求解谐振物体的速度和加速度讲解.docx
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求解谐振物体的速度和加速度讲解
求解谐振物体的速度和加速度
一物体沿x轴作简谐振动，振幅A二0.12m，周期T=2S。
当t=0时，物体的位移x=0.06m,而且相x轴正方向运动。
试求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t=T时物体的位置、速度和加速度；
4
（3）物体从x二-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。
解：
（1）设这一简谐振动的表达式为x=Acos（，t亠0）.
2jr
现在振幅A=0.12m，周期T=2S。
则=2rad/S.
T
由初始条件：
t=0时，x0二0.06m，得到
0.06二0.12cos0
1兀
或者cos'0,'0.
23
根据初始速度的条件，乂--Asin'0。
因为t=0时，物体向x轴正方向运动，即V0・0,
所以'0.
3
这样，此简谐振动的表达式为
兀
x=0.12cos（「t-§）m.
0，根据初始条件可以滑出振幅矢量的初始位置，如图一
x=0.104m,V二-0.18m/S,a=1.03m/S2.
负号表示速度V和加速度a的方向都指向x轴负方向。
（3）当x=-0.06m,设该时刻为t1,得到
-0.06=0.12cos（t|
4二
~3
兀1兀
cos（-：
ti）,二1-
323
因为物体向x轴负方向运动，V<0,所以取，这样t1=1S.
3
体在平衡位置处的相位为与，则由出下号，
求得
图二
由于振幅矢量的角速度为••，所以可以得到
5二
6
=t=—=—=0.83S.
co31
由振动图线求解某点对应的相位
一振动质点的振动曲线如图一所示，试求:
（1）振动表达式;
x（m）
图一
（2）点P对应的相位;
（3）
到达点P相应位置所需的时间。
解：
（1）由旋转矢量图，如图二，可知，初相
0rad.
3
从t=0到t=1S时间内的相位差
5二
（）rad.
236
二'：
5二
得到—S.
At6
于是，得到振动的表达式
5兀兀、
x=0.10cos（t）m.
63
（2）点P对应的相位［=0.
（3）至U达点P相应的位置所需的时间为
P-00「（匚）
o5兀
=0.4S.
求解单摆的角速度和线速度
有一单摆，绳长丨=1.0cm,摆球的质量m=100g,最大摆角为50。
（1）单摆的角频率和周期；
（2）设开始时摆角最大，试写出此单摆的振动表达式；
（3）当摆角为30时的角速度和摆球的线速度各为多少?
解：
（1）单摆的角频率和周期分别为
一三弋g占»2。
侶
⑵开始时摆角很大，则初相0-0，单摆的振动表达式为
ncos（3.13t）rad.
36
（3）单摆的振动角速度
C■--咕sint3.13sin3.13trad/S.
36
当v-30时，（3.13t）,cos3.13t.
60365
于是，有
4
sin3.13t,
5
兀4
3.130.218rad/S.
365
摆球的线速度为
V-=0.2181=0.218m/S.
求解振子在斜面上的振动
倾角为的光滑斜面上置一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定在挡板上。
上端与
一质量为m的物体相连。
当t=0时，物体经过平衡位置向下运动的速度为V0,如图一。
如
取平衡位置为坐标原点，且沿斜面向上为正。
（1）写出物体的振动表达式；
（2）写出振动系统的总势能（取坐标原点为势能零点）。
解：
（1）物体在平衡位置时，弹簧的
压缩量为
mgsin。
x0.
k
物体在任意位置时，其x方向所受合力为
Fx二-mgsinr-k（x「x0）=-kx,
所以，物体在x方向上作简谐振动，其角频率为
由题意，当t=0时，x=O,V二-V。
由初始条件可得
所以，物体的振动表达式为
x=Acos（①t+%）=V0jEcosQ^t+三）.
Vk\k2
（2）振动系统的总势能为
121212Ep=mgxsin?
k（x-x0）kx。
kx
求解物体与木板间的振动情况
一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50。
（1）当此板沿水平方向作频率为2.0HZ的简谐振动时，要使物体在板上不致滑
动，振幅的最大值应为多大？
（2）若令此板改作竖直方向的简谐振动，其频率仍为2.0HZ，要使物体在板上不
致滑动，振幅的最大值应是多大？
2
解：
（1）设物体在离平衡位置x处的静摩擦力为f,此时物体的加速度为a=-•x,因而
222
f=-m，x二-4?
.mx.
要使物体在板上不致滑动，其摩擦力达到最大静摩擦力，即
fmax="N="mg,
必须满足条件"mg4-2mAmax，
Ni,则
（2）物体在最大位移时，设在最高位置物体所受的托力为
mg—Nj=mamax=m©2A=m4ji2v2A.
22
Nj=m（g-4二、.A）.
设在最低位置物体所受的托力为N2，则
N2—mg=mamax=moo2A=m4ir2v2A,
N2=m（g+4jt2v2A）.
要使物体在板上振动时不致滑动的条件是Nj_0，由此可得
22
g_4,二：
'Amax=0,
Amax^T~22=0.062m.
4兀74汉兀x（2.0）
求解几种振子的振动周期
劲度系数为ki和k2的两根轻弹簧，按照图一所示的方式与质量为m的小球连接，试求:
各种连接方式的振动周期。
运动方程为m时二-k2X2,
dt
k1k2
丿趴r-—]*1匕；一VVVVVqmJ一WWWv—纟少7才/"R^zA^zz/^/zzz%
而k2x^k1x1,x1x2二x,
所以，今Jx=0.
dt2m（ki+k2）
振动周期—y）
如图（b）的连接方式，当小球偏离平衡位移x时，小球受弹簧的拉力，其运动方程为
d2x
m—2（k1xk2x）,
dt
即允S^x=O.
dt2m
2兀rm
所以振动周期为T2一，.
蛍V人+k2
如图（c）的连接方式，若两弹簧的原长分别为|10和l20，小球位于平衡位置处，两弹
簧的伸长量分别为.：
|1和月2，如图（e）所示，此时小球受到的合外力为零，即
ki.丄i=k2•丄2,
如AB间的长度为L,贝U
ho"二11■120=L.
联立，解得
k2
也=（LJ。
」20）
（2）.
kr+k2
所以平衡位置离开A点的距离为
li。
*-11
-lio（L-lio-l20）（k^7）.
kr+k2
当小球偏离平衡位置位移为x时，小球所受的合力为
F二-k1C：
l1-x）k2（l2-x）
=-kv：
l1k2l2—（k「k2）x二-（k1k2）x,
所以，小球的振动周期为
m
kik2
如图（d）的连接方式，设小球平衡时两弹簧的伸长量为Ll1和口2，此时小球受到的合
外力为零，即
k2%=mg,
而k2匚x2二k^l1,二片二l2二x0.
联立以上三式，得到小球在平衡位置处两弹簧的总伸长量为
k1k2
mgmg.
k1k2
X!
亠X2=X，此时小球的运动方程为
又k2（•■：
12'x2—ki0：
11Xi）■
联立，解方程组，得到
学丄（也）X4
dt2mkik2
所以振动周期为
运用转动定律求解棒的摆动周期
一均匀细棒，长为L,质量为m•在其两端用长为|的平行细绳悬挂起来，如图一所示。
求：
棒以角速度绕中心轴00•摆动的周期。
解：
当棒平衡时，每根细绳的拉力
当细绳偏过一小角度••时，相应的棒转过一
小角度二，由几何关系可见
沖ftf-0
2
由于转角'很小，近似地认为绳子的拉力不
变，仍为-mg.此拉力在水平方向上的分力为Tsin，因而作用在棒上的力偶矩（即回复
力矩）
M=2Tsin-:
TL,
2
将'及T的值代入，得到
根据转动定律，棒的运动方程为J=「空1上
dt41
而J=—mL2,
12
代入，得到
所以棒的振动周期为
T=—=2兀—
⑷\*3g
求解轮棒系统的运动情况
如图一所示，两轮的转轴互相平行，相距为2d,其转速相同，转向相反。
将质量为m
的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为.当木板的重心C偏离对称位置后，
它将如何运动？
如果为简谐振动，其周期为多少？
若两轮均沿图示的相反方向旋转，木板将
如何运动？
解：
由于滚轮与木板之间有相对滑动，而两轮转动的方向不同，木板受到方向相反
的两个摩擦力f1（向右）和f2（向左）的
作用，如图二，同时木板受到轮子的支持力
Ni和
N2以及木板的重力G。
因木板在竖直
方向上无运动，故
N1N2二mg.
当木板质心C偏离两轮轴的中心位置
O微小距离x时，根据力矩平衡条件，有
N1（dx）二N2（d-x）.
由以上两式，解得
Mdxmg,N2mg.
2d2d
木板在x方向受到的合力为
-2d—
图一
由上式可见，木板将沿x方向作简谐振动。
根据牛顿运动定律，有
图三
d2xJmg
m—2x,
dtd
木板的振动周期为
T=—=2d.
'■Jg
若两轮的转动方向与题图所示的方向相反时，木板受到的摩擦力将如图三所示。
根据牛顿运
动定律，有
设t=0时，木板静止，木板的质心与两轮中点的距离为x0，于是
Vx・匕
VdVxdx
0冷d
vT牛（x2-x2）・
求解单摆和复摆的周期
图一图二
但两摆的转动惯量不同，所以周期不同。
对于图一中的摆，系为复摆，
其转动惯量j「2mr2帚,
r22l2
因而周期T—爲S2gl
因而，其周期为
一2鳥；厂2鳥.
求解等效摆的摆动周期
如图一表示三个摆，其中图（a）是半径为R的匀质细圆环，悬挂在0点并可绕此点且垂直于纸面的轴线摆动，图（b）,图（c）是同样圆环中对0C轴对称截取的一部分，分别悬挂在0点和0“点，可各绕过0和0“点且垂直于纸面的轴线摆动，如悬线的质量不计，
⑻（b）
（0图一（d）
摆角都不大，比较它们的摆动周期。
解：
以图（C）的摆来讨论。
在圆环上任取一小段dl，质量为dm，如图一（d），此摆
对轴0的转动惯量为
而r=2Rcosddm-■dl-■Rd=2Rdr，
式中•为圆环的线密度，于是此摆的转动惯量为
7023丁2
J=2°（2Rcosr）2，Rdv-16R■ocos知
此摆的质心到转轴的距离设为a,则
Jydm
a=yc
Jdm
=rcosv-2Rcos，
因为周期与入、m和a无关，只与R有关，所以这三个摆的摆动周期相等。
求解细杆谐振的周期
质量为m，长为I的均匀细杆可绕通过其一端的固定轴自由转动，在离轴1处有
\3
劲度系数为k的轻弹簧与杆相连接，弹簧的另一端固定于02，如图（a）所示，开始时杆
刚好处于水平位置且静止。
现将杆沿顺时针方向绕0,轴转过一个小角度二0，然后放手，证明：
杆将做简谐振动，并求其周期，列出其振动表达
式。
解：
细杆在平衡位置受重力G,Oi轴的支撑反力N，弹簧的弹性力F的作用，如图一（b）所示。
设此时弹簧的伸长量为x0,则有
F二kx0.
因为细杆处于平衡，由力矩平衡，可得到
由以上两式，得到Xo=-^mg.
2k
当细杆绕Oi轴转过一微小角度二，此时弹簧又伸长了x，则有
F=k（xx0）.
dS
dt2
由转动定律，可得
丨l.
mg—cosk（x-Xo）——cos
2.3
式中J为细杆对O1轴的转动惯量，其值为Jml2.将Xo和J的值代入上式，可得到
1.2dklx.
ml2——cos：
-0.
3dt.3
因为二很小，故cos：
io由几何关系，可得
代入，得到
dt2
所以，细杆将作角谐振动，其角频率为•・o二、k，
Vm
开始时，细杆沿顺时针方向绕Oi轴转过一小角度二。
，如取顺时针方向为角位移的正方
向，则振动的初相'o=0,于是，细杆的振动表达式为
求解杆下悬挂物体所作的微小振动
一质量忽略不计的刚性杆，用两根弹簧悬挂起来，如图一所示。
两弹簧的劲度系数分
别为ki和k2。
悬挂的物体质量为m。
设物体处于平衡状态时，杆AB与水平方向的夹角为
F
x一叽1'b（v宀0）（3）
ki
式中为弹簧1作用于杆上的弹性力。
根据平衡条件，得到
F1bcos^J0）=F2icos（v-%），
Fib二k2t入）1,
即Fib二k2l2U入）|,（4）
将（i）代入（3），得到
（5）
Fi=kixmg-k"，
将
（2）代入（4），得到
2
Frb=mgbk2l丁
由（5）（6）两式，消去v，得到
物体在偏离平衡位置x处所受的合力为
kik2l2
k1k2l2
根据牛顿第二定律，可得到
i.、2・d2x
F22x=m厂
k1b+k2ldt
即物体做简谐振动，其周期为
22
k2l）
k1k2l2
求解滑轮振子系统的振动周期
如图一，劲度系数为k的轻弹簧一端固定在壁上，另一端用一根跨越滑轮的轻绳与质量为mi的物体连接，滑轮的质量为m2，半径为R，可视作均匀圆盘。
今将物体由平衡位置
向下移动一段距离，然后放手让物体自由运动。
如绳和滑轮间不打滑，轴上摩擦可忽略。
（1）试证明物体做简谐振动，并求振动的周期;
（2）求系统的总能量。
解：
（1）物体、滑轮、弹簧的受力情况，如图二。
当物体在平衡位置时，弹簧的伸长量
为X。
，则
m1g—「=0,T|R「T2R=0,T2二kx0.
得到x0
当物体偏离平衡位置x时，放手后，物体与滑轮的运动方程为
f-*一Tj
图二
mig-Tw学
1dt2
由于绳与滑轮间不打滑
dt2
又因为
12Jm2R.
2
联立，解方程，得到
mJ/R2
X时系统的总能量为
1.2
kxo
2
（2）以平衡位置为势能零点，偏离平衡位置
121212Ek（xx0）-migxmVJ
求解转动轮子弹簧系统的振动周期
劲度系数为k的水平轻弹簧，一端固定，另一端连接在质量为m的匀质圆柱体的轴上,圆柱可绕其轴在水平面上滚动，如图一。
令圆柱体偏离其平衡位置，使该系统做简谐振动，设圆柱与地面之间无滑动，试求：
系统的振动周期。
解1:
设圆柱的半径为R,质心为C。
以垂直纸面向里为C轴正方向。
由质心定理，得到
f-kxc二mac.
（1）
由质心系转动定理，可得到
图一
由纯滚动的条件，有
ac=R.
将（3）代入
（2），得到
f1
f=mac，
将上式代入
（1），得到
3
mackxc=0,
2
即匚:
空Xc=0.
dt3m
由上述微分方程可知系统的振动周期为
「2二3m
\2k
解2:
该弹簧和圆柱系统的机械能守恒：
扣22戒一（訓2）2二常数。
由纯滚动的条件，有Vc二R.
13
以上两式消去「，得到一kx2■-mVc2=常量。
2
4
[3m
由此可得，_厂2「
试求微小振动的周期
质量为m,半径为r的均匀实心小球在半径为R的球形碗底做纯滚动。
试求：
微小振动的周期。
解1：
小球受重力G，支持力N及摩擦力f的作用，如图一。
由质心运动定理，切向
方程为
由转动定律，fr=j〉=jJ,
dt
rd=（R-r）㊁
dt2
即耸5gsinv-0,dt27（R-r）
因为微小振动，sinv、v，故
dt27（R-r）
小球微小振动的周期为
7（R-r）
小球质心速度Vc和转动角速度「分别为
mg（R-r）（1-cos71）=常数•
.■2因为微小振动，有COST：
“1_•
2
曰
是,
2
即叮5go.
dt7（R-r）
小球微小振动的周期为
7（R-r）
5g
求解等效振子的振动周期
设弹簧振子中的振动物体质量为M，弹簧的劲度系数为k，质量为m,假定弹簧的质量
分布均匀，忽略摩擦力，试求：
其振动周期。
解：
在弹簧不可忽略的情况，严格说来是弹性波在弹簧振子中的传播问题。
由于通常弹
性波的波长比振子的长度要长得多，在此条件下，弹簧上的各部分和振动物体以相同的相位
做简谐振动。
在不考虑摩擦力的情况下，弹簧振子的总机械能守恒。
1
1^|
dr
Or*—x
-r
图一
L..
设在振动过程中任一时刻，物体的位移为X，速度为V，此时弹簧的长度为L，如图一所示。
由于弹簧的质量较小，我们可以认为弹簧在任一时刻各等长小段的变形相同，弹簧各截面的位移是按线性规律变化的。
对于离弹簧固定端距离为I的小段弹簧
mx
dl，质量为dl,位移为一I,因而速度为
LL
VI,其动能
L
整个弹簧的动能为
弹簧振子的总的机械能为
121212
Ekx2—MV2—mV2.
226
由于弹簧振子的总机械能守恒，故E二恒量。
将上式对时间求导，经过整理，得到
或改写成
dt2
其中，角频率为
求解液面起伏的振动频率
在横截面为S的U形管中有适量液体，液体的总长度为|，质量为m,密度为「，试
由此可见，液体将做简谐振动，其角频率以及周期分别为
6Sg；T=2二
m:
2?
Sg
而m=JS代入，所以T=2'1
pg
此题也可用动力学方程求解。
左边液面向上位移y时，比右面液面高2y，这段液体的重力F=「2ySg,与y轴的正
方向相反，使整个液柱产生的加速度
d2xa二
dt
二,由牛顿第二定律，得到
-2；-gSy
岭,则山柘.
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