基本的组合计数公式.ppt

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离散数学第12章基本的组合计数公式0606十一月十一月2022202283-83-22前言前言组组合合数数学学是是一一个个古古老老而而又又年年轻轻的的数数学学分支。

分支。

据据传传说说，大大禹禹在在40004000多多年年前前就就观观察察到神龟背上的幻方到神龟背上的幻方.83-83-33前言前言幻幻方方可可以以看看作作是是一一个个33阶阶方方阵阵，其其元元素素是是11到到99的的正正整整数数，每每行行、每每列列以以及及两两条条对对角角线线的的和都是和都是1515。

51937248683-83-44前言前言贾宪北北宋宋数数学学家家（约约1111世世纪纪）著著有有黄黄帝帝九九章章细细草草、算算法法斅斅古古集集斅斅音音“笑笑（“古古算算法法导导引引”）都都已已失失传传。

杨杨辉辉著著详详解解九九章章算算法法（12611261年年）中中曾曾引引贾贾宪宪的的“开开方方作作法法本本源源”图图（即即指指数数为为正正整整数数的的二二项项式式展展开开系系数数表表，现现称称“杨杨辉辉三三角角形形”）和和“增增乘乘开开方方法法”（求求高高次次幂幂的的正正根根法法）。

前前者者比比帕帕斯斯卡卡三三角角形形早早600600年年，后后者者比比霍霍纳纳（WilliamWilliamGeogeGeogeHornerHorner，1786178618371837）的方法（的方法（18191819年）早年）早770770年。

年。

83-83-55前言前言16661666年年莱莱布布尼尼兹兹所所著著组组合合学学论论文文一一书书问问世世，这这是是组组合合数数学学的的第第一一部部专专著著。

书书中中首首次次使使用用了组合论（了组合论（CombinatoricsCombinatorics）一词。

一词。

83-83-66前言前言组组合合数数学学的的蓬蓬勃勃发发展展则则是是在在计计算算机机问问世世和和普普遍遍应应用用之之后后。

由由于于组组合合数数学学涉涉及及面面广广，内内容容庞庞杂杂，并并且且仍仍在在很很快快地地发发展展着着，因因而而还还没没有有一一个个统统一而有效的理论体系。

这与数学分析形成了对照。

一而有效的理论体系。

这与数学分析形成了对照。

83-83-77前言前言组组合合数数学学经经常常使使用用的的方方法法并并不不高高深深复复杂杂。

最最主主要要的的方方法法是是计数时的合理分类和和组合模型的转换。

但但是是，要要学学好好组组合合数数学学并并非非易易事事，既既需需要要一定的数学修养，也要进行相当的训练。

一定的数学修养，也要进行相当的训练。

83-83-88计数问题计数问题计计数数问问题题是是组组合合数数学学研研究究的的主主要要问问题题之之一一。

西西班班牙牙数数学学家家AbrahamAbrahambenbenMeirMeiribnibnEzra（1092Ezra（10921167）1167）和和法法国国数数学学家家、哲哲学学家家、天天文文学学家家LeviLevibenbenGerson（1288Gerson（12881344）1344）是是排排列列与与组组合合领领域域的的两两位位早早期期研研究究者者。

另另外外，法法国国数数学学家家BlaiseBlaisePascalPascal还还发发明明了了一一种种机机械械计计算算器器，这这种种计计算算器器非非常常类类似似于于2020世世纪纪4040年年代代在在数数字字电电子子计计算算机机发发明明之之前前使使用用的的一一种种机机械械计计算算器器。

同同时时，计计数数技技术术在在数数学学和和计计算算机机科科学学中中是是很很重重要要的的，特特别别是是在在数数据据结结构构、算算法法分分析析与与设计设计等后续课程中有非常重要的应用。

等后续课程中有非常重要的应用。

83-83-99内容提要内容提要二项式定理与组合恒等式二项式定理与组合恒等式3多项式定理多项式定理4加法法则与乘法法则加法法则与乘法法则1排列与组合排列与组合283-83-1010本章学习要求本章学习要求重点掌握重点掌握一般掌握一般掌握了解了解111加法法则和原加法法则和原理法则理法则22排列组合的计排列组合的计算算311离散概率离散概率22离散概念的计离散概念的计算公式及性质算公式及性质2二项式定理与组二项式定理与组合恒等式计算合恒等式计算83-83-1111组合问题的处理技巧组合问题的处理技巧n一一对应一一对应n数学归纳法数学归纳法n上下界逼近上下界逼近83-83-1212一一对应与上下界逼近一一对应与上下界逼近例例11在允许移动被切割的物体的情况下，在允许移动被切割的物体的情况下，最少用多少次切割可以将最少用多少次切割可以将333的立的立方体切成方体切成27个单位边长的立方体？

个单位边长的立方体？

中间的小立方体的中间的小立方体的6个面都是切割产生的面，每次切割个面都是切割产生的面，每次切割至多产生一个面，至少需要至多产生一个面，至少需要6次切割。

存在一种切割方次切割。

存在一种切割方法恰好用法恰好用6次切割。

次切割。

例例2100个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？

个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？

方法方法1：

50+25+12+6+3+2+1=99方法方法2：

比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘：

比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘汰汰99人，因此至少需要人，因此至少需要99场比赛场比赛.83-83-131312.112.1加法法则与乘法法则加法法则与乘法法则开胃食品开胃食品主食主食饮料料种类种类价格价格（元元）种类种类价格价格种类种类价格价格玉米片玉米片（Co）2.15汉堡汉堡（H）3.25茶水茶水（T）0.70色拉色拉（Sa）1.90三明治三明治（S）3.65牛奶牛奶（M）0.85鱼排鱼排（F）3.15可乐可乐（C）0.75啤酒啤酒（B）0.75表表1183-83-1414乘法法则乘法法则如如果果一一些些工工作作需需要要tt步步完完成成，第第一一步步有有nn11种种不不同同的的选选择择，第第二二步步有有nn22种种不不同同的的选选择择，第第tt步步有有nntt种种不不同同的的选选择择，那那么么完完成成这这项项工工作作所所有可能的选择种数为：

有可能的选择种数为：

83-83-1515例例1Melissa1Melissa病毒病毒19901990年年，一一种种名名叫叫MelissaMelissa的的病病毒毒利利用用侵侵吞吞系系统统资资源源的的方方法法来来破破坏坏计计算算机机系系统统，通通过过以以含含恶恶意意宏宏的的字字处处理理文文档档为为附附件件的的电电子子邮邮件件传传播播。

当当字字处处理理文文档档被被打打开开时时，宏宏从从用用户户的的地地址址本本中中找找出出前前5050个个地地址址，并并将将病病毒毒转转发发给给他他们们。

用用户户接接收收到到这这些些被被转转发发的的附附件件并并将将字字处处理理文文档档打打开开后后，病病毒毒会会自自动动继继续续转转发发，不不断断往往复复扩扩散散。

病病毒毒非非常常快快速速地地转转发发邮邮件件，将将被被转转发发的的邮邮件件临临时时存存储储在在某某个个磁磁盘盘上上，当当磁磁盘盘占占满满后后，系系统统将将会会死死锁锁甚甚至至崩崩溃溃。

问经过四次转发，共有多少个接收者？

问经过四次转发，共有多少个接收者？

解解根据根据MelissaMelissa病毒的扩散原理，经过四次转发，病毒的扩散原理，经过四次转发，共有共有50505050505050+5050+50505050+5050+5050+50+150+50+1=6377551=6377551个接收者。

个接收者。

83-83-1616例例22在在一一幅幅数数字字图图像像中中，若若每每个个像像素素点点用用88位位进进行行编编码码，问问每个点有多少种不同的取值。

每个点有多少种不同的取值。

分分析析用用88位位进进行行编编码码可可分分为为88个个步步骤骤：

选选择择第第一一位位，选选择择第第二二位位，选选择择第第八八位位。

每每一一个个位位有有两两种种选选择择，故故根根据据乘乘法法原原理理，88位位编编码码共共有有22222222=222222222=288=256=256种取值。

种取值。

解解每个点有每个点有256（=2256（=288）种不同的取值。

种不同的取值。

83-83-1717加法法则加法法则假假定定XX11,XX22,XXtt均均为为集集合合，第第ii个个集集合合XXii有有nnii个个元元素素。

如如XX11,XX22,XXtt为为两两两两不不相相交交的的集集合合，则可以从则可以从XX11,X,X22,XXtt中选出的元素总数为：

中选出的元素总数为：

nn11+n+n22+nntt。

即集合即集合即集合即集合XXXX1111XXXX2222XXXXtttt含有含有含有含有nnnn1111+n+n+n+n2222+nnnntttt个元素。

个元素。

个元素。

个元素。

83-83-1818例例33由由AliceAlice、BenBen、ConnieConnie、DolphDolph、EgbertEgbert和和FranciscoFrancisco六六个个人人组组成成的的委委员员会会，要要选选出出一一个个主主席席、一个秘书和一个出纳员。

一个秘书和一个出纳员。

（11）共有多少种选法？

）共有多少种选法？

（22）若若主主席席必必须须从从AliceAlice和和BenBen种种选选出出，共共有有多多少少种选法？

种选法？

（33）若）若EgbertEgbert必须有职位必须有职位，共有多少种选法？

，共有多少种选法？

（44）若若DolphDolph和和FranciscoFrancisco都都有有职职位位，共共有有多多少少种种选法？

选法？

83-83-1919例例33解解（11）根根据据乘乘法法法法则则，可可能能的的选选法法种种数数为为654=654=120120；（22）法法一一根根据据题题意意，确确定定职职位位可可分分为为33个个步步骤骤：

确确定定主主席席有有22种种选选择择；主主席席选选定定后后，秘秘书书有有55个个人人选选；主主席席和和秘秘书书都都选选定定后后，出出纳纳有有44个个人人选选。

根根据据乘乘法法法则法则，可能的选法种数为，可能的选法种数为254=40254=40；法法二二若若AliceAlice被被选选为为主主席席，共共有有5454=2020种种方方法法确确定定其其他他职职位位；若若BenBen为为主主席席，同同样样有有2020种种方方法法确确定定其其他他职职位位。

由由于于两两种种选选法法得得到到的的集集合合不不相相交交，所所以根据以根据加法法则加法法则，共有，共有202020=4020=40种选法；种选法；83-83-2020例例33解解（续续）（3）（3）法法一一将将确确定定职职位位分分为为33步步：

确确定定EgbertEgbert的的职职位位,有有33种种方方法法；确确定定余余下下的的较较高高职职位位人人选选,有有55个个人人选选；确确定定最最后后一一个个职职位位的的人人选选,有有44个个人人选选。

根根据据乘法法则乘法法则，共有，共有354=60354=60种选法；种选法；法法二二根根据据

（1）

（1）的的结结论论，如如果果EgbertEgbert为为主主席席，有有2020种种方方法法确确定定余余下下的的职职位位；若若EgbertEgbert为为秘秘书书，有有2020种种方方法法确确定定余余下下的的职职位位；若若EgbertEgbert为为出出纳纳员员，也也有有2020种种方方法法确确定定余余下下的的职职位位。

由由于于三三种种选选法法得得到到的的集集合合不相交，根据不相交，根据加法法则加法法则，共有，共有2020202020=6020=60种选法；种选