求解谐振物体的速度和加速度讲解.docx

1、求解谐振物体的速度和加速度讲解求解谐振物体的速度和加速度一物体沿x轴作简谐振动，振幅 A二0.12m，周期T =2S。当t =0时，物体的位移 x = 0.06m,而且相x轴正方向运动。试求：（1） 此简谐振动的表达式；（2） t =T时物体的位置、速度和加速度；4（3） 物体从x二-0.06m向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需的时间。解：（1）设这一简谐振动的表达式为 x = Acos（，t亠0）.2jr现在振幅 A = 0.12m，周期 T =2S。则= 2 rad / S.T由初始条件：t = 0时，x0二0.06m，得到0.06 二 0.12 cos 01兀或者 cos 0 ,

2、0 .23根据初始速度的条件， 乂- - As in 0。因为t=0时，物体向x轴正方向运动，即V00,所以0 .3这样，此简谐振动的表达式为兀x =0.12cos（t -）m.0，根据初始条件可以滑出振幅矢量的初始位置，如图一x =0.104m,V 二-0.18m/S,a = 1.03m/ S2.负号表示速度V和加速度a的方向都指向x轴负方向。(3)当x = -0.06m,设该时刻为t1,得到-0.06 = 0.12cos(t|4 二3兀 1 兀cos(-：ti ) ,二 1 -3 2 3因为物体向x轴负方向运动，V0,所以取 ，这样t 1 =1 S.3体在平衡位置处的相位为与，则由出下号，

3、求得图二由于振幅矢量的角速度为 ，所以可以得到5二6=t = = = 0.83S.co 31由振动图线求解某点对应的相位一振动质点的振动曲线如图一所示，试求:(1)振动表达式;x(m)图一(2)点P对应的相位;(3)到达点P相应位置所需的时间。 解：(1)由旋转矢量图，如图二，可知，初 相0 rad.3从t =0到t =1S时间内的相位差5 二( ) rad.2 3 6二：5 二得到 S.At 6于是，得到振动的表达式5兀 兀、x = 0.10cos( t )m.6 3(2)点P对应的相位=0.(3)至U达点P相应的位置所需的时间为P - 0 0(匚)o 5兀=0.4S.求解单摆的角速度和线速

4、度有一单摆，绳长丨=1.0cm,摆球的质量m=100g,最大摆角为50 。（1） 单摆的角频率和周期；（2） 设开始时摆角最大，试写出此单摆的振动表达式；（3） 当摆角为30时的角速度和摆球的线速度各为多少?解：（1）单摆的角频率和周期分别为一三弋g占2。侶开始时摆角很大，则初相 0-0，单摆的振动表达式为n cos（3.13t）rad.36（3）单摆的振动角速度C -咕 si nt 3.13s in 3.13trad/S.36当 v -30 时， （3.13t）,cos3.13t .60 36 5于是，有4sin 3.13t ,5兀 43.13 0.218rad/S.36 5摆球的线速度为V

5、 - =0.218 1 = 0.218m/S.求解振子在斜面上的振动倾角为的光滑斜面上置一劲度系数为 k的轻弹簧，弹簧下端固定在挡板上。上端与一质量为m的物体相连。当t=0时，物体经过平衡位置向下运动的速度为 V0 ,如图一。如取平衡位置为坐标原点，且沿斜面向上为正。（1） 写出物体的振动表达式；（2） 写出振动系统的总势能（取坐 标原点为势能零点）。解：（1）物体在平衡位置时，弹簧的压缩量为mgs in。x0 .k物体在任意位置时，其 x方向所受合力为Fx 二-mg si nr - k（xx0） = -kx,所以，物体在x方向上作简谐振动，其角频率为由题意，当t=0时，x=O,V二-V。,由

6、初始条件可得所以，物体的振动表达式为x = Acos（t +%） =V0 jEcosQt + 三）.V k k 2（2）振动系统的总势能为1 2 1 2 1 2 Ep =mgxs in ?k（x-x0） kx。 kx求解物体与木板间的振动情况一物体放在水平木板上，物体与板面间的最大静摩擦系数为 0.50。（1） 当此板沿水平方向作频率为 2.0 H Z的简谐振动时，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应为多大？（2） 若令此板改作竖直方向的简谐振动，其频率仍为 2.0 H Z，要使物体在板上不致滑动，振幅的最大值应是多大？2解：（1）设物体在离平衡位置 x处的静摩擦力为f,此时物体的加速度为

7、a = - x,因而2 2 2f = -m，x 二 -4?. mx.要使物体在板上不致滑动，其摩擦力达到最大静摩擦力，即fmax = N = mg,必须满足条件mg 4- 2mAmax，Ni,则(2)物体在最大位移时，设在最高位置物体所受的托力为mg Nj = mamax = m 2A = m 4ji 2v2 A.2 2Nj = m(g -4二、.A).设在最低位置物体所受的托力为 N2，则N2 mg =mamax =moo2A = m4ir2v2A,N2 =m(g +4jt2v2A).要使物体在板上振动时不致滑动的条件是 Nj _0，由此可得2 2g _4,二：A max =0,Amax T

8、2 2 = 0.062m.4兀7 4汉兀x(2.0)求解几种振子的振动周期劲度系数为ki和k2的两根轻弹簧，按照图一所示的方式与质量为 m的小球连接，试求: 各 种 连 接 方 式 的 振 动 周 期 。运动方程为m时二-k2X2,dtk1k2丿 趴 r- *1 匕 ；一VVVVVq m J一WWWv纟 少7才/ R zAzz/zzz%而 k2x k1x1, x1 x2 二 x,所以，今 J x=0.dt2 m(ki +k2)振动周期y）如图（b）的连接方式，当小球偏离平衡位移 x时，小球受弹簧的拉力，其运动方程为d 2xm2 (k1 x k2x),dt即允Sx=O.dt2 m2兀 rm所以振

9、动周期为T 2一， .蛍 V人+ k2如图（c）的连接方式，若两弹簧的原长分别为 |10和l20，小球位于平衡位置处，两弹簧的伸长量分别为.：|1和月2，如图（e）所示，此时小球受到的合外力为零，即ki.丄i = k 2 丄 2,如AB间的长度为L,贝Uho 二11 120 = L.联立，解得k2也=（L J。20）（ 2 ）.kr +k2所以平衡位置离开 A点的距离为li。* -11-lio (L -lio -l20)(k7).kr +k2当小球偏离平衡位置位移为 x时，小球所受的合力为F 二-k1C：l1 - x) k2( l2 -x)=-kv ：l1 k2 l2 (kk2)x 二-(k1

10、 k2)x,所以，小球的振动周期为m,ki k2如图（d）的连接方式，设小球平衡时两弹簧的伸长量为 Ll1和口2，此时小球受到的合外力为零，即k2 % =mg,而 k2匚x2 二 kl1,二片 二l2 二 x0.联立以上三式，得到小球在平衡位置处两弹簧的总伸长量为k1 k2mg mg.k1 k2X!亠X2 = X，此时小球的运动方程为又 k 2 （ ： 12 x 2 ki 0 ： 11 Xi ）联立，解方程组，得到学丄（也）X4dt2 m ki k2所以振动周期为运用转动定律求解棒的摆动周期一均匀细棒，长为 L,质量为m在其两端用长为|的平行细绳悬挂起来，如图一所示。 求：棒以角速度绕中心轴

11、00 摆动的周期。 解：当棒平衡时，每根细绳的拉力当细绳偏过一小角度 时，相应的棒转过一小角度二，由几何关系可见沖 ftf-02由于转角 很小，近似地认为绳子的拉力不变，仍为-mg.此拉力在水平方向上的分力为 Tsin ，因而作用在棒上的力偶矩（即回复力矩）M =2Tsin - : T L,2将 及T的值代入，得到根据转动定律，棒的运动方程为 J=空1上dt 41而 J = mL2,12代入，得到所以棒的振动周期为T = = 2 兀 *3g求解轮棒系统的运动情况如图一所示，两轮的转轴互相平行，相距为 2d,其转速相同，转向相反。将质量为 m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系数均为 .当

12、木板的重心C偏离对称位置后，它将如何运动？如果为简谐振动， 其周期为多少？若两轮均沿图示的相反方向旋转， 木板将如何运动？解：由于滚轮与木板之间有相对滑动， 而两轮转动的方向不同， 木板受到方向相反的两个摩擦力f1 （向右）和f2 （向左）的作用，如图二，同时木板受到轮子的支持力Ni和N2 以及木板的重力G。因木板在竖直方向上无运动，故N1 N2 二 mg.当木板质心C偏离两轮轴的中心位置O微小距离x时，根据力矩平衡条件，有N1(d x)二 N2(d -x).由以上两式，解得M d x mg, N2 mg.2d 2d木板在x方向受到的合力为-2d 图一由上式可见，木板将沿 x方向作简谐振动。

13、根据牛顿运动定律，有图三d 2x Jmgm 2 x,dt d木板的振动周期为T = = 2 d . Jg若两轮的转动方向与题图所示的方向相反时， 木板受到的摩擦力将如图三所示。 根据牛顿运动定律，有设t =0时，木板静止，木板的质心与两轮中点的距离为 x0，于是V x匕VdV xdx0 冷dv T牛（x2 -x2）求解单摆和复摆的周期图一 图二但两摆的转动惯量不同，所以周期不同。 对于图一中的摆，系为复摆，其转动惯量j2mr2帚,r2 2l2因而周期T爲S 2gl因而，其周期为一2鳥；厂2鳥.求解等效摆的摆动周期如图一表示三个摆，其中图（a）是半径为R的匀质细圆环，悬挂在 0点并可绕此点且垂

14、直于纸面的轴线摆动，图（b）,图（c）是同样圆环中对 0C轴对称截取的一部分，分别悬 挂在0点和0 “点，可各绕过 0和0 “点且垂直于纸面的轴线摆动，如悬线的质量不计， (b)（0 图 一 （d）摆角都不大，比较它们的摆动周期。解：以图（C）的摆来讨论。在圆环上任取一小段 dl，质量为dm，如图一（d），此摆对轴0的转动惯量为而 r = 2Rcosddm - dl - Rd =2 Rdr，式中为圆环的线密度，于是此摆的转动惯量为70 2 3 丁 2J =2 （2Rcosr） 2，Rdv - 16R o cos 知此摆的质心到转轴的距离设为 a,则Jydma = ycJdm=r cos v -

15、 2 R cos ，因为周期与 入、m和a无关，只与R有关，所以这三个摆的摆动周期相等。求解细杆谐振的周期质量为m，长为I的均匀细杆可绕通过其一端的固定轴 自由转动，在离轴 1处有 3劲度系数为k的轻弹簧与杆相连接，弹簧的另一端固定于 02，如图（a）所示，开始时杆刚好处于水平位置且静止。现将杆沿顺时针方向绕 0,轴转过一个小角度 二0，然后放手，证 明：杆将做简谐振动，并求其周期，列出其振动表达式。解：细杆在平衡位置受重力 G , Oi轴的支撑反 力N，弹簧的弹性力 F的作用，如图一（b）所示。 设此时弹簧的伸长量为 x0,则有F 二 kx0.因为细杆处于平衡，由力矩平衡，可得到由以上两式，

16、得到 Xo =-mg.2k当细杆绕Oi轴转过一微小角度 二，此时弹簧又伸长了 x，则有F = k(x x0).dSdt2由转动定律，可得丨 l .mg cos k(x - Xo)cos2 .3式中J为细杆对O1轴的转动惯量，其值为 J ml2. 将Xo和J的值代入上式，可得到1 .2 d klx .ml 2 cos ： - 0.3 dt .3因为二很小，故cos： io由几何关系，可得代入，得到dt2所以，细杆将作角谐振动，其角频率为 o二、k，V m开始时，细杆沿顺时针方向绕 Oi轴转过一小角度 二。，如取顺时针方向为角位移的正方向，则振动的初相o =0,于是，细杆的振动表达式为求解杆下悬挂

17、物体所作的微小振动一质量忽略不计的刚性杆，用两根弹簧悬挂起来，如图一所示。两弹簧的劲度系数分别为ki和k2。悬挂的物体质量为 m。设物体处于平衡状态时，杆 AB与水平方向的夹角为Fx 一叽 1 b（ v 宀0） （ 3）ki式中为弹簧1作用于杆上的弹性力。根据平衡条件，得到F1bcos J0）= F2i cos（v - %），Fib 二k2t 入）1,即 Fib 二k2l2U 入）|, （4）将（ i）代入（3），得到(5)Fi = kix mg -k，将（2）代入（4），得到2Frb = mgb k2l 丁由（5） （6）两式，消去v，得到物体在偏离平衡位置 x处所受的合力为kik2l2k1

18、k2l2根据牛顿第二定律，可得到i.、2 d2xF 2 2 x = m 厂k1b +k2l dt即物体做简谐振动，其周期为2 2k2l )k1k2l2求解滑轮振子系统的振动周期如图一，劲度系数为 k的轻弹簧一端固定在壁上，另一端用一根跨越滑轮的轻绳与质 量为mi的物体连接，滑轮的质量为 m2，半径为R，可视作均匀圆盘。今将物体由平衡位置向下移动一段距离，然后放手让物体自由运动。如绳和滑轮间不打滑，轴上摩擦可忽略。（1） 试证明物体做简谐振动，并求振动的周期;（2） 求系统的总能量。解：（1）物体、滑轮、弹簧的受力情 况，如图二。当物体在平衡位置时，弹簧的伸长量为X。，则m1 g = 0, T|

19、 RT2 R = 0,T2 二 kx0.得到x0当物体偏离平衡位置 x时，放手后，物体与滑轮的运动方程为f -*一 Tj图二mig-T w 学1 dt2由于绳与滑轮间不打滑dt2又因为1 2 J m2R .2联立，解方程，得到m J/R2X时系统的总能量为1.2kxo2（2）以平衡位置为势能零点，偏离平衡位置1 2 1 2 1 2 E k（x x0） - migx mV Jkx2訥知Vi求解转动轮子弹簧系统的振动周期劲度系数为k的水平轻弹簧，一端固定，另一端连接在质量为 m的匀质圆柱体的轴上, 圆柱可绕其轴在水平面上滚动，如图一。令圆柱体偏离其平衡位置，使该系统做简谐振动， 设圆柱与地面之间无

20、滑动，试求：系统的振动周期。解1:设圆柱的半径为 R,质心为C。 以垂直纸面向里为 C轴正方向。由质心定理，得到f - kxc 二 mac. （ 1）由质心系转动定理，可得到图一由纯滚动的条件，有ac = R .将（3）代入（2），得到f 1f = mac，将上式代入（1），得到3mac kxc = 0,2即匚:空Xc =0.dt 3m由上述微分方程可知系统的振动周期为2二 3m 2k解2 :该弹簧和圆柱系统的机械能守恒： 扣2 2戒一（訓2）2二常数。由纯滚动的条件，有Vc二R.13以上两式消去，得到一 kx2 - mVc2 =常量。243m由此可得，_厂2试求微小振动的周期质量为m,半径为

21、r的均匀实心小球在半径为 R的球形碗底做纯滚动。试求： 微小振动的周期。解1：小球受重力 G，支持力N及摩擦力f的作用，如图一。由质心运动定理，切向方程为由转动定律，fr=j=jJ,dtrd =(R-r)dt2即耸 5g sin v - 0, dt2 7(R-r)因为微小振动，sinv、v，故dt2 7(R-r)小球微小振动的周期为7(R-r)小球质心速度 Vc和转动角速度分别为mg(R -r)(1 -cos71)=常数. 2 因为微小振动，有 COST ：“1 _2曰是,2即叮5g o.dt 7(R-r)小球微小振动的周期为7(R-r)5g求解等效振子的振动周期设弹簧振子中的振动物体质量为

22、M，弹簧的劲度系数为 k，质量为m,假定弹簧的质量分布均匀，忽略摩擦力，试求： 其振动周期。解：在弹簧不可忽略的情况，严格说来是弹性波在弹簧振子中的传播问题。 由于通常弹性波的波长比振子的长度要长得多， 在此条件下，弹簧上的各部分和振动物体以相同的相位做简谐振动。在不考虑摩擦力的情况下，弹簧振子的总机械能守恒。1 1|drOr*x-r 图一L .设在振动过程中任一时刻， 物体的位移 为X，速度为V，此时弹簧的长度为 L，如 图一所示。由于弹簧的质量较小，我们可以 认为弹簧在任一时刻各等长小段的变形相 同，弹簧各截面的位移是按线性规律变化 的。对于离弹簧固定端距离为 I的小段弹簧m xdl，质量

23、为 dl,位移为一I,因而速度为L LVI,其动能L整个弹簧的动能为弹簧振子的总的机械能为1 2 1 2 1 2E kx2 MV2 mV2.2 2 6由于弹簧振子的总机械能守恒，故 E二恒量。将上式对时间求导，经过整理，得到或改写成dt2其中，角频率为求解液面起伏的振动频率在横截面为S的U形管中有适量液体，液体的总长度为 |，质量为m,密度为，试由此可见，液体将做简谐振动，其角频率以及周期分别为6 Sg；T =2二m : 2 ?Sg而m = JS代入，所以T =2 1pg此题也可用动力学方程求解。左边液面向上位移 y时，比右面液面高 2y，这段液体的重力 F =2ySg,与y轴的正方向相反，使整个液柱产生的加速度d2x a 二dt二,由牛顿第二定律，得到-2；-gSy岭,则山柘.