提炼数学模型，解决问题。
设计过程：
新情景应用问题
——LEE老师的猪年计划
问题情境：
猪年到了，LEE老师有一个宏大的计划---买一套房子，可是LEE老师考察了很多楼盘，因为信息量太大一时拿不定主意，今天LEE老师把收集到的信息带来请同学们帮忙考察一下，到底该选择哪个楼盘的那一套住房比较理想？
一：
房价篇：
你能看出哪个楼盘的销售均价（销量）居中一些？
哪两个楼盘销售均价（销量）的差异最大？
相差多少？
根据这张统计图你会提出哪些合理的建议？
设计说明：
本题目意在考察学生的识图能力，会根据图表准确读取信息，并能根据信息作出准确判断。
二：
噪音篇
噪音对人的休息会产生极大的影响，它是以噪音源为圆心在周围圆形范围内形成噪音污染。
天天小区旁边有一条交通要道，在小区的正南900m处形成北偏东30°的夹角，通常汽车发动机可发出最高110分贝的噪音，若小区内不大于50分贝的声音可达噪音标准，噪音每远离音源100m，可降低10分贝，且汽车速度规定不超过40km/h该小区是否会受到噪音影响？
如果受影响，那么影响的时间可持续多久？
该小区受噪音影响最大可达多少分贝？
已知普通机动车发出的噪音最高不超过90分贝,那么该小区是否会受影响?
设计说明：
本题目意在考察统计思想、数形结合思想，在几何图形中提炼出三角函数问题模型，并且通过建立方程模型解决问题。
三：
采光篇
LEE老师选中一套一楼户型，层高为4.5m，其南面阳台的底框距地面1m，开发商现欲在这幢楼前面30m处，另建一幢37米高的楼房，问若新大楼建成后是否影响LEE老师家的采光？
（LEE老师从科学老师那里了解到杭州冬季阳光与地面形成的光照夹角为50°）当这幢楼房高度仍是37米时,为了不影响LEE老师家的采光,两幢楼房至少间距多少米?
当两幢楼房间距不变时,为了不影响LEE老师家的采光,这幢楼房最多可造多高?
设计说明：
本题目意在考察通过联想法、归纳法回归相似三角形知识，需要学生能够从复杂图形中提炼出基本的相似三角形解决问题。
四：
绿化篇
小区给一楼的每户人家分配了一个小花园，LEE老师打算在这个小花园里种共40株小绿化，如下表；设购买小灌木、月季花、杜鹃花分别为x株、x株、y株写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
当每株杜鹃花的批发价p等于0.3元时，要使这40株树苗两年后对小花园的空气净化指数不低于9，应怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买的总费用最低？
最低的总费用是多少元？
当每株杜鹃花批发价格p（元）与购买数量y（株）之间存在关系p=3-0.005y时，求购买树苗的总w（元）与购买小灌木量x（株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）
树苗
每株树苗批发价格（元）
两年后，每株树苗对空气的净化指数
小灌木
0.3
0.4
月季花
0.2
0.1
杜鹃花
p
0.2
设计说明：
本题目需要综合运用函数思想、分类思想、模型思想等数学思想以及待定系数法等数学方法，建立函数关系式解决问题。
五：
装修篇
LEE老师打算在4.5m的房间内造一个1.5m高的小阁楼作储藏室，在设计楼梯时遇到了问题，楼梯间长AB为4.0m，若修建一坡角为30°角的直楼梯DE，楼梯间不够长。
为此，LEE老师请人设计了如图所示的楼梯，保证了每段楼梯的坡角都是30°，若设计AF＝1m，则两段楼梯之间的平台MN应设计多宽？
平台离地面的高MH是多少？
（精确到0.1m）
设计说明：
本题目意在考察学生的归纳推理能力和估算能力----在题目中抽象出等腰三角形这一基本模型，再综合三角函数、方程等基本解题方法解决问题。
（四）“锥”式复习课
1、“锥”式复习课的定义：
以课题学习、项目学习为载体，旨在培养学生社会综合实践能力及更高要求学力的，是以一个支点出发，让学生围绕这个支点主动探索扩散到各个领域的知识（类似于圆锥体）的一种复习提高模式。
2、“锥”式复习课的设计原则
（1）综合性原则:
综合开展研究，强调知识间融合、课内外沟通、校内外联系，引导学生综合地运用数学知识发现问题、研究问题、解决问题。
（2）合作性原则:
“锥”式复习课要给学生提供合作的机会，在教学设计时有意关注不同层面的学生间的合作，促进共同认知，全面提升。
（3）实践性原则:
以教学实践为基础开展课堂研究，在教学实践中，有目的地为学生创建实践的最根本途径——活动，让学生在活动中去发现、认识、理解和发展。
3、“锥”式复习课的习题特征
一般来说，“锥”式复习课的习题有以下特征：
有条件，无结论；有结论，无条件；对条件加以改变再探究结论；对结论加以改变再探究条件变化。
4、“锥”式复习课的教学策略
由于学生的能力取决于教师对学生学习的探索、理解及运用程度，因而巧妙利用没有定论的数学问题，“将疑激疑”，启发学生的思考，尽力去发现、发掘学生的能力，提高学生的综合及实践能力。
5、案例描述
“锥”式复习课课例分析
课例内容：
费马点的探究
内容说明：
本内容取自浙江教育出版社《数学》第四章《命题与证明》第二节《证明》P82中的一道练习题，通过小组的合作，进一步加深对三角形性质以及特殊点的理解，以提高证明解答的水平。
设计方法：
本节内容采用课题学习为教学载体，以小组合作学习的方式进行研究，旨在培养学生社会综合实践能力及更高要求学力水平。
设计过程：
为更具有说服力，本案例用学生的研究报告来呈现。
以下是学生的“原生态”习作，笔者绝没有做任何加工。
“费马点的探究”研究报告
摘要：
（略）
一、引言（略）
我们学习小组经过讨论之后，给出了一个较为简洁的解答：
解：
【方法一】（略）
【方法二】（略）
二、由这道题而引发的思考（略）
三、关于费马点（略）
四、变式（略）
五、总结（略）
笔者说明：
见到这份研究报告，笔者和其他数学教师连连惊叹学生的自主学习能力竟有如此之强！
平时，我们老师会发出抱怨：
为什么学生的学习能力如此差？
其实，作为教师，我们有必要反思自己的教学行为。
有一位名人说过：
“给我一个支点，我就能够翘动地球！
”，那么，我们给学生的是支点么？
三：
关于复习课的总结与思考
1、理论基础
我们进行“点、线、面、锥复习法”的研究是建立在两个理论基础之上的，第一个理论是“知识的遗忘理论”；第二个理论是“思维的最近发展区”理论。
2、上好复习课的其它因素
上好一节复习课，不仅要有教师的精心设计，还有许多其它因素，比如，
要借助同伴交流的优势；要建立和谐的师生关系；平时注重学生的数学兴趣培养等等。
初中生对某一学科的学习兴趣与学习情感密不可分，他们往往不是从理性上认为某学科重要而去学好它，常常因为不喜欢某课任老师而放弃该科的学习。
和谐的师生关系是保证和促进学习的重要因素，特别要对后进生热情辅导，真诚帮助，从精神上多鼓励，学法上多指导，树立他们的自信心，提高学习能力。
3、实际效果
笔者从2006学年下学期开始探索“点、线、面、锥复习法”，下面以笔者所任教的班级的教学成绩为研究样本进行效果阐述：
我校2006届新生共分为10个平行班级，笔者接手了两个新初一平行班的数学教学工作，其中笔者任教的6班成绩最弱，初一第一次期中考试的平均分排名第9，接下去的期末考平均分排名还是第9名，初一下学期的其中和期末考还是没有逃脱第9、第10的排名。
面对这样的成绩，笔者一直在千方百计寻求突破，从新授课的课堂教学、作业的批改反馈、学生的思想交流沟通等方面做了大量的工作，其中最重要的做法就是开始尝试“点、线、面、锥复习法”。
尽管初一下学期并没有马上见效，但笔者坚持到了2007学年，功夫不负有心人2007学年第一学期的期中考试6班终于取得了突破性的进展，平均分一跃上升到年级第1或第2！
并且这个成绩一直保持到2009年初中毕业。
笔者在前行的同时也加以思索，为何“点、线、面、锥复习法”对于平均分的提升有如此实效？
究其本质，主要是各个层次的学生的成绩在复习中都得到了有效提升，因而不但提高了平均分，同时上段学生由于基础更扎实也得以提升，优秀率也一次次在提高！
实践证明了我们的复习方式的有效性。
以上都是我们在教学实践中的积累与探究。
通过有效的科学的教学方法,我们可以在提高后复习效率的同时促进其学习兴趣的重建。
我们会坚持关于教学方法和理念的研究，树立适应时代发展的教学意识,建立行之有效的教学模式,探索出一条行之有效、事半功倍的高效复习之路。
参考文献：
1.周明星《教育创新途径与趋势》中国人事出版社
2.《中学生数学教学参考》2008年3、5期
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