最最基础补函数导数doc.docx

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最最基础补函数导数doc

第1讲导数的运算

若f（x）=sinX,则/（x）=cosx；

1.基本初等函数的导数公式若f（x）=c.贝lJ/（x）=O；若Av）=xa（«eR）,贝lJf（x）=«x"T；

若f（x）=cosxf则f（x）=—sinx；若^）=<^（«>0,且卯1）,则『Cr）=0,

且畔1）,贝"（x）=〒±；若71x）=111x,则/（x）=|.

WfX1f9X2X—fX29X

2.导数四则运算法则⑴1/W士g（x）]'=/V）士g©）；⑵[/Wg（x）l'=/V）g（x）+/Wg'（x）；⑶[兀一|'=（g（x）^O）.

2]—]例1・求下列函数的导数：

（l）j=3x2+-+p；

（2）j=3x+lnx+5；（3）j=cxcosx+sinx；（4）y=亍二口；

__22解：

（1）Vj=3x2+2x_1+x"2,A=6x—2x"2—2x"3=

XX

r.1rr2（3x+3）—3（2x—1）91

（2）y'=3In3+?

（3"'=ecosx-esmx+cosx.（4）y'=^4^2

例2・若f（x）=x\nXj且f（x（））=2,则Xo=（）A.e2

D.In2

In2

B・eC・—~_

2

解析：

V/（x）=xlnx,.\/T（x）=lnx+l,由已知得lnx（）+l=2,即Inx（）=1,解得x0=e.例3・已知函数f（x）=ax3+3x2+2f且/（-1）=4,贝！

|a=・

解析:

f（x）=3ax2+6xt则3a—6=4,故a=—・

例4・（2011•江西）若沧）=疋一2工一4111工，贝IJ/（x）>0的解集为（）.

A.（0,+oo）

B-（-l,0）U（2,+oo）C.（2,+oo）

D・（-1,0）

42x—2x+1

解析令/（兀）=2兀一2—寸=>0,利用数轴标根法可解得一lVxVU或x>2,又x>0,所以x>2.

故选C・

例5・设j=—2exsinxf则y'=・

解析:

jr=—2[（ex）r,sinx+ex-（sinx）r|=—2（exsinx+excosx）=—2ex（sinx+cosx）.练习

丄B.1--

JTX

1.函数y=x+一的导数是（

x

y=x2cosx的导数是（）

A•yr=2xcosx+x2sinx

2.

3-

cosx

）A.

B.

=2xcosx—x2sinx

C.]——

jr

D.1+-

C.j=2xcosx

D・J

=—x2sinx

y=——的导数是A.-列匸

XX

B・-sinx

C.

xsinx+cosx

D.

xcosx+cosx

J

X

4.

B.2x'+5x+6C.2兀'+5

D.

6x2+5兀+6

5-若对任意xWR,

yz（x）=4x\f（l）=-b则f（x）是

A.f（x）=xB./（X）=/-2C.f（x）=4x3-5D.f（x）=/+2

6.已知f（x）=^f则f（l）等于（）A・1B・一1C.3D・一3

7.已知函数f（x）=ax^+3x2+2,且/（—1）=4,则a=・

8•若函数f（x）=ax4^bx1^-c满足/'

（1）=2,则广（一1）=A.-1B.-2C.2D.0

9.已知f（x）=x2f则f（3）=（）A.0B・2xC・6D・9

10・f（x）=ax3-2x2-3,若f（l）=5,则a等于（）A・5B.4C・2D・3

二、求函数切线方程

导数的几何意义，求函数的切线方程

函数y=7（x）在X=xo处的导数f（兀0）是曲线y=f（x）在点仇，.心）））处切线/的斜率，切线I的方程是y—（切（兀_畑.

例1.已知函数J（x）=x3-4x2+5x-4.求曲线几r）在x=2处的切线方程；

解（I）/（%）=3/-8x+5f

（2）=1,又夬2）=—2・•・曲线沧）在x=2处的切线方程为y—（―2）=x—2,即X—j—4=0.

例2.（2011•山东）曲线y=x3+U在点P（l,12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）.

A.—9

B.-3C・9D.15

解析由已知『=3込则|“i=3切线方程为y—12=3（x—1）,即y=3x+9.答案C

例2.曲线）=/一兀+3在点（1,3）处的切线方程为.

解析：

由y=x3—x+3得y=3x2—1,・°•切线的斜率&=y'|x・i=3XI2—1=2,

练习

1.曲线y=x3-3x2+l在点（1,・1）处的切线方程为A.y=3x-4

B.y二3x+2

C.y=-4x+3

D・y=4x・5

2.函数f（x）=在x=l处的切线方程是,

（1、

八a■■上—r-t

12丿

B.j=4x—4C.y=4x+4D・y=2x+4x+j—3=0C.

3・函数尸-丄在点-,-2处的切线方程为

X'

A.y=4x

4.抛物线y=^x2在点（2,1）处的切线方程是A.x-j-l=0B.

x—j+l=0D.x+j—1=0

5.

函数y=x2+2x在尢=2处的切线的斜率为（

）A>2

C>8

D>6

6.

曲线j=x（31nx+l）在点（1,1）处的切线方程为

7.

曲线y=x3+l\在点P（l,12）处的切线与j轴交点的纵坐标是（

）.A

-9B.-3C.9

D.15

已知曲线^=/+ar+l在点（-1,g+2）处切线的斜率为8,

直线丿=kx+\与曲线y=x3+ax+b相切于点A（l,3）,则a~b的值为,10.（2011®庆高考）曲线j=-x3+3x2在点（1,2）处的切线方程为（

A.j=3x—1B.y=—3兀+5

11・曲线丿=丰在点（一1,一1）处的切线方程为（

a=A-

B・6C.-9

D.-6

9.

）

C.y=3x+5

D.y=2x

A.y=2x+lB.y=2x—l

12.曲线y=xex+2x+i在点（0,1）处的切线方程为□•曲线^=sinx+cosx一+在点能'。

）处的切线的斜率为（

C-y=—2x—3

）・A.

C.

14.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点（1，3）,则方的值为A.3

B.-3

C.5

D-

2B.

V4-115•设曲线丿=二^在点（3,2）处的切线与直线俶+y+l=0垂直，则g二A.

x—\

16.（2010-全国卷U）若曲线y=x2+ax+b在点（0,方）处的切线方程是x-j+l=0,贝lj（）

3.求函数单调区间

函数的单调性在（a,〃）内可导函数几r）,f⑴在（a,〃）任意子区间内都不恒等于0.f（x）MOO函数/W在（a,切上单调递增;f（x）WOO函数/（x）在（a,毎上单调递减.例1・求函数f（x）=x2-\nx的单调区间.

•^f（x）的单调递增区间为

令r（x）>o,得

•又Vxe（o,+8）,

解：

函数/（兀）的定义域为（0,+8）,f（工）=2兀_卜宀工_1誓工+1）.Vx>0,・・・Jlr+l>0・¥，+°°\由/（x）<0,得

：

.f（x）的单调递减区间是例2・证明函数心）=呼在区间（0,2）上是单调递增函数.

Inx（Inx）x—Inxxxx1—Inx,,

证明:

V/（x）=—,:

—-~”—=—?

—=—^-・又・・°W（0,2）,・・・lnxVln2Vl・故f（x）

1—Inx

=—>0.即函数在区间（0,2）上是单调递增函数.

例3・求函数的单调区间.

e*（工2）""e"

解：

函数/U）的定义域为（一8,2）U（2,4-oo）.尸（工）=y=二屮・因为xe（-oo,2）U（2,+«>）,所以cx>0,（x-2）2>0.由f（x）>U得x>3,所以函数/U）的单调递增区间为（3,+8）；由f（QV0得兀V3.又函数八工）的定义域为（一8,2）U（2,4-oo）,所以函数/J*）的单调递减区间为（-oo,2）和（2,3）.

例4・y=x\nx在（0,5）上是（）

A.单调增函数B.单调减函数

例5・函数y=-x2-\nx的单调递减区间为A・（一1,1]

B.（0,1]C・[b+8）

D.（0,+8）

11Y2—1

解析：

对函数y=—x2-lnx求导，得——=（x>0）,令<

2xx

X

0,

因此函数尸非

-Inx的单调递减区间为（0,1].故选B.

•1去QA!

@练习

1.函数f（x）=x3-3x2-5的单调递增区间是・

已知函数f（x）=x3-3x2-9xf则函数人工）的单调递增区间是（

A.（3,9）B.（一oo,

已知函数f（x）=xlnx,

2.

3-

）

—1）,（3,+x）C・（一1,3）D.（—oo,3）,则

（9,+oo）

4・

A•在（0,+oo）上递增

B•在（0,+oq）上递减C•在0，一上递增

D•在（0丄]上递减Ie）

ke）

函数f（x）=x2-2\nx的递减区间是A.（0,11B.|1,+oo）C.（-oo,

Inx

一1）,（0」）D・[-1,0）,

（041

函数/（x）=—在A.（0,10）上是增函数B・（0,10）上是减函数C・（0,0上是增函数D・（0,0上是减函数

x

C.在

上单调递减，在

9

上单调递增D.在

上单调递增，在

3

Ie丿

je>

ke丿

上单调递减

答案：

C解析：

V/=x-+lnx=l+lnx,令卩>0可得%>-,令朋<0可得0<兀<丄・故选C・

xee

6.

（I）求的值;

（II）讨论函数/（X）的单调性。

&（2012理）设函数f（x）=cix2+bx+k（k>0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1,/

（1））处的切线垂直于

直线兀+2y+l=0・

（1）求0上的值；（II）若函数g（x）=厶，讨论g（x）的单调性.

9.（2008隹庆离令）设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（670）.若曲线尸/⑴的斜率最小的切线与直线12x+j=6平行，求:

（I）d的值；（II）函数/U）的单调区间

10.（2009*庆髙考）已知/（x）=x2+/?

%+c为偶函数，曲线y=f（x）xL点（2、5）,g（x）=（x-^-a）f（x）o

（I）若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

（II）若当x=-\时函数y=g（x）取得极值，确定y二g（x）的单调区间。

四、求函数极值

求函数极值的一般步骤：

①求导数f（x）；②求方程f\x）=0的根；③检验f（x）在方程f（x）=0的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则/（x）在这个根处取得极大（小）值.

3

例1・求下列函数的极值：

（1笊兀）=»—3/—9x+5；

（2）/（x）=i+31ii兀.

解：

（1）函数/（x）=x3—3x2-9x+5的定义域为R,且f（x）=3x2—6兀一9・解方程3*—6兀一9=0,得匕=—1,Xi=3.

当工变化时，尸（工）与/（x）的变化情况如下表：

X

（—8,—1）

（-1,3）

3

（3,+8）

+

0

—

0

+

单调递增n

10

单调递减3

-22

单调递增3

因此，x=—1是函数的极大值点，极大值为八一1）=10;x=3是函数的极小值点，极小值为f（3）=—22.3333（x—1）

（2）函数j（x）=-+3\nx的定义域为（0,+8）,尸（工）=一”+丫=七_,令/（x）=0,得x=l.当兀变化时，尸（兀），/U）的变化情况如下表：

X

（0,1）

1

（1，+8）

f⑴

—

0

+

单调递减3

极小值3

单调递增口

因此当x=l时，几巧有极小值3,无极大值.

2

例2.设函数f（x）=—+\nx9贝!

）（）

x

211

解析：

由f（x）T"*—=

XX

A.x=|为冗0的极大值点B.x=|为血:

）的极小值点C.x=2为几0的极大值点D.x=2为人工）的极小值点

2、

1一一=0可得x=2.当0VxV2时，/（x）<0,几尤）单调递减；当x>2时，f（x）兀丿

>0,f（x）单调递增.故x=2为几r）的极小值点.

例3・若函数f（x）=2xi+3ax2+36x-\在x=2处有极值，则a的值为（）

A.-5B.5C.8D.-8

nx~

D.0

解析:

f（x）=6x2+6ax+36f依题意/

（2）=0,所以24+12a+36=0,解得°=一5・

例4・函数/（x）=lnx—x在区间（0,e）上的极大值为（）A・—eB・一1C.1—e

解析：

定义域为（0,+8）,f（x）=一一1,令f（x）=0得x=l,且当0VxVl时，f（x）>0,xe（l,e）时f⑴VO,

x

故几r）在x=\处取得极大值/（l）=ln1—1=0—1=一1・

例5・设函数Ax）=xe\贝!

]（）

A.x=l为Ax）的极大值点B.x=l为兀）的极小值点C.x=-1为/U）的极大值点D.x=-1为/U）的极小值

点

解析：

由/（x）=xr-ex+（ex）r-x=ex+ex-x=ex（x+l）=O,得x=-l.当工<一1时，f（x）V0,冗r）在（一8,—1）上单调递减；当工>一1时，f（x）>0,/U）在（一1,+8）上单调递增.所以兀=一1为几工）的极小值点.

例6・求下列函数的极值：

（1）j=2x3+6x2—18x+3；

解：

函数的定义域为R._/=6/+12尤一18=6（兀+3）（兀一1）,令/=0,得x=-3,或x=l.

当兀变化时，jr,_y的变化情况如下表：

X

（一8,3）

-3

（-34）

1

（1,+°°）

yf

+

0

—

0

+

y

单调递增”

57

单调递减\

-7

单调递增戶

从上表中可以看出，当x=—3时，函数有极大值，且y极大值=57.当兀=1时，函数有极小值，且丿枫小值=—7・C8

（2）j=2x+—•

x

8

-4、

（2）

<2）

0）U（0,+oo）.）「=2--=2

1

12

=2

1——

1+-

<无丿

1X）

答案：

函数的定义域为（一8,

令Jr=o,得兀=一2,或x=2.当x<~2时，jr>0;当一2VxV0时，jr<0,即x=~2时，丿取得极大值一&当0VxV2时，y<0;当x>2时，y>0,即x=2时，y取得极小值，且极小值为8・

例7.已知函数f（x）=xi—px2—qx的图象与兀轴切于点（1,0）,求函数几巧的极值.

解：

・.•/（兀）与x轴切于（1,0）点，f（x）=3x2—2px—q,・\f（l）=3—2p—g=0・又/p）=l—p—g=0,Ap=2,q=—\・

^f（x）=3x2-4x+l.由0得xt=|,x2=l.当兀变化时，/（x）,/（x）的变化情况如下表：

X

（-。

0,|）

1亍

£1）

1

（1,+°0

f（x）

+

0

—

0

+

7

427

X

0

7

・・・何极大值=卅）=务，金）极小值=/

（1）=0.

X

例4.已知函数f（X）=——•求函数/（兀）的单调减区间和极值；

lnx

解析.函数/（X）=的定义域为（0,l）U（l,+s），广（兀）=令广（兀）=0,解得兀=0,列表

Inx11V兀

（0,1）

（映）

（匕+8）

广（兀）

/（X）单调递减单调递减极小值心）单调递增由表得函数/（X）的单调减区间为（0,1）,

（1,可;极小值为f（e）=e,无极大值.

练习

1.函数y=l+3x-x3有（）.

A.极小值一1,极大值1B.极小值一2,极大值3C.极小值一2,极大值2D.极小值一1,极大值3

2.若函数f（x）=|x3+ax2+3x—l,已知/（x）在x=—3时取得极值，则a等于（）

A.2B.3C.4D・5

3.函数/（x）=x3+6/x2+/?

x-1,当兀=1时，有极值1,贝ij函数g（x）=x3^-ax2+bx的单调减区间为

F+a

4.若函数几0=工+]在兀=1处取极值，贝!

ja=・

5•若a>U,〃>0,且函数J（x）=4xi—ax2—2bx+2在兀=1处有极值，则血的最大值等于

6.设函数/00=xe”，贝U（）

A・兀=1为几r）的极大值点B.x=l为八尤）的极小值点C.x=-1为几切的极大值点D.x=-1为几兀）的极小值点

2

7.设函数f（x）=~+\nxf贝lj（）

A.x=^f（x）的极大值点B.x=^f（x）的极小值点C・x=2为八对的极大值点D.x=2为沧）的极小值点

8.函数J[x）=x3-3x2+1在兀=处取得极小值.

9.若x=—2与兀=4是函数f（x）=x3+ax2+hx的两个极值点，则有（）

A.a=—2,b=4B・a=—3,b=—24C・a=l,b=3D・a=2,b=—4

13

10.（2012•重庆卷）设f（x）=a\nx+^+^x+\f其中dER,曲线y=f（x）在点（1,人1））处的切线垂直于丿轴.

⑴求a的值；

（2）求函数沧）的极值.

11.

（2013）设/（兀）=°（兀一5『+61nx，其中awR,曲线y=/（x）在点（1,/

（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）.

2.函数的最值

⑴在闭区间|a,洌上连续的函数心）在|a，b|上必有最大值与最小值.

（2）若函数用）在|a,b|上单调递增，则.@）为函数的最小值，张）为函数的最大值;若函数心）在|a,对上单调递减，则弘）为函数的最大值,.兀仍为函数的最小值.

⑶设函数.心）在|a,切上连续，在（a,b）内可导，求./U）在0切上的最大值和瑕小值的步骤如下:

①求Rx）在（a,b）内的极值；

②将ZU）的各极值与恥），他）比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

例1・求函数f（x）=-x4+2x2+39尤巳一3,2］的最值.

解:

f（x）=—4x3+4x,令f（x）=—4x（x+l）（x—1）=0,得x=—1,x=0,x=l.当兀变化时，尸（兀）及几r）的变化情况如下表：

X

-3

（—3,

-1）

-1

（T，

0）

0

（0,1）

1

（1,2）

2

+

0

—

0

+

0

—

fix）

-60

单调递

增匚

极大值

4

单调递

减口

极小值

3

单调递

增J

极大值

4

单调递

减匚

-5

・••当工=一3时，几兀）取最小值一60;当兀=一1或兀=1时，/（X）取最大值4.

1—X1

例2•已知函数何==+lnx,求问在匕，2」上的最大值和最小值.

X

1

2

伶1）

1

（1,2）

2

f（x）

—

0

+

1-In2

单调递减口

极小值0

单调递增口

—*+ln2

—y—（1—x）1X—1r1n

解:

f（x）=A―+~=~^-・由r«=0,得X=\.・・・在牙，2」上，当X变化时，几r）,问的变化情况如下表:

・・7@—/

（2）=号一21H2=|（lne3-ln16）,而疋>16,・••爲>几2）>0.••屁）在甘，2〕上的最大值为勸=l_ln2,最小值为0・

例3・函数f（x）=ex-x在区间［一1,1］上的最大值是（）A.1+丄B・1C.e+1D・e-1

e

解析:

f（x）=ex-l.令r（x）=0,得x=0.当xG［-l,0|时，f（x）W0;当xG|0,l］时，f⑴M0・

・・・./W在［一1,0］上递减，在［0,1］上递增・又・・\A—1）=丄+1,./（l）=e-l,・・・/（-l）-/（l）=2+l-eV0,・・・./（一1）

ee

A/（x）max=/（l）=e-L

5

・\A0）=加，几一1）=加+*.

39

例4・若函数y=xi+—x2+m在［—2,1］上的最大值为一，则加等于（）A・0

22

（3、

解析：

y-x34-—x24-m1=3x2+3x=3x（x+\）・由jr=0,得x=0或x=—1.

i2）

5559

又V/

（1）=7?

H—,/（—2）=—8+6+/n=/w—2,A/（l）=/n+一最大•:

.m—=—•m=2.

例5・函数f（x）=x2~4x+l在［1,5］上的最大值和最小值是（）

A./（I）,f（3）B.几3）,f（5）C・/（I）,f（5）D・f（5）ff

（2）

解析:

f（x）=2x-4.令/W=0得x=2.又人1）=一2,人2）=—3,八5）=6,故最大值是八5）,最小值是人2）・

例6・函数f（x）=2x3-6x2+m（tn是常数）在［一2,2］上有最大值3,那么在［一2,2］上的最小值为（）

A.—37B.—29C.—5D.—11

解析:

yf=6x2-12x=6x（x-2）f・.•在（一2,2）上，只有兀=0是几巧的极值点，且为极大值点，

极大值=/（°）=〃2・又几―2）=—16—24+加=〃2—40,/

（2）=16—24+8,

容易判斷加—40V〃?

一8V〃2,・°・加=3.・\Ax）min=〃2—40=—37・

例7・函数f（x）=xi-3x（-\

A.有熹殳值，但无最小值B.有显大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D.无最大值，但有最小值解析:

/（x）=3?

-3,由于一lVxVl,所以/（x）<0,故几0在区间（一1,1）上单调递减，函数既没有最大值，也没有最小值.

练