02第二讲线性变换及其矩阵精.docx

1、02第二讲线性变换及其矩阵精 (3 定理:n 阶方阵A 和B 相似的充要条件是A 和B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。 证明 必要性:已知A 和B 相似,即存在可逆矩阵P 使1B P AP -= 选取一个基12,n x x x ,定义1212,n n T x x x x x x A =考虑1212,n n x x x x x x P = 可作为基,且1212,n n T x x x T x x x P =12,n x x x AP = 112,n x x x P AP -= 12,n x x x B =A 和B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 矩阵对角

2、化对任何线性空间,给定基后,我们对元素进行线性变换或线性运算时,只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可,因此,在后面的内容中着重研究矩阵和向量。对角矩阵的形式比较简单,处理起来较方便,比如求解矩阵方程Ax b =时,将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。以前我们学习过相似变化对角化。那么,一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢?或者对角化需要什么样的条件呢?如果不能对角化,我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢?一、 特征征值与特征向量1. 定义:对m 阶方阵A ,若存在数,及非零向量(列向量x ,使得Ax x =,则称为A 的特征值,x 为A 的属于特征值的特征向量。 特征值不唯一 特

3、征向量非零(0I A x -=有非零解,则det(0I A -=,称det(I A -为A 的多项式。例1 122212221A =,求其特征值和特征向量。 解 122det(2120221I A -=-=- 2(1(50+-=121=- 35=属于特征值1=-的特征向量 (0I A x -=1232222220222= 1230+=1122312=- 可取基础解系为 1101x =- 2011x =-属于5=的特征向量 (50I A x -= 1234222420224-=- 123=可取基础解系为 3111x =2. 矩阵的迹与行列式 1niii trA a= 所有对角元素之和1d e t

4、n ii A = 1nii t r A =3. 两个定理(1 设A 、B 分别为m n 和n m 阶矩阵,则 (tr AB tr BA =(2sylvster 定理:设A 、B 分别为m n 和n m 阶矩阵,则det(det(m n m n I AB I BA -=-即:AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数,非零特征值相同。二、 矩阵对角化的充要条件 定理:n 阶方阵A 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n 个线性无关的特征向量。 证明 充分性:已知A 具有n 个线性无关的特征向量12,n x x x ,则 i i i Ax x = 1,2,i n = 121122n n n A x

5、 x x x x x =121200n n x x x = 12,n x x x 线性无关,故12n P x x x = 为满秩矩阵,令=1200n ,则有AP P =1P AP -=0 1 2 1 必要性： 必要性：已知存在可逆方阵 P ，使 P AP = = O 0 n 将 P 写成列向量 P = P 1 P2 L Pn ， Pn 为 n 维列向量 AP1 AP2 L APn = 1P1 2 P2 L n Pn 可见， 的特征值， i 的特征向量， 可见， i 为 A 的特征值， P 为 A 的特征向量， A 具有 n 个线性无关的特征向量。 个线性无关的特征向量。 推论： 个互异的特征值

6、，则必可对角化。 充分条件） （充分条件 推论： n 阶方阵有 n 个互异的特征值，则必可对角化。 充分条件） （ 三、 内积空间 1. Euclid 空间 实线性空间（ ，对于 设 V 是实线性空间（ k R ） 对于 V 中任何两个元素 x 、 y 均按某一规则 ， 存在一个实数与之对应， 存在一个实数与之对应，记为 ( x , y ，若它满足 （1）交换律 ） （2）分配律 ） （3）齐次律 ） （4）非负性 ） ( x, y = ( y, x ( x , y + z = ( x , y + ( x, z ( kx, y = k ( x, y ( x, x 0 ，当且仅当 x = 0 时

7、， ( x, x = 0 的内积， 空间。 则称 ( x , y 为 x 与 y 的内积，定义了内积的实线性空间称为 Euclid 空间。 对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积， 对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间 的数量积就满足以上四条性质，构成内积。 维向量空间为例： 的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以 n 维向量空间为例： x = 1 2 L n ， y = 1 2 L n T T 可定义内积 ( x , y = （1） ( x , y = ） n w i =1 n n i i i 它满足内积的四条性质： ( wi 0 ，它满足内积的四条性质： w

8、iii = wiii = ( y, x i =1 i =1 11 （2） ( x , y + z = ） （3） ( kx , y = ） （4） ( x , x = ） n wii (i + i = wiii + wii i = ( x, y + ( x, z i =1 i =1 i =1 i i i n n n w (k i =1 n 2 i i = k wi ii =k ( x, y i =1 n w i =1 0 当且仅当 xi = 0 时， ( x , x = 0 w1 T 该内积可写为： 该内积可写为： ( x , y = x Wy ，其中 W = 0 T w2 0 O wn 更一

9、般的， 也满足内积的定义。 更一般的，对实对称正定矩阵 A ， ( x , y = x Ay 也满足内积的定义。 正定： ）特征值全为正（ ） （ 正定： 1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于 0 2. 酉空间： 酉空间： 复线性空间（ ，对于 设 V 是复线性空间（ k C ） 对于 V 中任何两个元素 x 、 y 均按某一规则 ， 存在一个复数与之对应， 存在一个复数与之对应，记为 ( x , y ，若它满足 （1）交换律 ） （2）分配律 ） （3）齐次律 ） （4）非负性 ） ( x, y = ( y , x ( x , y + z = ( x , y + ( x, z ( kx,

10、 y = k ( x, y or ( x, ky = k ( x, y ( x, x 0 ，当且仅当 x = 0 时， ( x, x = 0 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。 则称 ( x , y 为 x 与 y 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。 以 n 维向量空间为例， A 为厄米（ A = A ）正定（ x Ax 0 ）矩阵， 维向量空间为例， 为厄米（ 正定（ 矩阵， H H ( x, y = xT Ay = i aij j i =1 j =1 n n 较常见的比如 A = diag w1 最简单： 最简单：实 复 w2 L wn ， wi 0 ( x, y = x

11、T y ( x, y = x T y 12 3. 正交性：若 ( x , y = 0 ，则称 x 与 y 正交。 正交性： 正交。 x 与 y 的夹角： cos = 的夹角： 4. Gram-Schmidt 正交化手续 ( x, y 的夹角。 ， 称为 x 与 y 的夹角。 | x | y | 为一组线性无关的元素或向量， 设 x1 , x2 ,L , xn 为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操 ： 作（正交规范化或正交单位化） 正交规范化或正交单位化） 1o y1 = x1 | x1 | 正交， 选择合适的 k21 使 x2 与 y1 正交， 2 o x2 = x2 + k2

12、1 y1 ( x2 , y1 = ( x2 , y1 + k21 ( y1 , y1 = 0 k21 = ( x2 , y1 3o x3 = x3 + k31 y1 + k32 y2 ( x3 , y1 = ( x3 , y2 = 0 x2 y2 = | x2 | 选择 k31 、 k32 使 x3 与 y1 和 y2 均正交 ( x3 , y1 = ( x3 , y1 + k31 = 0 k31 = ( x3 , y1 ( x3 , y2 = ( x3 , y2 + k32 = 0 k32 = ( x3 , y2 x3 y3 = | x3 | 一般的， 一般的， x = xi + i k j =1 i 1 ij y j i = 1, 2,L, n xi yi = | xi | kij = ( xi , y j 0 y1 , y2 ,L, yn 成为一组正交归一化向量： ( yi , y j = ij = 成为一组正交归一化向量： 1 i j i= j 为一组基元素， 成为标准正交基。 若 x1 , x2 ,L , xn 为一组基元素，则 y1 , y2 ,L , yn 成为标准正交基。 作业：P7778，1、2、4、7 作业：P106107 1(1(2,2,4,5, 13