高中数学苏教版选修11讲学案第一章 12 简单的逻辑联结词.docx
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高中数学苏教版选修11讲学案第一章12简单的逻辑联结词
_1.2
简单的逻辑联结词
逻辑联结词
如图所示，有三种电路图．
问题1：
甲图中，什么情况下灯亮？
提示：
开关p闭合且q闭合．
问题2：
乙图中，什么情况下灯亮？
提示：
开关p闭合或q闭合．
问题3：
丙图中，什么情况下灯不亮？
提示：
开关p不闭合时．
这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词.
含有逻辑联结词的命题
如知识点一中的图，若开关p、q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q、p∨q、綈p的真与假．
问题1：
什么情况下，p∧q为真？
提示：
当p真，q真时．
问题2：
什么情况下，p∨q为假？
提示：
当p假，q假时．
问题3：
什么情况下，綈p为真？
提示：
当p假时．
1．一般地，通常用小写拉丁字母p，q，r表示命题，用联结词“或”、“且”、“非”把p，q联结起来，就得到新命题，“p或q”、“p且q”、“非p”．
“p或q”记作“p∨q”；
“p且q”记作“p∧q”；
“非p”记作“綈p”．
2．一般地，“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示：
（1）命题p且q的真假性：
p
q
p且q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
（2）命题p或q的真假性：
p
q
p或q
真
真
真
假
真
真
真
假
真
假
假
假
（3）p与綈p的真假性：
p
綈p
真
假
假
真
命题“p∧q”的真假，概括为同真为真，有假为假；命题“p∨q”的真假，概括为同假为假，有真为真；命题p与“綈p”的真假相反．
第一课时 “且”“或”“非”
分析命题的结构
[例1] 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：
（1）两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
（2）方程x2－3＝0没有有理根；
（3）如果xy<0，则点P（x，y）的位置在第二或第三象限．
[思路点拨] 根据命题的含义，确定逻辑联结词，分解出命题p和q.
[精解详析]
（1）“p且q”的形式；其中p：
两个角是45°的三角形是等腰三角形；q：
两个角是45°的三角形是直角三角形；
（2）“非p”的形式；p：
方程x2－3＝0有有理根；
（3）“p或q”的形式；其中p：
如果xy<0，则点P（x，y）的位置在第二象限：
q：
如果xy<0，则点P（x，y）的位置在第三象限．
[一点通] 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式．若命题中没有出现逻辑联结词，则可根据语句的意义确定命题的构成形式．
1．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
（1）2既不是偶数，也不是质数；
（2）王某是体操运动员或跳水运动员；
（3）正方形既是矩形，也是菱形；
（4）仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形；
（5）方程2x2－x＋1＝0没有实数根．
解：
（1）这个命题是“p且q”的形式，其中p：
2不是偶数，q：
2不是质数；
（2）这个命题是“p或q”的形式，其中p：
王某是体操运动员，q：
王某是跳水运动员；
（3）这个命题是“p且q”的形式，其中p：
正方形是矩形，q：
正方形是菱形；
（4）这个命题是“p或q”的形式，p：
仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：
仅有一组对边平行的四边形是平行四边形．
（5）这个命题是“綈p”形式，其中p：
方程2x2－x＋1＝0有实数根．
2．分别指出下列命题的形式及构成它的命题：
（1）相似三角形周长相等或对应角相等；
（2）方程x2－3x－4＝0的根是－4或1；
（3）a∉A.
解：
（1）这个命题是“p∨q”的形式，其中p：
相似三角形周长相等；q：
相似三角形对应角相等．
（2）这个命题是“p∨q”的形式，其中p：
方程x2－3x－4＝0的一个根是－4，q：
方程x2－3x－4＝0的一个根是1.
（3）这个命题是“綈p”的形式，其中p：
a∈A.
含有逻辑联结词的命题的写法
[例2] 写出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”和“非p”形式的命题：
（1）p：
6是自然数；q：
6是偶数；
（2）p：
∅⊆{0}；q：
∅＝{0}；
（3）p：
甲是运动员；q：
甲是教练员．
[思路点拨] 根据p，q语句上的要求，正确使用联结词，写成三种形式．
[精解详析]
（1）p且q：
6是自然数且是偶数．
p或q：
6是自然数或是偶数．
非p：
6不是自然数．
（2）p且q：
∅⊆{0}且∅＝{0}．
p或q：
∅⊆{0}或∅＝{0}．
非p：
∅⃘{0}．
（3）p且q：
甲是运动员且是教练员．
p或q：
甲是运动员或是教练员．
非p：
甲不是运动员．
[一点通] 用逻辑联结词“且”、“或”、“非”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及其与日常用语中的同义词的区别，选择合适的联结词．有时，为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．
3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．
（1）p：
梯形有一组对边平行，q：
梯形有一组对边相等；
（2）p：
－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：
－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
解：
（1）p且q：
梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p或q：
梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
非p：
梯形没有一组对边平行．
（2）p且q：
－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p或q：
－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
非p：
－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
4．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”和“非p”形式的新命题：
（1）p：
2014是正数，q：
2014是负整数；
（2）p：
1是方程x2＋2x－3＝0的根，q：
1是质数．
解：
（1）“p或q”形式的新命题：
2014是正数或2014是负整数．
“p且q”形式的新命题：
2014是正数且2014是负整数．
“非p”形式的新命题：
2014不是正数．
（2）“p或q”形式的新命题：
1是方程x2＋2x－3＝0的根或是质数．
“p且q”形式的新命题：
1是方程x2＋2x－3＝0的根且是质数．
“非p”形式的新命题：
1不是方程x2＋2x－3＝0的根.
命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）p：
y＝cosx不是周期函数；
（2）p：
2和3都是奇数；
（3）p：
8>7.
[思路点拨] 对命题的判断词或关键词进行全盘否定即可．
[精解详析]
（1）綈p：
y＝cosx是周期函数．
由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．
（2）綈p：
2和3不都是奇数．
由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．
（3）綈p：
8≤7.
由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．
[一点通] 写出命题的否定（非），需要对其正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语及它的否定列表如下：
正面词语
否定
等于
不等于
大于（＞）
不大于（≤）
小于（＜）
不小于（≥）
是
不是
都是
不都是
p或q
非p且非q
至多有一个
至少有两个
至少有一个
一个也没有
正面词语
否定
任意的
某个
所有的
某些
至多有n个
至少有n＋1个
任意两个
某两个
p且q
非p或非q
5．写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）p：
y＝tanx的定义域是R；
（2）p：
1,2,3至少有一个是奇数；
（3）p：
1,2,3至多有一个是奇数．
解：
（1）綈p：
y＝tanx的定义域不是R.
由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．
（2）綈p：
1,2,3都不是奇数．
由于命题p是真命题，所以綈p是假命题．
（3）綈p：
1,2,3至少有两个是奇数．
由于命题p是假命题，所以綈p是真命题．
6．写出下列命题的否定：
（1）△ABC是直角三角形或等腰三角形；
（2）4,5都是方程x2－5x＋4＝0的根；
（3）他是数学家或物理学家；
（4）他既是班干部又是学生会干部．
解：
（1）△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形．
（2）4,5不都是方程x2－5x＋4＝0的根．
（3）他既不是数学家也不是物理学家．
（4）他不是班干部或他不是学生会干部．
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”表示两个中至少选一个．
2．命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件又否定结论，要注意区别．
[对应课时跟踪训练（三）]
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是________．
解析：
正方形的两条对角线互相垂直并且平分，是p且q的形式．
答案：
p且q
2．如果原命题是“p或q”的形式，那么它的否定形式是______．
答案：
綈p且綈q
3．由命题p：
6是12的约数，q：
6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是______，
“p且q”形式的命题是_____________________________________________________，
“非p”形式的命题是______________________________________________________．
答案：
6是12或24的约数 6是12的约数且是24的约数 6不是12的约数
4．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是____________________，否命题是________________________________________________________________________．
解析：
命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：
末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：
末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
答案：
末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
（1）命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
（2）命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；
（3）命题“非空集∁UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
解析：
（1）命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；
（2）“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；（3）“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.
答案：
（1）p且q
（2）p或q （3）非p
6．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
（1）12可以被3或4整除；
（2）3是12和15的公约数．
解：
（1）这个命题是“p或q”的形式，其中p：
12可以被3整除；q：
12可以被4整除．
（2）这个命题是“p且q”的形式，其中p：
3是12的约数；q：
3是15的约数．
7．分别写出由命题p：
方程x2－4＝0的两根符号不同，q：
方程x2－4＝0的两根绝对值相等构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．
解：
p或q：
方程x2－4＝0的两根符号不同或绝对值相等．
p且q：
方程x2－4＝0的两根符号不同且绝对值相等．
非p：
方程x2－4＝0的两根符号相同．
8．写出下列各命题的否定形式及否命题：
（1）面积相等的三角形是全等三角形；
（2）若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零；
（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解：
（1）否定形式：
面积相等的三角形不一定是全等三角形；
否命题：
面积不相等的三角形不是全等三角形．
（2）否定形式：
若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零；否命题：
若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
（3）否定形式：
若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：
若xy≠0，则x≠0且y≠0.
第二课时 含逻辑联结词的命题的真假判断
含逻辑联结词的命题的真假判断
[例1] 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
（1）p：
6<6，q：
6＝6；
（2）p：
函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．
q：
不等式x2＋x＋2<0无解；
（3）p：
函数y＝cosx是周期函数．q：
函数y＝cosx是奇函数．
[思路点拨] 先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．
[精解详析]
（1）∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
（2）∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
（3）∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
[一点通] 判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：
（1）确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；
（2）判断其中简单命题p，q的真假；
（3）根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．
1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：
（1）p：
a2＋1≥1，q：
2＞3；
（2）p：
2＋2＝5，q：
3＞2；
（3）p：
1∈{1,2}，q：
{1}⊆{1,2}；
（4）p：
∅⊆{0}，q：
∅＝{0}．
解：
p
q
p或q
p且q
（1）
真
假
真
假
（2）
假
真
真
假
（3）
真
真
真
真
（4）
真
假
真
假
2.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假：
（1）全等三角形周长相等或对应角相等；
（2）9的算术平方根不是－3；
（3）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．
解：
（1）这个命题是p∨q的形式，其中p：
全等三角形周长相等，q：
全等三角形对应角相等，因为p真q真，所以p∨q为真．
（2）这个命题是綈p的形式，其中p：
9的算术平方根是－3，因为p假，所以綈p为真．
（3）这个命题是p∧q的形式，其中p：
垂直于弦的直径平分这条弦，q：
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以p∧q为真.
含有逻辑联结词的命题的综合应用
[例2] 已知p：
函数y＝x2＋mx＋1在（－1，＋∞）上单调递增，q：
函数y＝4x2＋4（m－2）x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
[思路点拨] 由p或q为真，p且q为假，可判断p和q一真一假，进而求m的范围．
[精解详析] 若函数y＝x2＋mx＋1在（－1，＋∞）上单调递增，则－
≤－1，解得m≥2，即p：
m≥2；
若函数y＝4x2＋4（m－2）x＋1恒大于零，
则Δ＝16（m－2）2－16<0，解得11因为p或q为真，p且q为假，
所以p、q一真一假，
当p真q假时，由
得m≥3，
当p假q真时，由
得1综上可知，m的取值范围是{m|m≥3或1[一点通]
（1）含有逻辑联结词的命题p∧q、p∨q的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p∧q、p∨q的真假也可以判断命题p、q的真假．
（2）解答这类问题的一般步骤：
①先求出构成命题p∧q、p∨q的命题p、q成立时参数需满足的条件；
②其次根据命题p∧q、p∨q的真假判定命题p、q的真假；
③根据p、q的真假求出参数的取值范围．
3．命题p：
关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：
函数f（x）＝－（5－2a）x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解：
由Δ＝4a2－16<0，得－2故命题p：
－2由5－2a>1，得a<2，
故命题q：
a<2.
若p或q为真，p且q为假，则
①p真，q假．则由
得a∈∅.
②p假，q真.
∴a<－2.
综上可知，符合条件的a的取值范围为（－∞，－2）
4．已知a＞0，且a≠1，设p：
函数y＝loga（x＋1）在x∈（0，＋∞）内单调递减，q：
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点，“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
解：
当0＜a＜1时，函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内单调递减；当a＞1时，函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内不是单调递减的．
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点等价于（2a－3）2－4＞0，即a＜
或a＞
.
（1）若p为真且q为假，即函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内单调递减，曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴不交于不同的两点，则a∈（0,1）∩
，
即a∈
.
（2）若p为假且q为真，即函数y＝loga（x＋1）在（0，＋∞）内不是单调递减的，曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于不同的两点，则a∈（1，＋∞）∩
，即a∈
.
综上可知，a的取值范围为
∪
.
1．含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“p或q”为真，“p或q”为假，“p且q”为真，“p且q”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成p，q的真假，p，q的真假有时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可．
2．相关结论：
使“p或q”为真的参数范围为使命题p，q分别为真的参数范围的并集，使“p且q”为真的参数范围为使命题p、q分别为真的参数范围的交集．
[对应课时跟踪训练（四）]
1．若p是真命题，q是假命题，则下列说法错误的是________．
①p∧q是真命题 ②p∨q是假命题 ③綈p是真命题 ④綈q是真命题
解析：
p是真命题，则綈p是假命题．q是假命题，则綈q是真命题．故p∧q是假命题，p∨q是真命题．
答案：
①②③
2．已知命题p：
若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：
在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq成立的充分不必要条件（m，n，p，q∈N*），则下面为真命题的是________．
①（綈p）∧（綈q）；②（綈p）∨（綈q）；③p∨（綈q）；④p∧q.
解析：
当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，
此时，ax命题q，由等差数列的性质，
当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，
当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．
故綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p∧q为假命题，p∨（綈q）为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨（（綈q）为真命题．
答案：
②
3．已知命题p：
不等式ax＋b>0的解集为
，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集为{x|a解析：
命题p是假命题，因为当a<0或a＝0时解集与已知不同；命题q也是假命题，因为不知道a，b的大小关系．所以只有非p是真命题．
答案：
非p
4．已知命题p：
所有自然数都是正数，命题q：
正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．（填序号）
①綈p或q ②p或q ③綈p且綈q ④綈p或綈q
解析：
因为命题p为假命题，命题q为假命题，所以綈p或q为真命题綈p或q为真命题，綈p且綈q为真命题，綈p或綈q为真命题．
答案：
①③④
5．（湖北高考改编）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．
①（綈p）∨（綈q）；②p∨（綈q）；③（綈p）∧（綈q）；④p∨q.
解析：
由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为（綈p）∨（綈q）．
答案：
①
6．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
（1）p：
是有理数，q：
是整数；
（2）p：
不等式x2－2x－3＞0的解集是（－∞，－1），
q：
不等式x2－2x－3＞0的解集是（3，＋∞）．
解：
（1）p或q：
是有理数或
是整数；
p且q：
是有理数且
是整数；非p：
不是有理数．
因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真．
（2）p或q：
不等式x2－2x－3＞0的解集是（－∞，－1）或不等式x2－2x－3＞0的解集是（3，＋∞）；
p且q：
不等式x2－2x－3＞0的解集是（－∞，－1）且不等式x2－2x－3＞0的解集是（3，＋∞）；
非p：
不等式x2－2x－3＞0的解集不是（－∞，－1）．
因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真．
7．命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<0（a>0），命题q：
实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q⇒綈p，求实数a的取值范围．
解：
（1）由于a＝1，
则x2－4ax＋3a2<0⇔x2－4x＋3<0⇔1所以p：
1解不等式组
得2所以q：
2由于p∧q为真，所以p，q均是真命题，
解不等式组
得2所以实数x的取值范围是（2,3）．
（2）綈p：
x2－4ax＋3a2≥0，a>0，
x2－4ax＋3a2≥0⇔（x－a）（x－3a）≥0⇔
x≤a或x≥3a，
所以綈p：
x≤a或x≥3a，
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，
由
（1）知q：
2由于q⇒綈p，所以BA，
所以3≤a或3a≤2，即0或a≥3，
所以实数a的取值范围是
∪[3，＋∞）．
8．命题p：
关于x的不等式x2＋（a－1）x＋a2≤0的解集为∅，命题q：
函数y＝（2a2－a）x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
（1）p∨q为真命题；
（2）“p∨q”为真，“p∧q”为假．
解：
命题p为真时，Δ＝（a－1）2－4a2＜0，
即a＞
或a＜－1.①
命题q为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－
.②
（1）当p∨q为真时，即p、q至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为
；
∴“p∨q”为真时，a的取值范围是
.
（2）当“p∨q”为真，“p∧q”为假，即p，q有且只有一个是真命题时，有两种情况：
当p真q假时，
＜a≤1；当p假q真时，－1≤a＜－
.
∴“p∨q”为真，“p∧q”为假时，a的取值范围是
.
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