容器设计问题的数学模型1.docx

容器设计问题的数学模型1.docx

《容器设计问题的数学模型1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《容器设计问题的数学模型1.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

容器设计问题的数学模型1

容器设计问题的数学模型

【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。

生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。

一个容器的设计也是一门学问。

对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。

关键在于：

怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。

这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。

于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。

本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。

模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。

用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件matlab7.0进行处理求解。

1、问题重述

（1）要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r

求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R、h/R的精确值（用整数的有限四则及根式运算的最简形式表示）及他们精确到20位有效数字的近似值。

（2）要设计一个上无盖的容器，由一个半径为R高为H的圆柱放在一个圆锥台上组成的。

圆锥台的上半径为R，下半径为r

求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小的三个比值r/R、h/R、H/R的精确值（意义同题

（1））及他们精确到20位有效数字的近似值。

（3）要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为R

求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值r/L、h/L、H/L、R/L的精确值及它们精确到20位有效数字的近似值。

2、基本假设：

（1）容器设计不考虑美观等诸多因素，即只从省原料的角度进行设计。

（2）容器没有厚度。

（3）只考虑简单的立体图形及其拼接组合容器的情况。

3、符号说明：

R-第一第二问中圆台的上半径，第三问中下面圆台的上半径、第三问中上面圆台的下半径

r-第一第二问中圆台的下半径、第三问中下面圆台的下半径

h-第一第二问中圆台的高度、第三问中下面圆台的高度

H-第二问中圆柱的高度、第三问中上面圆台的高度

L-第三问中上面圆台的上半径

v-容器体积

s-容器表面积

y-所构造函数

k-所构造函数中的常系数

pi-圆周率

d-求偏导数

^-次方

sqrt-根号

4.模型建立及求解与检验

建立：

可以转化为在有约束条件下求解目标函数极值的问题。

（1）在第一小题中，由几何知识容易得出：

容器的表面积,即目标函数为：

容器的容积：

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：

（2）同理，第二、三小题也可通过构造拉格朗日函数求的目标函数的极值。

第二题的表面积，即目标函数为：

约束条件（容器容积）:

v=

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：

第三题的表面积，即目标函数为：

约束条件（容器容积）：

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数

（3）y就是第一、二、三小题的数学模型。

求解与检验：

约束条件与偏微分方程联立求解

（1）在第一小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

y分别对R,r,h,求偏导数dRdrdh,

令dR=0,dr=0,dh=0，得出三条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h）：

共10组解。

舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求

R=-2/7*7^（3/4）/k

r=-2/k

h=-1/7*7^（3/4）*（1+7^（1/2））/k

解得：

r/R=1.6265765616977858609

h/R=1.8228756555322953580

（2）同理，在第二小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

y分别对R,r,h,H求偏导数dRdrdhdH,

令dR=0,dr=0,dh=0,dH=0，得出四条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h、H）：

共10组解。

舍去其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求

R=-2*（-7/3+1/3*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+4/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3）^2）/k

r=-2/k

h=4*（-5/3+1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3）^2）/k

H=2*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3）/k

解得

r/R=2.7423135117210448719

h/R=1.7423135117210448719

H/R=1.2767422798442720210

（3）同理，在第三小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

用y分别对R,r,h,H，L求偏导数dRdrdhdHdL,

令dR=0,dr=0,dh=0,dH=0,dL=0,得出五条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程，未能利用matlab得出答案。

（见附录）

5、模型应用

从对本题三小问的建模过程可知，当一个容器的外观和容积确定以后，其表面积（无盖）存在最小值。

正如上文所推到和验证的，我们可以通过构造拉格朗日函数求出其表面积（无盖）取最小值时，容器的上底半径，下底半径，高等长度要素应满足的比例关系。

进而确定容器的精确形状。

正如本文摘要所叙述的，该模型可作为饮料厂商对其饮料瓶设计的参考。

从而使在饮料瓶容积一定时其表面积尽可能小（我们知道，饮料特别是碳酸饮料，其容器的成本在总成本在占有很大的比重。

因此厂商可以参考本文所建立的数学模型设计容器，从而减低生产的总成本，实现利益最大化。

6、模型评价

优点：

（1）用统一的方法解答各个小问。

（2）总体思路简单明了，所涉及知识较少，可阅读性较强

缺点：

（1）未能求解出第三问的具体答案。

（2）模型中只考虑节省原料而设计容器，忽略了其它因素。

7、附录

Matlab源代码

（1）第一问

>>symsRrhkv

>>

y1=pi*（R^2+（R+r）*sqrt（（R-r）^2+h^2））+k*（（pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R）/3*h-v）;

>>dr=diff（y1,r）

dr=

pi*（（R^2-2*R*r+r^2+h^2）^（1/2）+1/2*（R+r）/（R^2-2*R*r+r^2+h^2）^（1/2）*（-2*R+2*r））+k*（2/3*pi*r+1/3*pi*R）*h

>>dy2=diff（y1,R）

dR=

pi*（2*R+（R^2-2*R*r+r^2+h^2）^（1/2）+1/2*（R+r）/（R^2-2*R*r+r^2+h^2）^（1/2）*（2*R-2*r））+k*（2/3*pi*R+1/3*pi*r）*h

>>dy3=diff（y1,h）

dh=

pi*（R+r）/（R^2-2*R*r+r^2+h^2）^（1/2）*h+k*（1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R）

>>[R,r,h]=solve（dr,dR,dh,'R','r','h'）

R=

0

-2/7*i*7^（3/4）/k

2/7*7^（3/4）/k

2/7*i*7^（3/4）/k

-2/7*7^（3/4）/k

0

0

0

-2*2^（1/2）/k

2*2^（1/2）/k

r=

-2*3^（1/2）/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2*3^（1/2）/k

2*3^（1/2）/k

2*3^（1/2）/k

-8/k

-8/k

h=

-6^（1/2）/k

-1/7*i*7^（3/4）*（1-7^（1/2））/k

1/7*7^（3/4）*（1+7^（1/2））/k

1/7*i*7^（3/4）*（1-7^（1/2））/k

-1/7*7^（3/4）*（1+7^（1/2））/k

6^（1/2）/k

-6^（1/2）/k

6^（1/2）/k

0

0

（2）第二问

>>symsRrhHkv

>>y2=pi*（r^2+（R+r）*（（R-r）^2+h^2）^（1/2））+2*pi*R*H+k*（（pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R）/3*h+pi*R^2*H-v）;

>>dR=diff（y2,R）

dR=

pi*（（（R-r）^2+h^2）^（1/2）+1/2*（R+r）/（（R-r）^2+h^2）^（1/2）*（2*R-2*r））+2*pi*H+k*（（2/3*pi*R+1/3*pi*r）*h+2*pi*R*H）

>>dr=diff（y2,r）

dr=

pi*（2*r+（（R-r）^2+h^2）^（1/2）+1/2*（R+r）/（（R-r）^2+h^2）^（1/2）*（-2*R+2*r））+k*（2/3*pi*r+1/3*pi*R）*h

>>dh=diff（y2,h）

dh=

pi*（R+r）/（（R-r）^2+h^2）^（1/2）*h+k*（1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R）

>>dH=diff（y2,H）

dH=

2*pi*R+k*pi*R^2

>>[R,r,h,H]=solve（dR,dr,dh,dH,'R','r','h','H'）

R=

0

0

-2/k

-2*（-7/3-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3））+2*（1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3-1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）））^2）/k

-2/k

-2*（-7/3+1/3*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+4/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3）^2）/k

-2*（-7/3-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）-i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3））+2*（1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3+1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）））^2）/k

2/5*5^（1/2）/k

-2/5*5^（1/2）/k

2/k

r=

0

0

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

h=

-8/k

-8/k

0

4*（-5/3-1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3））+（1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3-1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）））^2）/k

0

4*（-5/3+1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3）^2）/k

4*（-5/3-1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）-1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3））+（1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3+1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）））^2）/k

4/5*5^（1/2）/k

-4/5*5^（1/2）/k

-4/k

H=

-2*2^（1/2）/k

2*2^（1/2）/k

-（-1+i*3^（1/2））/k

2*（1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3-1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）））/k

（1+i*3^（1/2））/k

2*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）-2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3）/k

2*（1/12*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+1/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3+1/2*i*3^（1/2）*（-1/6*（116+12*93^（1/2））^（1/3）+2/3/（116+12*93^（1/2））^（1/3）））/k

0

0

-2/k

（3）第三问（没解出来）

>>symsRrhHLkv

>>y3=pi*（r^2+（R+r）*（（R-r）^2+h^2）^（1/2））+pi*（L+R）*（（L-R）^2+H^2）^（1/2）+k*（1/3*（pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R）*h+1/3*（pi*R^2+pi*L^2+pi*R*L）*H-v）;

>>dR=diff（y3,R）

dR=

pi*（（（R-r）^2+h^2）^（1/2）+1/2*（R+r）/（（R-r）^2+h^2）^（1/2）*（2*R-2*r））+pi*（（L-R）^2+H^2）^（1/2）+1/2*pi*（L+R）/（（L-R）^2+H^2）^（1/2）*（-2*L+2*R）+k*（（2/3*pi*R+1/3*pi*r）*h+（2/3*pi*R+1/3*pi*L）*H）

>>dr=diff（y3,r）

dr=

pi*（2*r+（（R-r）^2+h^2）^（1/2）+1/2*（R+r）/（（R-r）^2+h^2）^（1/2）*（-2*R+2*r））+k*（2/3*pi*r+1/3*pi*R）*h

>>dh=diff（y3,h）

dh=

pi*（R+r）/（（R-r）^2+h^2）^（1/2）*h+k*（1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R）

>>dH=diff（y3,H）

dH=

pi*（L+R）/（（L-R）^2+H^2）^（1/2）*H+k*（1/3*pi*R^2+1/3*pi*L^2+1/3*pi*R*L）

>>dL=diff（y3,L）

dL=

pi*（（L-R）^2+H^2）^（1/2）+1/2*pi*（L+R）/（（L-R）^2+H^2）^（1/2）*（2*L-2*R）+k*（2/3*pi*L+1/3*pi*R）*H

>>[R,r,h,H,L]=solve（dR,dr,dh,dH,dL,'R','r','h','H','L'）

Warning:

Explicitsolutioncouldnotbefound.

>Insolveat140

Insym.solveat49

R=

[emptysym]

r=

[]

h=

[]

H=

[]

L=

[]

>>