扬州闰土教育高考复习简易逻辑全章教案.docx

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扬州闰土教育高考复习简易逻辑全章教案

扬州闰土教育高考复习---简易逻辑全章教案

第1课时　四种命题

　教学过程

一、问题情境

在我们日常生活中,经常涉及逻辑上的问题.无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要用逻辑用语表达自己的思想,需要用逻辑关系进行判断和推理.

在初中我们已经学过命题的有关概念,下面我们来复习一下.

问题1　下列语句的表述形式有什么特点?

你能判断它们的真假吗?

①若xy=1,则x,y互为倒数;②相似三角形的周长相等;③2+4=5;④如果b≤-1,那么方程x2-2bx+b2+b=0有实数根;⑤3不能被2整除.

二、数学建构

（一）生成概念

问题2　判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系?

①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;

②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等;

③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;

④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.

解　①④为真命题,②③为假命题;①与②、③与④的条件和结论互逆,①与③、②与④的条件和结论互否.

（二）理解概念

1.原命题与逆命题

在两个命题中,如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.

2.原命题与否命题

在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题就叫做互否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的否命题.

3.原命题与逆否命题

在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题就叫做互为逆否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的逆否命题.

（三）巩固概念

关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以这样表述（原命题为“若p则q”）:

（1）交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的逆命题（逆命题为“若q则p”）;

（2）同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的否命题（否命题为“若非p则非q”）;

（3）交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是原命题的逆否命题（逆否命题为“若非q则非p”）.

三、数学运用

【例1】　（根据教材第6页例1改编）写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.（见学生用书P1）

[处理建议]　先让学生叙述原命题的条件和结论,再对照定义进行解答.

[规范板书]　解　原命题:

若a=0,则ab=0（真命题）;

逆命题:

若ab=0,则a=0（假命题）;

否命题:

若a≠0,则ab≠0（假命题）;

逆否命题:

若ab≠0,则a≠0（真命题）.

[题后反思]　原命题为真命题,它的逆命题、否命题不一定为真命题,但它的逆否命题一定为真命题.

【例2】　（根据教材第6页例2改编）把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.（见学生用书P2）

（1）两个全等的三角形的三边对应相等;

（2）四边相等的四边形是正方形;

（3）负数的平方是正数.

[处理建议]　先让学生分析原命题的条件p和结论q,然后写出逆命题、否命题、逆否命题,对（3）中的条件和结论引导学生得到不同的写法.

[规范板书]　解　

（1）原命题:

若两个三角形全等,则这两个三角形的三边对应相等（真命题）;

逆命题:

若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等（真命题）;

否命题:

若两个三角形不全等,则这两个三角形的三边不对应相等（真命题）;

逆否命题:

若两个三角形的三边不对应相等,则这两个三角形不全等（真命题）.

（2）原命题:

若一个四边形的四边相等,则它是正方形（假命题）;

逆命题:

若一个四边形是正方形,则它的四条边相等（真命题）;

否命题:

若一个四边形的四边不相等,则它不是正方形（真命题）;

逆否命题:

若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等（假命题）.

（3）原命题:

若一个数是负数,则它的平方是正数（真命题）;

逆命题:

若一个数的平方是正数,则它是负数（假命题）;

否命题:

若一个数不是负数,则它的平方不是正数（假命题）;

逆否命题:

若一个数的平方不是正数,则它不是负数（真命题）.

问题3　第（3）问还有其他写法吗?

解　原命题:

若一个数是负数的平方,则这个数是正数（真命题）;

逆命题:

若一个数是正数,则它是负数的平方（假命题）;

否命题:

若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数（假命题）;

逆否命题:

若一个数不是正数,则它不是负数的平方（真命题）.

[题后反思]　两个互为逆否的命题同真或同假（如:

原命题和逆否命题,逆命题和否命题）,其余情况则不一定同真或同假（如:

原命题和逆命题,否命题和逆否命题等）.

问题4　逆命题与否命题,逆命题与逆否命题,否命题与逆否命题之间又有什么关系呢?

结论:

四种命题之间的关系如下图所示.

*【例3】　已知原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.

[处理建议]　“当c>0时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是“a>b”,结论是“ac>bc”.

[规范板书]　解　逆命题:

当c>0时,若ac>bc,则a>b（真命题）;

否命题:

当c>0时,若a≤b,则ac≤bc（真命题）;

逆否命题:

当c>0时,若ac≤bc,则a≤b（真命题）.

四、课堂练习

1.将命题“平行四边形的对角相等”写成“若p则q”的形式为若一个四边形是平行四边形,则它的对角相等.

2.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题:

若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0.

提示　“且”与“或”的否定分别为“或”与“且”.

3.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是若a≤b,则2a≤2b-1.

4.写出命题“若a和b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.

解　逆命题:

若a+b是偶数,则a和b都是偶数（假命题）;

否命题:

若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数（假命题）;

逆否命题:

若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数（真命题）.

五、课堂小结

1.四种命题的准确表达及其相互关系.

2.等价转化的思想:

互为逆否命题的两个命题同真同假的应用.

第2课时　充分条件和必要条件

（1）

　教学过程

一、问题情境

请判断下列命题的真假:

①若a>b,则ac>bc（假命题）;

②若x≥0,则x2≥0（真命题）.

二、数学建构

1.推断符号“⇒”的含义

例如上述②为真命题,由p经过推理可以得出q,即如果p成立,那么q一定成立,此时可记作“p⇒q”.

又例如上述①为假命题,由p经过推理得不出q,即如果p成立,推不出q成立,此时可记作“p⇒/q”.

用推断符号“⇒”写出下列命题:

（1）若a>b,则a+c>b+c;

（2）若x≥0,则x2≥0.

2.充分条件与必要条件

一般地,如果已知p⇒q,那么就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.

（1）上述定义中,“p⇒q”即如果具备了条件p,就足以保证q成立,所以p是q的充分条件,这点容易理解.但同时说q是p的必要条件,这是为什么呢?

（2）应注意条件和结论是相对而言的,“p⇒q”的等价命题是“􀱑q⇒􀱑p”,即若q不成立,则p就不成立,故q就是p成立的必要条件了.但还必须注意:

当q成立时,p可能成立,也可能不成立,即q成立不能保证p一定成立.

（3）如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢?

充分性　说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.“有之必成立,无之未必不成立”.

必要性　必要就是必须,必不可少.它满足上述的“若非q则非p”为真（即􀱑q⇒􀱑p）的形式.“有之未必成立,无之必不成立”.

3.充要条件　

如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.

（1）符号“⇔”叫做等价符号.“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”.

（2）“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.

说出下列问题中的条件与结论之间的关系:

（1）若a>b,则a+c>b+c;

（2）若x≥0,则x2≥0;

（3）若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.

三、数学运用

【例1】　（教材第7页例1）指出下列命题中,p是q的什么条件.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种）

（1）p:

x-1=0,q:

（x-1）（x+2）=0;

（2）p:

两直线平行,q:

内错角相等;

（3）p:

a>b,q:

a2>b2;

（4）p:

四边形的四条边相等,q:

四边形是正方形.（见学生用书P3）

[处理建议]　本题是本节课知识的初步应用.由学生根据以前的数学知识,判断p,q之间的推理关系.

[规范板书]　解　

（1）因为x-1=0⇒（x-1）（x+2）=0,但（x-1）（x+2）=0⇒/x-1=0,所以p是q的充分不必要条件.

（2）因为两条直线平行⇔内错角相等,所以p是q的充要条件.

（3）因为a>b⇒/　a2>b2,且a2>b2⇒/　a>b,所以p是q的既不充分又不必要条件.

（4）因为四边形是正方形⇒四边形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以p是q的必要不充分条件.

[题后反思]　本题直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件.如果由原命题直接判断不方便,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.

【例2】　

（1）若c∈R,则“c=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点”的什么条件?

（2）对于函数y=f（x）,x∈R,“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的什么条件?

（见学生用书P4）

[处理建议]　

（1）可直接由函数图象过原点的等价条件来判断;

（2）综合考查了奇函数、偶函数的性质及图象,可通过举反例来说明p⇒/q.

[规范板书]　解　

（1）若c=0,则f（x）=ax2+bx（a≠0）,当x=0时,y=f（0）=0,因此函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的图象过原点,故充分性成立.

（2）因为函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点,所以f（0）=0,即c=0,故必要性成立.

综上,“c=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点”的充要条件.

（2）若y=f（x）是奇函数,则对任意的x∈R,均有f（-x）=-f（x）,即|f（-x）|=|-f（x）|=|f（x）|,所以y=|f（x）|是偶函数,即y=|f（x）|的图象关于y轴对称,故必要性成立.

若y=|f（x）|的图象关于y轴对称,则不能得出y=f（x）一定是奇函数.如:

y=|cosx|,显然其图象关于y轴对称,但y=cosx是偶函数.故充分性不成立.

综上,“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要不充分条件.

[题后反思]　由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,知命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类:

①充分不必要条件,即p⇒q,而q⇒/p;

②必要不充分条件,即p⇐q,而p⇒/q;

③充要条件,既有p⇒q,又有q⇒p;

④既不充分又不必要条件,既有p⇒/q,又有q⇒/p.

*【例3】　已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>3},则命题“x∈A”是命题“x∈B”的什么条件?

[规范板书]　解　充分不必要条件.

变式1　已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分条件,则a的取值范围是　（-∞,5]　. 

变式2　已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围是　（-∞,5）　. 

[题后反思]　一个问题总是有正反两个方面,变式考查的是已知命题的充分必要性求原命题中参数的取值范围,提醒学生注意临界值.

四、课堂练习

1.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的　充要　条件. 

2.从“⇒”“⇔”中选择适当的符号填空.

（1）a,b都是奇数　⇒　a+b是偶数; 

（2）x2=x+2　⇔　|x|=

. 

3.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空.

（1）“φ=0”是“函数f（x）=sin（x+φ）为奇函数”的充分不必要条件;

（2）“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件;

（3）“0

”的既不充分又不必要条件;

（4）“x>0”是“x+

≥2”的充要条件.

五、课堂小结

1.对充分条件和必要条件概念的理解.

2.对充分条件和必要条件的判断.

第3课时　充分条件和必要条件

（2）

　教学过程

一、问题情境

对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?

二、数学建构

1.充要条件

如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.

（1）符号“⇔”叫做等价符号,“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”;

（2）“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.

2.充要条件的判断方法

四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:

（1）确定条件是什么,结论是什么;

（2）尝试从条件推出结论,从结论推出条件（方法有直接证法或间接证法）;

（3）确定条件是结论的什么条件;

（4）充要性包含:

充分性p⇒q,必要性q⇒p,这两个方面,缺一不可.

三、数学运用

【例1】　若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M是Q的什么条件?

（见学生用书P5）

[处理建议]　引导学生用推导符号先表示出它们的关系.

[规范板书]　解　由题意可知M⇒N⇔P⇒Q,显然M是Q的充分不必要条件.

[题后反思]　命题的充分必要性具有传递性.

【例2】　若不等式|x-a|<2成立的充分不必要条件是1

[处理建议]　先求出|x-a|<2的解集,再由其解集与{x|1

[规范板书]　解　由|x-a|<2,得a-2

由题意得

（等号不能同时成立）,解得1≤a≤3.

因此,实数a的取值范围是[1,3].

[题后反思]　给定两个条件p,q,集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}.

①若p为q的充分条件,q为p的必要条件,则A⊆B;

②若q为p的充分条件,p为q的必要条件,则B⊆A.

【例3】　求证:

实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.

（见学生用书P6）

[处理建议]　要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明什么命题,分清两种情况下的条件和结论各是什么.

[规范板书]　证明　①充分性:

因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,

所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.

因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.

②必要性:

因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.

因为x1·x2=q,所以q<0.

由①②,原命题得证.

[题后反思]　证明充要条件,实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明:

（1）原命题和否命题都成立;

（2）逆否命题和逆命题都成立;（3）逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想,就能使思路更广阔,方法更灵活,复杂问题简单化.

*【例4】　求证:

对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.

[处理建议]　要证明必要不充分条件,就是要证明两个方面,一个是必要条件,另一个是不充分条件.结合上题引导学生证明不充分性.

[规范板书]　证明　必要性:

对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.

故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.

不充分性:

对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,

故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.

综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.

[题后反思]　

（1）判断p是q的什么条件,常用的方法是验证由p能否推出q,由q能否推出p,对于否定性命题,注意利用等价命题来判断.

（2）证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的命题的证明:

A⇒B证明了必要性;B⇒A证明了充分性.“A是B的充要条件”的命题的证明:

A⇒B证明了充分性;B⇒A证明了必要性.

四、课堂练习

1.“xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充要条件.

2.“A∩B=A”是“A=B”的必要不充分条件.

3.已知p:

x+y≠-2,q:

x,y不都是-1,那么p是q的充分不必要条件.

4.求证:

函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.

证明　充分性:

若b=0,则f（x）=ax2+c,所以f（-x）=a（-x）2+c=ax2+c=f（x）,故f（x）为偶函数;

必要性:

若f（x）为偶函数,则f（x）=f（-x）,即ax2+bx+c=a（-x）2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.

综上,函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.

五、课堂小结

1.“充要条件”的判定方法.

2.理解充要条件的含义并解决有关问题.

第4课时　简单的逻辑联结词

　教学过程

一、问题情境

考察下列命题:

（1）6是2的倍数或6是3的倍数;

（2）6是2的倍数且6是3的倍数;

（3）

不是有理数.

二、数学建构

问题1　这些命题的构成各有什么特点?

命题

（1）是用“或”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;

命题

（2）是用“且”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;

命题（3）是对命题“

是有理数”进行否定而成的新命题,在逻辑上常用“非”来表示.

概念　逻辑联结词:

“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.

不含逻辑联结词,是简单命题;由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题.

我们常用小写拉丁字母p,q,r,…表示命题.

命题

（1）的构成形式为“p或q”;

命题

（2）的构成形式为“p且q”;

命题（3）的构成形式为“非p”.

1.将逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“交”“并”“补”比较记忆.

构成形式

符号表示

读　　法

对应集合

p或q

p∨q

“∨”读作“析取”,表示“或者”

并集

p且q

p∧q

“∧”读作“合取”,表示“且”

交集

非p

􀱑p

“􀱑”读作“非”或“并非”,表示“否定”

补集

　　2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解

（1）对“或”的理解:

逻辑联结词的“或”与一般连词之间是有区别的.例如:

在“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中,“或”是一般连词;而“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”中,“或”是逻辑联结词,是两者至少选一个的意思,这与并集中的“或”有相同之处,A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（2）对“且”的理解:

“且”的含义可以联想到交集的概念,A∩B={x|x∈A且x∈B},A∩B中的“且”是指“x∈A”“x∈B”两个条件都要满足的意思.

（3）对“非”的理解:

非的含义是否定,非p也称为命题p的否定.由“非”可以联想到补集的概念,∁UA={x∈U且x∉A}.

3.“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中,p,q都是命题.而“若p则q”中的p,q可以是命题,也可以是其他的语句.

4.思考:

命题的否定与否命题是一回事吗?

不一样.“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定,而“命题的否定”只是否定命题的结论.

注:

在考虑命题“非p”时,往往需要对一些词语进行否定,常见的一些词语的否定词如下表所示.

原词语

是

都是

完全

负数

所有的

否定词语

不是

不都是

不完全

非负数

至少一个不

原词语

任意的

任意两个

所有的

能

至多n个

否定词语

某个

某两个

某些

不能

至少n+1个

原词语

等于（=）

大于（>）

小于（<）

至少一个

至多一个

否定词语

不等于（≠）

不大于（≤）

不小于（≥）

一个也没有

至少两个

　　问题2　判断含有逻辑联结词的命题的真假,观察并寻找规律.

基本规律:

“或”“且”“非”构成命题的真假判断方法（复合命题真假判断表）.

①“非p”形式的复合命题的真假可以用下表表示:

p

非p

真

假

假

真

　　②“p且q”形式的复合命题的真假可以用下表表示:

p

q

p且q

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

　　③“p或q”形式的复合命题的真假可以用下表表示:

p

q

p或q

真

真

真

真

假

真

假

真

真

假

假

假

　　判断一个复合命题的真假,一般有三个步骤:

①确定复合命题的构成形式及其中简单命题的内容;

②判断各简单命题的真假;

③利用上面真值表判断复合命题的真假.

三、数学运用

【例1】　（教材第10页例1）分别指出下列命题的形式:

（1）8≥7;

（2）2是偶数且2是质数;

（3）π不是整数.（见学生用书P7）

[处理建议]　引导学生结合逻辑联结词的含义,说出简单命题.

[规范板书]　解　

（1）这个命题是“p或q”的形式,其中,p:

8>7,q:

8=7.

（2）这个命题是“p且q”的形式,其中,p:

2是偶数,q:

2是质数.

（3）这个命题是“非p”的形式,其中,p:

π是整数.

[题后反思]　本题对含逻辑联结词的三种形式作了概括,学生能模仿即可.

【例2】　分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题.

（1）p:

π是无理数,q:

e不是无理数;

（2）p:

方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:

方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;

（3）p:

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:

三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.（见学生用书P8）

[规范板书]　解　

（1）“p或q”:

π是无理数或e不是无理数;

“p且q”:

π是无理数且e不是无理数;

“非p”:

π不是无理数.

（2）“p或q”:

方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;

“p且q”:

方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;

“非p”:

方程x2+2x+1=0没有