02第二讲线性变换及其矩阵精.docx
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02第二讲线性变换及其矩阵精
（3
定理:
n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同
基下的矩阵。
[证明]必要性:
已知A和B相似,即存在可逆矩阵P使1
BPAP-=选取一个基{}12,,,nxxx,定义[][]1212,,,,,,nnTxxxxxxA=
考虑'''
1212,,,,,,nnxxxxxxP⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦可作为基,且
[]'''
1212,,,,,,nnTxxxTxxxP⎡⎤=⎣⎦
[]12,,,nxxxAP='
'
'
1
12,,,nxxxPAP-⎡⎤=⎣⎦'
'
'
12,,,nxxxB⎡⎤=⎣⎦
∴A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。
充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。
矩阵对角化
对任何线性空间,给定基后,我们对元素进行线性变换或线性运算时,只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可,因此,在后面的内容中着重研究矩阵和向量。
对角矩阵的形式比较简单,处理起来较方便,比如求解矩阵方程Axb=时,将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。
以前我们学习过相似变化对角化。
那么,一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢?
或者对角化需要什么样的条件呢?
如果不能对角化,我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢?
一、特征征值与特征向量
1.定义:
对m阶方阵A,若存在数λ,及非零向量（列向量x,使得Axxλ=,
则称λ为A的特征值,x为A的属于特征值λ的特征向量。
∙特征值不唯一∙特征向量非零
∙（0IAxλ-=有非零解,则det（0IAλ-=,称det（IAλ-为
A的多项式。
[例1]1
2
22
122
2
1A⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求其特征值和特征向量。
[解]1
22
det（2
1202
21
IAλλλλ----=---=---2
（1（50λλ+-=
121λλ==-35λ=
属于特征值1λ=-的特征向量（0IAx--=
1232222220222ξξξ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1230ξξξ++=
11
22312
ξξξξξξξ=⎧⎪
=⎨⎪=--⎩可取基础解系为1101x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2011x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
属于5λ=的特征向量（50
IAx-=1234222420224ξξξ--⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123
ξξξ==
可取基础解系为3111x⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2.矩阵的迹与行列式1
n
ii
itrAa
==
∑所有对角元素之和
1
det
ni
iAλ==∏1
n
i
itrAλ==∑
3.两个定理
（1设A、B分别为mn⨯和nm⨯阶矩阵,则（（trABtrBA=
（2sylvster定理:
设A、B分别为mn⨯和nm⨯阶矩阵,则
det（det（mnmnIABIBAλλλ--=-
即:
AB与BA的特征值只差零特征值的个数,非零特征值相同。
二、矩阵对角化的充要条件定理:
n阶方阵A可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n个线性无关的特
征向量。
[证明]充分性:
已知A具有n个线性无关的特征向量12,,,nxxx,则iiiAxxλ=1,2,,in=[][]121122nnnAxxxxxxλλλ=
[]1
2
1
2
00nnxxxλλλ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦12,,,nxxx线性无关,故[]1
2nPxxx=为满秩矩阵,
令Λ=12
00nλλλ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
则有
APP=Λ
1
PAP-=Λ
0λ1λ2−1必要性：
必要性：
已知存在可逆方阵P，使PAP=Λ=O0λn将P写成列向量P=[P1P2LPn]，Pn为n维列向量[AP1∴AP2LAPn]=[λ1P1λ2P2LλnPn]可见，的特征值，i的特征向量，可见，λi为A的特征值，P为A的特征向量，A具有n个线性无关的特征向量。
个线性无关的特征向量。
推论：
个互异的特征值，则必可对角化。
充分条件）（充分条件推论：
n阶方阵有n个互异的特征值，则必可对角化。
充分条件）（三、内积空间1.Euclid空间实线性空间（，对于设V是实线性空间（k∈R）对于V中任何两个元素x、y均按某一规则，存在一个实数与之对应，存在一个实数与之对应，记为（x,y，若它满足
（1）交换律）
（2）分配律）（3）齐次律）（4）非负性）（x,y=（y,x（x,y+z=（x,y+（x,z（kx,y=k（x,y（x,x≥0，当且仅当x=0时，（x,x=0的内积，空间。
则称（x,y为x与y的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid空间。
对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。
维向量空间为例：
的数量积就满足以上四条性质，构成内积。
以n维向量空间为例：
x=[ξ1ξ2Lξn]，y=[η1η2Lηn]TT可定义内积（x,y=
（1）（x,y=）n∑wξηi=1nniii它满足内积的四条性质：
（wi>0，它满足内积的四条性质：
∑wiξiηi=∑wiηiξi=（y,xi=1i=111
（2）（x,y+z=）（3）（kx,y=）（4）（x,x=）n∑wiξi（ηi+ςi=∑wiξiηi+∑wiξiςi=（x,y+（x,zi=1i=1i=1iiinnn∑w（kξηi=1n2ii=k∑wiξiηi=k（x,yi=1n∑wξi=1≥0当且仅当xi=0时，（x,x=0w1T该内积可写为：
该内积可写为：
（x,y=xWy，其中W=0Tw20Own更一般的，也满足内积的定义。
更一般的，对实对称正定矩阵A，（x,y=xAy也满足内积的定义。
正定：
）特征值全为正（）（正定：
1）特征值全为正
（2）各阶顺序主子式大于02.酉空间：
酉空间：
复线性空间（，对于设V是复线性空间（k∈C）对于V中任何两个元素x、y均按某一规则，存在一个复数与之对应，存在一个复数与之对应，记为（x,y，若它满足
（1）交换律）
（2）分配律）（3）齐次律）（4）非负性）（x,y=（y,x（x,y+z=（x,y+（x,z（kx,y=k（x,yor（x,ky=k（x,y（x,x≥0，当且仅当x=0时，（x,x=0的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。
则称（x,y为x与y的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。
以n维向量空间为例，A为厄米（A=A）正定（xAx>0）矩阵，维向量空间为例，为厄米（正定（矩阵，HH（x,y=xTAy=∑∑ξiaijηji=1j=1nn较常见的比如A=diag[w1最简单：
最简单：
实复w2Lwn]，wi>0（x,y=xTy（x,y=xTy12
3.正交性：
若（x,y=0，则称x与y正交。
正交性：
正交。
x与y的夹角：
cosα=的夹角：
4.Gram-Schmidt正交化手续（x,y的夹角。
，α称为x与y的夹角。
|x||y|为一组线性无关的元素或向量，设x1,x2,L,xn为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操：
作（正交规范化或正交单位化）正交规范化或正交单位化）1oy1='x1|x1|正交，选择合适的k21使x2与y1正交，'2ox2=x2+k21y1'（x2,y1=（x2,y1+k21（y1,y1=0k21=−（x2,y13ox3=x3+k31y1+k32y2'''（x3,y1=（x3,y2=0'x2y2='|x2|选择k31、k32使x3与y1和y2均正交''（x3,y1=（x3,y1+k31=0→k31=−（x3,y1'（x3,y2=（x3,y2+k32=0→k32=−（x3,y2'x3y3='|x3|一般的，一般的，x=xi+'i∑kj=1i−1ijyji=1,2,L,nxi'yi='|xi|kij=−（xi,yj0y1,y2,L,yn成为一组正交归一化向量：
（yi,yj=δij=成为一组正交归一化向量：
1i≠ji=j为一组基元素，成为标准正交基。
若x1,x2,L,xn为一组基元素，则y1,y2,L,yn成为标准正交基。
作业：
P77－78，1、2、4、7作业：
P106－1071（1（2,2,4,5,13
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