专题08 立体几何-直击2020新高考数学多选题.doc

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专题08立体几何

1．已知,是两条不同的直线,,是两不同的平面,是一个点,其中正确的是（）

A．若,,则;

B．若,,则;

C．若,,,,则;

D．若,,,,,则.

【答案】CD

【解析】对于A,若,,可不在直线,故A错误;

对于B,若,,可知上有一点在内,根据两点确定一条直线可知,不一定在内,故B错误;

对于C,,,,

故C正确;

对于D,,,,,

故D正确.

故选:

CD.

2．如图所示,P为矩形所在平面外一点,矩形对角线的交点为为的中点,给出以下结论,其中正确的是（）

A． B．平面

C．平面 D．平面

【答案】ABC

【解析】由题意知,是的中位线,,故正确;

平面,平面,平面,故正确;

同理,可得平面,故正确;

与平面和平面都相交,故不正确.

故选：

.

3．如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（）

A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线

C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线

【答案】CD

【解析】直线与是异面直线，直线与也是异面直线，故A、B错误

直线与是异面直线，直线与是异面直线，故C、D正确.

故选CD.

4．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）

A．四点共面 B．平面平面

C．直线与所成角的为 D．平面

【答案】BC

【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；

对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；

对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确；

对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；

故选：

BC

5．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有（）

A．平面 B． C．平面 D．平面

本题主要考查线面垂直的判定，以及线线垂直的判定，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型

.【答案】ABC

【解析】平面，，又，，，平面，平面，故A正确；

由平面，得，又，是的中点，，

又，，平面，

平面，，故B，C正确；

由平面，得，因此与不垂直，从而不与平面垂直，D错误.

故选：

ABC.

6．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（）

A．

B．平面

C．与平面所成角是

D．面积与的面积相等

【答案】BC

【解析】连接，，

A选项，因为线段上的动点，若与重合，则在正方体中，，此时与所成的角为，显然与不垂直，故A错；

B选项，因为正方体底面为正方形，对角线互相垂直，所以；又正方体侧棱与底面垂直，所以平面，所以，由线面垂直的判定定理，可得平面，又平面即为平面，所以平面；故B正确；

C选项，由B选项可得，与平面所成角即为与平面所成角，即，

所以在正方形中，；故C正确；

D选项，因为点平面，点平面，由正方体结构特征易得，点到直线的距离大于正方体的侧棱长，而点到直线的距离等于侧棱长，因此面积与的面积不相等；故D错误；

故选：

BC.

7．如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,下列命题正确的是（）

A．与平行 B．与为异面直线

C．与成60°角 D．与垂直

【答案】BCD

【解析】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A不正确；

与为异面直线，B正确；

，而，,

与成60°角，C正确；

连接，，

平面,

又

与垂直,

D正确.

故选：

BCD

8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（）

A．在棱上存在点M，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

【答案】ABC

【解析】如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，

，又底面是菱形，，是等边三角形，

，又，，平面，

平面，故正确.

对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.

对于，∵平面平面，，平面，，

是二面角的平面角，设，则，，

在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.

对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.

故选：

9．如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）

A．直线与平面所成的角等于

B．点C到面的距离为

C．两条异面直线和所成的角为

D．三棱柱外接球半径为

【答案】ABD

【解析】正方体的棱长为1，

对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；

对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；

对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；

对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确．

故选：

．

10．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（）

A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是

C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为

【答案】ACD

【解析】在直三棱柱中，，，

底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；

直三棱柱的体积为，故B不正确；

由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点，三棱锥的高为定值，

××2＝，××＝，故C正确；

设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，

即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．

故选：

ACD．

11．在正方体中，N为底面ABCD的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）

A．CM与PN是异面直线 B．

C．平面平面 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】共线，即交于点，共面，因此共面，A错误；

记，则，

，又，

，，即．B正确；

由于正方体中，，平面，则，，可得平面，平面，从而可得平面平面，C正确；

取中点，连接，易知，又正方体中，，∴，共面，就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D正确．

故选：

BCD.

12．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，

所以所形成的几何体的表面积是.

如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，

所以写成的几何体的表面积.

综上可知形成几何体的表面积是或.

故选：

AB

13．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】当时，可知点与点共面，

所以，

所以，

所以，

不妨令，，，且此时，

因为，，，，

由上可知：

BD满足要求.

故选：

BD.

14．在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（）

A． B．平面EFPQ

C．平面EFPQ D．直线和所成角的余弦值为

【答案】ACD

【解析】A．如图所示，

因为，所以四边形是正方形，所以，

又因为几何体为长方体，所以平面，所以，

又因为，所以平面，

又因为平面，所以，故结论正确；

B．如图所示，

假设平面，因为平面，所以，

显然不成立，故假设错误，所以结论错误；

C．如图所示，

连接，由条件可知，所以，

又因为，所以平面平面，

又因为平面，所以平面，故结论正确；

D．如图所示，

连接，因为，所以和所成角即为或其补角，

由条件可知：

，所以，故结论正确.

故选：

ABD.

15．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A． B．

C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为

【答案】AB

【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，

可设棱长为1,则

而

，所以A正确.

=0,所以B正确.

向量,

显然为等边三角形，则.

所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确

又，

则，

所以，所以D不正确.

故选：

AB

16．如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内）.若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是（）

A．四棱锥体积最大值为

B．线段长度是定值；

C．平面一定成立；

D．存在某个位置，使；

【答案】ABC

【解析】是等腰直角三角形，到的距离是，当平面平面时，到平面的距离最大为，又，∴．A正确；

取中点，连接，∵是的中点，∴，而平面，平面，∴平面，

由与平行且相等得是平行四边形，，同理得平面，

而，∴平面平面，平面，∴平面，C正确，

在上述过程中得，又，∴为定值，B正确；

假设存在某个位置，使，取中点，连接，显然，而，∴平面，平面，∴，则，但，，不可能相等，所以不可能有．D错．

故选：

ABC.

17．如图，正三棱柱中，、点为中点，点为四边形内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）

A．

B．若平面，则动点的轨迹的长度等于

C．异面直线与，所成角的余弦值为

D．若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分

【答案】BCD

【解析】对于选项A，，选项A错误；

对于选项B，过点作的平行线交于点．

以为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．

设棱柱底面边长为，侧棱长为，则，，，，所以，．

∵，∴，

即，解得．

因为平面，则动点的轨迹的长度等于．选项B正确．

对于选项C，在选项A的基础上，，，，，所以，，

因为，所以异面直线所成角的余弦值为，选项C正确．

对于选项D，设点E在底面ABC的射影为，作垂直于，垂足为F，若点E到平面的距离等于，即有，又因为在中，，得，其中等于点E到直线的距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形内（包含边界）的动点，所以动点E的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.

故选：

BCD

18．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】作图在四棱锥中：

由题：

侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：

在中

即：

，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：

BC

19．正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（）

A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形

C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为

【答案】ACD

【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，

如图设截面为多边形，

设，则，

则

所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，

所以

因为，

，

所以

当时，，故D成立。

故选：

ACD．