统计物理讲义汇总.docx
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统计物理讲义汇总
平衡态统计物理
李定平
2017
北京大学物理学院
参考书:
1.王竹溪,统计物理学导论
2.Greiner,Neise,Stocker,ThermodynamicsandStatisticalMechanics
3.Landau,Lifshitz,StatisticalPhysics,Part1
4.K.Huang,Statisticalmechanics.NewYork:
Wiley,（1987
5.M.PlischkeandB.Bergersen,EquilibriumStatisticalPhysics
6.AHistoryofThermodynamics,IngoMüller,Springer-VerlagBerlinHeidelberg（2007
7.Statisticalphysicsofparticles,Kardar,CambridgeUniversityPress（2007
科普读物:
ShortHistoryofHeat,J.B.Fenn
边缘奇迹:
相变和临界现象,于渌,郝柏林,陈晓松
课程内容
见文件,可下载
统计物理和现代物理研究
凝聚态物理是当今物理的一个最主要的方向。
其生命力是在不断发现的新物态,新材料,及其相关的新的物理现象。
历史上,是新的观测到的物理现象推动了物理学的发展。
如果一个物理学分支,没有新实验发现,这个学科就得不到任何发展。
没有纯理论的物理学科（如果理论完全脱离实验论证。
研究凝聚态物理的主要工具之一是统计物理,用来研究大量粒子在相关外界条件下（比如一定温度,外场,系统所处在的状态（比如超导,固态,液态,量子液态,拓扑绝缘,拓扑超导状态等等,和相关物理特性（其导电性能,热传导等等.
大学的统计物理课程是量子统计物理（或称为量子多体理论的先修课程。
学好这门课程将为你们进入相关研究生课程打好扎实的基础。
课程进度:
热力学部分
第一至第四周:
简要复习热力学的基本定律、相变热力学、多元系的热力学.渐进引入平衡态统计的基本概念,方法.
系综理论及其在量子理想气体的应用
第五至第八周:
讲授平衡态物理的基本概念和基本方法.介绍统计的系综理论（微正则系综、正则系综、巨正则系综.
讲授理想量子气体的概念（理想波色气体,波色-爱因斯
坦凝聚,光子气体,声子气体,理想费米气体
系综理论在非理想气体的应用
第九至第十二周:
系综理论的一些应用,经典理想气体,非理想气体的统计理论
相变的平均场理论
第十三周到第十六周:
经典自旋模型的相变理论（临界现象概述,Ising模型的平均场理论,临界点附近的涨落与关联
课程大纲
热力学统计物理历史回顾布莱克（JosephBlack,1728-1799,英国
发现冰融化时,吸收热量,但温度不变。
发
现潜热（1761
瓦特（JamesWatt,1736-1819,英国
改进蒸汽机,使工业效率大大提（1765
汤姆逊（BenjaminThompson,1753-1814,又称拉姆福德伯爵（CountRumford,美裔英国人发现热-功转换,热是能量的一种形式（1798
卡诺（SadiCarnot,1796-
1832,法国卡诺循环,蒸汽
机效率（1824.热力学之父
迈尔（JuliusRobertMayer,1814-1878,荷兰能量守恒和转化定律（1842
焦耳（JamesPrescottJoule,1818-1889,英国热力学第一定律（1843
威廉·汤姆生（开尔文爵士,WilliamThomson（LordKelvin,1824-1907,英国开尔文温标（1848,发现绝对零度（1851。
亥姆霍兹（HermannLudwigFerdinandvonHelmholtz,1821-1894,德国创立能量守
恒的数学定律（1847。
克劳修斯（RudolfClausius,1822-88,德国
提出热力学第二定律（1850,首次引入平均自由
程概念（1858,首次定义“热温熵”（1865。
麦克斯韦（JamesClerkMaxwell,1831-79,英国创立电磁场理论,对气体分子运动论有很大贡献。
提出气体分子速率分布定律（1872。
玻尔兹曼（LudwigBoltzmann,1844-1906,奥地利统计力学奠基人。
提出“各态遍历”原理（1871,给出熵的微观状态方程（玻尔兹曼方程（1877.
吉布斯（JosiahWillardGibbs,1839-1903,美国合并能和熵,引入（Gibbs自由能概念（1876.统计力学奠基人.
能斯特（WaltherNernst,1864-1941,
德国提出热力学第三定律（1906.
朗道（Landau,1908-1968,俄国1937发表了相变的一般理论
Onsager（1903-1976,挪威1944得到二维易欣模型的精确解.
KennethGeddesWilson（1936–2013,美国1971年发表了重整化群的文章来解释二级相变临界指数的普适性
平衡态统计物理简介
热力学和统计物理是研究热运动的规律及热运动对物质宏观性质的影响.
热力学是热运动的宏观理论,不能给出具体物质的具体物性,和不能解释涨落现象.
宏观物质系统是由大量微观粒子组成.物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现.
统计物理是描述热运动（量子统计包括量子涨落的微观理论.宏观物理量是微观量的统计平均.统计物理是从微观模型出发,用来得到具体物质的具体宏观物性的理论.
一热力学基本概念
1.热力名词的定义
2.热平衡定律和温度:
热平衡定律（第零定律:
3.热力学状态描述
态函数
最重要的特别系统:
理想气体
均匀系统热力学量分类:
环境对系统的影响.其中一个基本概念是:
功的概念准静态过程描述:
微功表达式:
一热力学基本概念
热力名词:
热力学系统---宏观系统,由大量微观粒子组成.虽然粒子数目巨大,但它在热力学平衡态可以用几个参量来描述系统的特性.
外界----与系统发生相互作用的其它物体.
孤立系统---与其它系统没有任何相互作用的系统.
闭系----与外界有能量交换,没有物质交换的系统.
开系-----与外界有能量交换,也有物质交换的系统.
热力学平衡态---系统的个个部分的宏观性质在长时间内不发生变化,称该系统处在平衡态.
例如:
一种分子组成的简单液体（均匀各项同性.此热力学平衡态系统可用粒子数,体积和内能来描述.
如果是多种分子组成的液体,描述此系统的参量为（第i种分子的粒子数目,等等.
虽然系统粒子数目是天文数字,但描述热力学系统的参量数目是有限的数目.
孤立系统不管初态如何,经过足够长时间后,将达到平衡态.iN
驰豫时间:
系统有初始状态到平衡态经历的时间,不同系统驰豫时间不一样.
平衡态的定义和观测时间有关:
如你刚刚盛一杯热开水.如果观测时间是1,2秒,由于在这个时间内温度和体积等没有明显变化,可以水是处于平衡态.
但是如果观测时间是10分钟,温度是有明显变化.这是杯中的水不是处于平衡态.
如果再过一个小时,水温变成室温.在以后的几个小时内,水的温度和体积都不会变化.系统处于平衡态.
如果对水杯观测1天,水会挥发因而水的体积变少.在天的观测尺度,水处于非平衡态.
热动平衡:
热力学的平衡态是动态平衡.组成系统的微观粒子仍然不断运动,只是微观粒子运动的平均效果对应的宏观热力学量不变.
热力学体系的参量（态变量
每个热力学平衡态可以用一些宏观变量来描述:
几何参量:
长度,面积,体积.
力学参量:
力,压强
电磁参量:
电场强度,电极化强度,磁场强度,磁极化强度化学参量:
各个组元的浓度,各个相的物质摩尔数,化学势
均匀系统热力学量分类:
广延量:
和系统质量或摩尔数成正比,如体积,质量,摩尔数,总磁矩.强度量:
于系统质量或摩尔数无关,如压强,温度,磁场强度
广延量除于质量,摩尔数或者体积便成为强度量
热力学系统的状态空间:
描写热力学系统的所有态变量组成的参数空间
热平衡定律和温度
热平衡定律（第零定律:
如果两个物态各自与第三个物态达到热平衡,它们彼此也处在热平衡.温度:
热平衡定律可以推断,相互处在热平衡的体形具有一个共同的物理量----温度
每个系统的温度是该系统其它状态参量的函数.
12（,,,....0
nFTxxx这个方程称为物态方程或者状态方程
状态方程举例:
n摩尔理想气体的物态方程11,8.3145PVnRTRJmolK--==范德瓦尔斯气体物态方程（22anPVnbnRTV⎛⎫+-=⎪⎝⎭铁磁体的Curie-Weiss定律顺磁固体在外磁场中被磁化:
CHTHμμ=磁化强度磁场强度
热力学状态描述
态函数:
由热力学系统的状态变量构成的函数称为态函数.
态函数只依赖系统所处的状态,不依赖系统达到此状态的过程.
如温度是一个状态函数,它是该系统其它状态变量的函数.
状态变化描述:
在状态变化过程描述中,常用的是理想的准静态过程.
准静态过程:
一个过程中,在它进行中的每一步系统处于平衡态,这样的过程称为准静态过程.
准静态过程可以用热力学系统状态空间的一条曲线来描述.曲线上每一个点代表系统处在一个平衡态.在准静态过程中系统始终处于平衡态.
这种过程是理想过程.要求系统的变化足够缓慢,是的每一时刻系统都处于平衡态
理想气体的等温准静态过程可用状态空间的一条曲线来描述:
.
PVconst
最重要的特别系统:
理想气体
理想气体热力学系统是热力学里最重要的系统.
它严格遵守玻意耳定律,焦耳定律,阿伏伽德罗定律三个定律的气体.玻意耳定律:
固定质量的气体,在温度不变:
阿伏伽德罗定律:
在相同温度和压强下,相等体积所含各种气体的摩尔数相等焦耳定律:
系统的内能只是温度的函数（下面我们会回来讨论这个定律..
PVconst
实际气体在压强趋于零的极限时候是理想气体.
环境对系统的影响
其中一个基本概念是功的概念
功是热力学系统状态变化相关的量.
系统的状态发生变化,从一个状态转变到另外一个状态.由此系统经历一个过程.在此过程中,系统于外界可能由能量交换.做功是一种交换能量的方式.
在外界对系统做功的实际过程进行中,系统的状态不断发生变化.状态变化的每一步在新的平衡态到达之前,状态又继续了下一步变化.真实系统经历了一系列的非平衡过程.
通常热力学我们研究的过程是准静态过程
准静态过程描述:
准静态过程判据:
如果驰豫时间足够快.例如,气体膨胀
的时间是T,弛豫时间是,V∆τ.Tτ>>
准静态过程中的重要性质:
如果没有摩擦阻力,外界在准静态过程中对系统的作用力,可以用描写平衡状态的参量表达出来.如气体无摩擦的准静态膨胀或者压缩,外界压强必须等于气体压强.
因而在一个微小的准静态过程中,外界对系统所做的微功đW
可以用系统的状态变量及它们的微分表达.
符号đ是微小量,和微小的准静态过程有关.
d表示于过程无关的微小量,如dV,dT
是全微分,d不是全微分,đ
微功表达式:
准静态过程,微功可写为,
1đriiiWYdy==∑iy称为系统的外参量（热力学广义坐标
.
其中iY为相应的广义力.
在准静态过程中,外界所作的功等于外参量的变化和相应广义力的乘积之和.例子:
系统体积变化
21đ,VVWPdVWPdV=-=-⎰液体表面薄膜
其中đWdAσ=σ是单位长度的张力磁介质2
00đ
2HWVdVHdMμμ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭uuvu
uv
Muuv
其中是磁化强度
1热力学第一定律
非绝热的过程:
功和热量是二种不同的传递能量的方式
卡诺循环
2热力学第二定律
第二定律的二种表述:
克劳修斯表述:
开尔文表述:
卡诺定理
热力学温标
克劳修斯不等式
熵和热力学基本方程:
a熵的定义b熵增加原理热力学基本方程
热力学第一定律
如果系统是绝热的,热力学系统经历了一个无限小过程,其内能的变化等于在过程中外界对系统作的功:
dU=đW
内能是状态函数,与系统从初态到末态所经历的过程无关（是有前人大量实验总结出来的结果!
.
内能描述系统粒子的总能量.是能量守恒定律在热力学系统的表现.
非绝热的过程:
热力学系统经历了一个无限小过程,其内能的变化等于在过程中外界对系统作的功与系统从外界吸收的热量之和.
W
dU=đđQ
这个公式可以用来定义热量:
đQ=dU-đW
功和热量是二种不同的传递能量的方式
外界在过程中对系统所作的功和系统从外界吸收的热量,都转
化为系统的内能
đQ=dU-đW此式也对非准静态过程（非平衡态过程也适用
（能量守恒总是成立的.但对非准静态过程1
đrii
iWYdy==∑不成立（这个公式的成立要用到力平衡条件,作用力和反作用力相等.
第一定律给出我们热力学系统二个物理量的存在:
内能和热量
统计物理的内能定义（我们后面可以学到:
内能的微观定义是系统粒子运动能量总和的统计平均值.
内能是广延量.
热力学第一定律是能量守恒与转化定律
这个结论是通过几代人的努力得到的.
有兴趣同学可参考热力学历史书籍
热力学第二定律
为了引入热力学第二定律,我们考虑卡诺循环.卡诺循环在建立热力学第二定律有至关重要的作用!
Carnot1832死于霍乱.他的名字刻在埃菲尔铁塔（总共有72名人名字刻在埃菲尔铁塔
卡诺循环:
工作于二个系统之间,高温系统和低温系统.
在高温等温过程中,从高温系统吸取热量,对外做功。
在低温等温过程中,释放一部分热量到低温系统.
卡诺循环过程是一个热机工作于两个恒温热源之间的
两个等温过程和两个绝热过程组成.
卡诺循环:
热机通过工作物质的循环过程,不断地把其吸收的热量转化为机械功.每个循环把一定的热量转化为机械功.
理想气体的卡诺循环-由理想气体为工作物质（来讨论热机的效率.理想气体的卡诺循环包括2个等温过程和2个绝热过程.
先引入讨论卡诺循环用到的一些物理量的基本定义:
,.
VVVV
PPPP
QUUCTTTQUPVHCTTTHUPV∆∆∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎪∆∆∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∆∆+∆∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎪∆∆∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+,pVCC定压热容定容热容
下面讨论过程中讨论要用到一些理想气体的性质可从焦耳定律（1845导出:
焦耳定律:
对稀薄气体（理想气体,气体自由膨胀后温度不变.
在焦耳的实验,自由膨胀外界对系统不做功而且外界不传热给系统.
我们由此可以证明系统的内能只是温度的函数.
1TUVTUVUVTV
TUUTUV
VT∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∙∙=-→⎪⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∙⎪⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以导出0UTV∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭由恒等式（我们会
回来给出具体证明,得到0T
UV∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭故理想气体内能只是温度的函数（
UT0VVVUdUCUCdTUTdT
∂⎛⎫==→=+⎪∂⎝⎭⎰由焦耳定律,
也只是温度的函数
HUPVUnRT=+=+故焓pVdHCCnRdT==+二种比热都是温度的函数
设pvCCγ=,11VpnRnRCCγγγ==--得到对理想气体,γ是和温度无关常数.
理想气体的卡诺循环,我们考虑2个等温和绝热的准静态过程
等温过程曲线.PVconst
绝热过程曲线方程推导VđQ=dU-đ0
WCdTPdV=+=由状态方程和前面焦耳定律导出的公式
（（1VPVnRTdPVVdPPdVnRdTCdTγ=→=+==-上面二式消去dT（00ln0
.dPdVVdPPdVPV
dPVPVconstγγ
γγ+=→+=→==
和状态方程联立可导出绝热曲线的另外一个关系
1.;/.
PVconstPVTconstTVconstγγ-==
→=由此得到
11
12231
1
1124
3
214,
TVTVTVTVV
VVVγγγγ----==→=
现在考虑循环过程中的等温过程
在等温过程中.
由于理想气体在等温过程中,内能不变
0.U∆=根据热力学第一定律QW
=-221121lnVVVVdVVWpdVnTnTVV=-=-=-⎰⎰而做功的大小为
二个等温过程:
膨胀,吸收热量,对外做功.
压缩放出热力,外对系统做功.
绝热过程0.
Q∆=由第一定律.
WU=∆对理想气体,VUCT=（
21VWCTT⇒=-
二个绝热膨胀过程:
膨胀,对外做功,内能减少,温度下降.
压缩,外对系统做功,内能增加,温度上升.
一个卡诺循环后,气体回到原来状态,内能变化为零（因为内能
是状态的函数,和过程无关!
.但做功和具体循环过程有关!
根据第一定律,循环后气体对外做功等于循环过程中吸收到的热量
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