文科一轮学案84空间中的平行关系.docx

1、文科一轮学案84 空间中的平行关系学案8.4 空间中的平行关系自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.平行直线平行公理：过直线外一点 一条直线和已知直线平行.基本性质4：平行于同一条直线的两条直线 .等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别 ，并且 ，那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定性质定义定理图形条件 结论ab 3.平面与平面平行判定性质定义定理图形条件 ，a结论aba【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(

2、)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(6)若，直线a，则a.()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.变式训练：如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，E为PD的中点

3、，AB1，求证：CE平面PAB. 考点二 平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D. 变式训练：如图，在三棱锥SABC中，ASAB.过A作AFSB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点.求证：平面EFG平面ABC.考点三：平行关系的综合应用例4在正方体ABCDA1B1C1D1

4、中，如图.(1)求证：平面AB1D1平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1EEFFC.变式训练：如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.当堂达标：1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()A.l B.lC.l与相交但不垂直 D.l或l2.设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.，n；m，n；n

5、，m.可以填入的条件有()A.或 B.或C.或 D.或或3.(教材改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b4.(教材改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.5.过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条.巩固提高案 日积月累 提高自我1.平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()A.ABCD B

6、.ADCBC.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面2.(2015安徽)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面3.设l为直线，是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l，l，则 B.若l，l，则C.若l，l，则 D.若，l，则l4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m.n，l，则mn.其中真命题的个数为()A.3 B.2

7、C.1 D.05.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A. B. C. D.6.在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.7.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.8.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其

8、内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.学案8.4 空间中的平行关系自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.平行直线平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，

9、并且方向相同，那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab3.平面与平面平行判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()

10、(6)若，直线a，则a.()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.证明(1)连接EC，ADBC，BCAD，BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点.又F是PC的中点，FOAP，FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，O

11、HAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.命题点2直线与平面平行性质定理的应用例2(2014安徽)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC

12、的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点.再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.变式训练：如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，E为PD的中点，AB1，求证：CE

13、平面PAB.证明由已知条件有AC2AB2，AD2AC4，CD2.如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，因为NACDAC60，ACCD，所以C为ND的中点，又因为E为PD的中点，所以ECPN，因为EC平面PAB，PN平面PAB，所以CE平面PAB.考点二 平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面

14、.(2)E，F分别是AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.引申探究1.在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.2.在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明如图所示，连接A1C交A

15、C1于点M，四边形A1ACC1是平行四边形，M是A1C的中点，连接MD，D为BC的中点，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，四边形BDC1D1为平行四边形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1，又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D. 变式训练：如图，在三棱锥SABC中，ASAB.过A作AFSB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点.求证：平面EFG平面ABC.证明因为ASAB，AFSB，所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点，所以EFAB

16、，又EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC，同理EG平面ABC，又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.考点三：平行关系的综合应用例4在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图.(1)求证：平面AB1D1平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1EEFFC.(1)证明因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1平面C1BD.同理，B1D1平面C1BD.又因为AB1B1D1B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面A

17、B1D1，所以平面AB1D1平面C1BD.(2)解如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1EEFFC.因为平面A1C1C平面AB1D1EO1，平面A1C1C平面C1BDC1F，平面AB1D1平面C1BD，所以EO1C1F，在A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1EEF.同理可证OFAE，所以F是CE的中点，即FCEF，所以A1EEFFC.变式训

18、练：如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.解如图所示，在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点.又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设PAx则PC，由PBBCBEPC得：aa，xa，即PAa，PCa.又CEa，即GECDa，AFa.即AFAB.故点F是

19、AB上靠近B点的一个三等分点.当堂达标：1.一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是()A.l B.lC.l与相交但不垂直 D.l或l答案D解析当距离不为零时，l，当距离为零时，l.2.设，为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.，n；m，n；n，m.可以填入的条件有()A.或 B.或C.或 D.或或答案C解析由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确.故选C.3.(教材改编)下列命题中正确的是()A.若a，b是两条直线

20、，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b，正确.4.(教材改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.答案平行解析连接BD，设BDACO，连接EO，在BDD1中，O为BD的中点，所以EO为BDD1的中位线，则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.5.过三棱柱AB

21、CA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有_条.答案6解析各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意.巩固提高案 日积月累 提高自我1.平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()A.ABCD B.ADCBC.AB与CD相交 D.A，B，C，D四点共面答案D解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知ACBD.必要性显然成立.2.(2015安徽)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，

22、不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析对于A，垂直于同一平面，关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为D选项，故D正确.3.设l为直线，是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l，l，则 B.若l，l，则C.若l，l，则 D.若，l，则l答案B解析l，l，则与可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l，l

23、可知，故C项错；由，l可知l与可能平行，也可能l，也可能相交，故D项错.故选B.4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面、的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m.n，l，则mn.其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0答案C解析中当与不平行时，也可能存在符合题意的l、m；中l与m也可能异面；中ln，同理，lm，则mn，正确.5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A. B. C. D.答案B解析中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(

24、如图).中，NPAB，能得出AB平面MNP.6.在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_.答案平面ABD与平面ABC解析如图，取CD的中点E，连接AE，BE.则EMMA12，ENBN12，所以MNAB.所以MN平面ABD，MN平面ABC.7.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，

25、PQa.8.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案M线段FH解析因为HNBD，HFDD1，所以平面NHF平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN平面B1BDD1.(答案不唯一)9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.